2018考研数学冲刺模拟卷数学三答案与解析

1、3【答案】D.D.2018 考研数学冲刺模拟卷(数学三)答案与解析一、选择题：1 18 8 小题，每小题 4 4 分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中, 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. .只有一项1.cosx2axb,x0(A)(A)ab【答案】14A.A.(B)(B)ab -2(C)(C)ab0(D)(D)ab【解析】lim1cosx212xlim,Q f (x)在x0处连续1b ab,x(1)若函数f(X)axaxXXA.A.20在x 0处连续，则(2(2 )二元函数2xy(3x y)的极值点是(A)(0,0)(B)(0,3)(C(C)(3,0)(D)

2、(1,1)3【解析】f3(x)3f2(x)f (x) 0,f3(1) f3( 1)33f(1) f( 1)，所以选 A A。【答案】A.A.【解析】 令z2y(3xz-2x(3y2x2yy) 0 x) 0y2x3y3xtyt由AC B20知，(1,1)为极值点选D.D.(3(3)设函数f(x)可导，且f2(x) f (x)0,则(A)f(1)f( 1)( B B)f(1) f( 1)( C C)f(1)2z2x2zxy2z2yf( 1)4y6 4x4x(D)4yf(1) |f( 1)所以r(a1a2a3a4)4，从而选项A和B均不正确(4 4)设函数n 2tan丄nkln(1-)n收敛，则k(

3、)(A A) 1 1(B B)2 2(C C) -1-1(D D) -2-2【答案】C.C.【解析】111111k1tan kln(1-)3o(r)k-2o(r)nnn3nnn2nn(1k)-k2131o(r)n2n3nn因为原级数收敛， 所以1 k 0k1. .选 C.C.(5(5)设A为mn n 阶矩阵，且r(A)= m n,则下列结论正确的是(A(A)A的任意m阶子式都不等于零(6)设a1=(1, 0,2,&)丁忌=(0,2,1,6)忌=(1,2,3,Ta4=(1, 0, 1, 0)，其中ci(i =1,2,3)为任意实数，则(B)A的任意m个列向量线性无关(C)方程组(D)矩阵A经过初

4、等行变换可化为(EmMD)【答案】C.C.【解析】对于选项 C C，m=r(A)#r(A)min(m, n)= m?r(A)mx,Y y=(A)1-Fx(x)FY(y)(C)2- FX(x)- FY(y)+ F(x, y)(D D)1- Fx(x)- FY(y)+ F(x,y)【答案】D.D.【解析】设A =X ? x, BY ? y,则Fx(x)= PX?x,FY(y)PY? y,F(x,y)= PX #x,Y y所以PX x,Y y= P(AB)= P(A+B)=1-所以正确答案为 D D2(8)设总体X服从正态分布N(0, ),X1，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值、方差分别为X,

5、s2.则利用排除法可得正确答案为D D对于选项 D D ,(a2a3从而可得r(a2a3a4)= 3 =向量的个数，所以a2,a3,a4必线性无关(7(7)设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x, y)，边缘分布函数分别为FX(x)和P(A+B)P(A)- P(B)+ P(AB)Fx(x)-FY(y)+ F(x, y)= 1-=1-经初等行变换a4)?0110011011001100r(aia2a3)3,从而选项 C C 不正确【答案】C.C.2(A)牛F(1, n 1) S22nv(C)岭F(1, n 1) s22(B)屮F(1,n 1)(D)2(n 1)XF(1, n 1)【解析】

6、-X且ssn2 2-X n一sXX而c2(n- 1)，2X与S相互独立C.C.所以正确答案为nX21二、填空题：9 9(9)(9)(sin4x3【答案】4【解析】c2(n-1)s2(n -1)S22nXS2F(1, n- 1)1414 小题，每小题x、2x2)dxsin4x x、2x2dx4 4 分，共 2424 分，请将答案写在答题纸指定位置上sin4xdx 4(10)(10)已知f(x)1tant【答案】【解析】xtln cos1. .交换积分次序：dt，则10f (x)dx10f(x)dx罟dtdx1dt0ttan t0dxt10tan tdt ln cos1. .(11)(11)设某产

7、品的需求函数为其中p为价格，则需求弹性函数为【答案】【解析】PdQpe5Q dp_pe5(5)(12)(12)设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且yey,x(1 y)ey，f (0,0)0，则f(x,y) _【答案】xyey. .【解析】fxyey, fyx(1 y)ey, f (x, y)【答案】0,0,0,00,0,0,0由a, b为四维非零的正交向量？b?a从而A2=(abT)(abT)= a(bTa)bT=022所以A的特征值I = 0T A的特征值为所以 4 4 阶矩阵A的 4 4 个特征值均为 0.0.=0? X 与 Y相互独立T X2与Y2相互独立，X与丫2相互独立(X,Y)

