湘教版九年级数学上册第2章教学：2.4 一元二次方程根与系数的关系ppt课件

1、*2.4 一元二次方程根与系数的关系第2章 一元二次方程学习目的1.掌握一元二次方程的根与系数的关系；重点2.会用利用根与系数的关系解有关的问题.难点导入新课导入新课问题：我们曾经知道，一元二次方程ax2+bx+c = 0(a0) 的根的值由方程的系数a，b，c来决议，除此之外， 根与系数之间还有什么关系呢？做一做做一做方 程+02x2+3x-4 =0 x2-2x=0 x2-5x-6 =0 x1x2x11先解方程，再填表：x2x2x1 由上表猜测：假设方程ax2+bx+c = 0(a0) 的两个根为x1，x2，那么x1+x2 = ，x1x2= . 164120-3-45-6abac讲授新课讲授

2、新课一元二次方程的根与系数的关系一 问题：对于方程ax2+bx+c =0(a0)，当0时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？ 当0 时，设ax2 + bx + c = 0a0的两个根为x1，x2，那么21212212)()(xxxxxxaxxxxacbxax又acxabxacbxax222121)(xxacxxab212122)(xxxxxxacxabx于是 根据七年级上册教科书2.5节关于两个多项式相等的规定，得acxxabxx2121, 这个关系通常被这个关系通常被称为韦达定理称为韦达定理. . 这阐明，当0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系： 两根的和等于一次项系数与二次项系

3、数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.概念归纳概念归纳即典例精析例1：利用根与系数的关系，求以下方程的两根之和、两根之积.; 0132 ) 1 (2 xx解:(1) (2) 整理方程得，整理方程得，123,2xx121.2x x ;1023 )2(2 xx2380,xx121,7xx1213.7x x 123,xx128.x x . 857 ) 3(2xx(3) 整理方程得，整理方程得，27130,xxNoImage121.3xx121x x 1222.3xx1233.2xx 124.0 xx1223x x 1213x x 120 x x 以下方程的两根和与两根积各是多少？ x2

4、3x+1=0 ； 3x22x=2； 2x2+3x=0； 3x2=1 . 在运用根与系数的关系时:(1)不是普通式的要先化成普通式；(2) 在运用x1+x2= 时，“ 不要漏写.ba留意练一练例2 知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7.答：方程的另一个根是 ，k=-7.,5k3.53()5356,5一元二次方程的根与系数的关系的运用二知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程 3x

5、2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,3m方法归纳假设ax2bxc0 (a0 0)1假设两根互为相反数,那么b0;2假设两根互为倒数,那么ac;3假设一根为0,那么c0 ;4假设一根为1,那么abc0 ;5假设一根为1,那么abc0;6假设a、c异号,方程一定有两个实数根.例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231,.22xxxx 解：根据根与系数的关系可知： 22212112212,xxxx xx222121

6、2122xxxxx x231132;224 121212113123.22xxxxx x 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，那么:1x1+x2= , (2)x1x2= , (3) ,(4) .411412221)(xx2221xxu 总结常见的求值:12111.xx1212;xxx x124 .(1)(1)xx1212()1;x xxx12213.xxxx221212xxx x2121212()2;xxx xx x125. xx212()xx21212()4.xxx x2221212122.()2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时, ,普

7、通先将所求的普通先将所求的代数式化成含两根之和代数式化成含两根之和, ,两根之积的方式两根之积的方式, ,再整体代入再整体代入. .归纳当堂练习当堂练习1.假设假设-1是方程是方程2x2x+m=0的一个根，那么另一个根是的一个根，那么另一个根是_，m =_.2.知一元二次方程知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为的两根分别为-2 和和 1 ，那，那么：么：p = , q= .1-232-33.知知x1,x2是方程是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且的两个根，且x1+1)(x2+1)=4； 1求求k的值；的值； 2求求(x1-x2)2的值的值.解：1根据根与系数的关系 所以x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； 12,xxk1 21.2kx x1() 1 4,2kk 2由于由于k=-7,所以所以 那么：那么：1 24.xx 127,x x22212121 2()()474 ( 4) 65.xxxxxx 4.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根之差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，那么x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)