8、N(mms2 2,s ;0)? E(X)mE(Y)= m, D(X)=s2, D(Y)= s2,rXY=0yeydx xyeyc( y),故yyyxe xyec (y) xeyxyey,因此c(y) 0,即c(y) C，再由f(0,0)0,可得f (x, y)xyey.(13(13)设a,b为四维非零的正交向量，且A = abT，则A的所有特征值为2【解析】设矩阵A的特征值为I,则A2的特征值为lI =0(14(14 ) 设二维随机变量(X,Y)服从正 态分布N(mms2,s2;0),则所以rXYE(X2)=D(X)+t(X)同理E(Y2)=2、=s2+ m2从而22=s2+m2cov(X,X

9、Y2)=E(X2Y2)- E(X)E(XY2)=E(X2)E(Y2)- E(X)E(X)E(Y2)2=(s2+ m2)- m2(s2+ m2)=s2(s2+ m2)三、解答题：15152323 小题，共 9494 分请将解答写在答题纸指定位置上证明过程或演算步骤2【答案】230 Li uex udu0uex udu0 x tefdt【解析】limx 0u tetdt du0 xlimx 0，令x t.x3u，则有解答应写出文字说明、（1515）（本题满分1010 分）求极限limx 00 厂尬dt duUdt0 x . y与y轴为边界的无界区域。2 42【答案】2一216【解析】原式=lim0

10、3x 03x2、ueudu lim0 x 03x2(16(16)、- uexudulimx 0（本题满分一ueudu03x2、xex2limx 03x21010 分）计算积分D(1 y2x4)2dxdy，其中D是第一象限中以曲线(0) 0, ,由(x) xf (x) f (x) f (x) xf (x)2f(x)0, ,知(x)在(0,1)内单调增，故(1)(1)(19(19)(本题满分 1010 分)设函数f u在0,内具有二阶导数，且z f、X2y2满x32pdxdyD(1 yx )1 140 (rv2 .216(17(17)(本题满分1【答案】丄. .4【解析】原式= =nklim2ln

11、(1nk1n21Jn(1 x) xdy少0 0(1)dyy1010 分)求limn-)n(18(18)(本题满分 1010 分)内可导，且f(X)1xln(11X2101 Xx)dx1dx)3X2y1In可dx x )1(1 2y21rv)dyk In n2n；ln(1 x)dx2丄(丄arctan(V2y) arctan y) b4 . 2设y f (X)是区间0,1上的任一非负连续函数，f (X)在区间(0,1)2f (x)1,试证明在(0,1)内，xf (x) f (t)dt0存在唯一实根. .xx1【解析】(1)(1)要证x0(0,1), ,使x0f (x0)f (x)dx;令(x)

12、xf (x)X01f (t)dt, ,要证XXo(0,1), ,使(Xo)0. .可以对(x)的原函数(X)X0(t)dt使用罗尔定理:又由1(1)0(x)dx分部1xf010 xf (x)dx1xf(t)dt)dxf (x)在0,1连续X。(0,1), ,使(X。)(x)dx1x f (t)dtX(x)在0,1连续, ,帆)0. .10(x 110 xf (x)dx 0,x 0(x)在0,1连续, ,在(0,1)可导. .根据罗尔定中的x0是唯一的2z2z1足等式12 2 2 2xyx y2 2x y函数fu的表达式. .x，y_? 2z，若f 00,f01,求x y即f (u)f (u)2

13、f(u). .则对应的特征方程为r2r 20,r1由f 00, f 01,得G1,C231,r22，故f (u) Ge2xC2ex. .112x1x-，即f(u)-e2x-ex333(20(20)(本题满分 1111 分)设a1,a2,a3,a4, b均为四维列向量,线性方程组AX = b的通解为k(-1, 2, 0, 3)T+(2, -3,( (i) )求方程组(a2,a3,a4)X = b的通解;(n)求方程组 巴色屣色耳+b)X = b的通解【解析】(I)(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了x2同理代入2z.x2y22y2 2x y3 22 2x y2

14、2x y11z z222xy2z，得x y x2y2x yf , x2y2f G, x2y2) 2f Gx2y2)，【解析】( (i ) )由AX = b的通解为k(-1, 2, 0, 3)+(2,骣骣 1(A尸(A|b)= 3,A J；琪琪；琪琪 3T-3, 1, 5)可得r=0,琪-3=b，即人二旦忌耳)，非齐次T1, 5)所以a1可由a2,a3,a4线性表出，b可由a1,a2,a3,a4线性表出即b可由线性表出a2,a3,a4从而r(a2,a3,a4)=r(a2,a3,a4,b)=3所以方程组(a2,a3,a4)X =b只有唯一解+2+2 得b =a2+a3+11a4T所以程组(a2,a

15、3,a4)X =b的唯一解为X =(1, 1, 11); ;(n)由( (i) )可得a1可由a2,a3,a4线性表出，b可由线性表出a2,a3,a4经初等行变换从而但1月2耳月4月4+b,b)?(0耳月3月4,0,0)所以r(a1,a2,a3,a4,a4+b,b)=r(a2,a3,a4)=35所以齐次线性方程组的(a1,a2,a3,a4,a4+b)X = 0基础解系中有 2 2 个线性无关的解向量，2a1- 3a2+a3+5a4=b即=-a1+2a2+3a4=0 =2a1-3a2+a3+5a4=b非齐次线性房出租(a1,a2,a3,a4,a4+b)X=b有无穷多解由 ( ( i ) ) 中的

16、-a1+2a2+3a4=0?(a1,a2,a3,a4,a42a1- 3a2+a3+5a4- b =0(a1,a2,a3,a4,a40=骣琪-琪琪琪琪琪琪-)b所以(a1,a2,a3,a4,a4+b)X = 0的基础解系为,h1=b可得(a1,a2,a3,a4,a4+b)X =b的一个特解为所以(a1,a2,a3,a4,a4+b)X =b的通解为：+ I)(其中k1,k2是任意常数).琪1琪琪矩阵合同于琪(I )求常数a；(n)用正交变换法化二次型f(xx2, x3)为标准形.-1-3所以A =0当11=0时，解齐次线性方程组AX =0(21(21)(本题满分1111 分)设二次型f(x1, x

17、2,x3,)= 5x12+ ax22+ 3x3- 2X2+6x1x3- 6x2x3琪0-15-琪琪-33琪琪3经初等行变换3?-112 100琪3+ k2琪1f琪琪1【解析】(I)此二次型对应的实对称矩阵-3因为实对称矩阵=6(a -5)=0,解得a=55-1-1(n)A-l E-15-1-3=l(4- l)(1 - 9)= 0-33-1解得矩阵A的特征值为11= 0= 4,13=9A与o o o o O OO O 1 1 O O解得11= 0对应的一个线性无关的特征向量为a1=I当12= 4时，解解齐次线性方程组(A - 4E)X = 0解得12= 4对应的一个线性无关的特征向量为a2当13

18、=9时，解解齐次线性方程组(A- 9E)X = 0因为矩阵A有三个不同的特征值，所以三个特征值对应的特征向量均正交1313 1111!骣琪琪ffi一一3 3g g2 2)g)g将a1,a2,a3单位化得g1A- 4E =琪骣1=琪-1-13经初等行变换-3?-1-3-1A- 9E =琪3骣经初等行变换琪 -3 ?琪 0 -1琪0-1-2解得13= 9对应的一个线性无关的特征向量为a3=琪琪1解得11= 0对应的一个线性无关的特征向量为a1=I(2222)(本题满分 1111 分)将三封信随机地投入编号为1,2,3,4的四个邮筒. .记X为 1 1 号邮筒内信的数目，Y为有信的邮筒数目求：(I)

19、(X,Y)的联合概率分布；(n)Y的边缘分布；(川)在X 0条件下，关于Y的条件分布【解析】(I)X的所有可能取值为 0,1,2,30,1,2,3 ;Y的所有可能取值为 1,2,31,2,3从而(X,Y)的所有可能取值为(0,10,1 ) , (0,20,2 ) , (0,30,3 ) , (1,11,1 ), (1,21,2 ) (1,31,3 ) (2,12,1 ) (2,22,2 )(2,3(2,3 ) (3,1(3,1 )( 3,23,2 ) (3,3(3,3 )C33P(X=0, Y =1)：一c4c4c4=64c；c3c；189P(X=0, Y=2)=c4c4c41164=32P3

20、63P(X=0, Y=3)=c；c4c464 -32P(X=1, Y = 1)=0c；c39P(X= 1,Y =2)：=c4c；c4=64C3P2189P(X= 1,Y = 3)=6432P(X= 2,Y=1)：=0P(X=2, Y=2)=c,c3_ 9=c：c：c：=64从而正交变换矩阵1212 1-21-2 o o1616 1-621-62S骣琪琪琪琪132 2在正交变换X = QY，使得f =4y2+9y3. .1P(X =2, Y = 3)= 0所以(X ,Y)的联合概率分布为Y12303/649/323/32109/649/32209/64031/6400（n）Y的所有可能取值为1,

21、2,31,2,3由（X,Y）的联合分布律得=P(X= 0,Y：= 1)+=1,Y：= 1)+=2,Y := 1)+=3,Y：=1)=4 =1 64 =16P(Y =2)=P(X=0, Y = 2)+P(X := 1,Y= 2)+P(X := 2,Y= 2)+ P(X= 3,Y=:2)_ 36 _96416P(Y =3)=P(X=0, Y = 3)+P(X :=1Y= 3)+P(X := 2,Y=3)+ P(X= 3,Y=3)_ 24 _3648所以Y的边缘分布Y1 12 23 3P Y k1/161/169/169/163/83/8（川）Y的所有可能取值为 1,2,31,2,3P(X =0)= P(X =0, Y= 1)+ P(X =0, Y =2)+ P(X = 0,丫=3)= |7(Y =VX=0)=P(X=O，Y=1)= 1P(X = O)9从而PP(Y = 2