高考数学一轮复习江苏版12.1矩阵与变换名师精编学案

1、名校名师推荐考试内容等级要求矩阵的概念A二阶矩阵与平面向量B常见的平囿变换A变换的复合与矩阵的乘法B二阶逆矩阵B二阶矩阵的特征值与特征向量B二阶矩阵的简单应用B坐标系的有美概念A简单图形的极坐标方程B极坐标方程与直角坐标方程的互化B参数方程B直线、圆及椭圆的参数方程B参数方程与普通方程的互化B参数方程的简单应用B不等式的基本性质B含有绝对值的不等式的求解B不等式白证明（比较法、综合法、分析法）B算术一几何平均不等式与柯西不等式A利用不等式求最大（小）值B运用数学归纳法证明不等式B§12.1矩阵与变换考情考向分析】矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点

2、的变换可以得出曲线的变换.二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系ii名校名师推荐数法求矩阵或逆矩阵.三是特征值与特征向量.属于低档题.基础知识自主学习一回扣其础知识训练基此袁目一广知识梳理"bn1行矩阵ana2与列矩阵|的乘法规则:2b21ana12?11 - aii>b11 + a12xb21.(2)二阶矩阵an a12Ja21a22与列向量|x° 的乘法规则:Joana12"an x xo+ a2>< yoJ21a 22x xo + a22* yo12(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下:anH2121211

3、b12a22Jb21b22a11,a21a11 X b12+ a12 Xa21 x b12+ a22 *Xbn+a12Xb21xbn+a22*b21(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合建但不满足交换律和猾去律即(AB)C=A(BC),ABWBA,由AB=AC不一定能推出B=C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算.2 .常见的平面变换(1)恒等变换：如(2)伸压变换：如(3)反射变换：如(4)旋转变换：如(5)投影变换：如1cos0sin0*in一1cos010其中。为旋转角度;(6)切变变换：如|01kkCR,且kw0).3 .逆变换与逆矩阵(1)对于二

4、阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵;(2)若二阶矩阵A,B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矢I阵，且(AB)1=B1A1.4 .特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数%存在一个非零向量”，使Aa=那么入称为A的一个特征值,而a称为A的属于特征值入的一个特征向量.5 .特征多项式设A=|ab是一个二阶矩阵，法R,我们把行列式f(?)=卜ab=片一(a+d)计/d一c卜dadbe,称为A的特征多项式.基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或"x”)(1)已知A,B,C为二阶矩阵，且AB=AC,若矩阵A存在逆矩阵，则B=C.(V)

5、(M0儿TH31一若二阶矩阵A,B均存在逆矩阵，则(AB)1=B1A1.(X)(4)矩阵A=061的特征值为8和一3.(V)题组二教材改编-23112.P52例3已知矩阵A=45L则A的逆矩阵A=.53答案221211所以A3222解析因为det(A)=2X5-3X4=-2,312723. P11习题T7已知矩阵 M= 011a1,其中aCR若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0),实数a的值为解得a= 3.2 2.由一 1 ： - 4=J1- 21 1 0得 2 2a= 4,4. P39 例 1(1)已知2A-22解 AB =-2111-X-+-X22 2-122X2

6、X济2X2J0 0题组三易错自纠5. A= 10B=L,则AB的逆矩阵为0答案1T 1一 1 解析 A = J一 0B J 0 11B 1 0( AB) 1=B 1A 16.设椭圆的方程为2x2+91,若它在矩阵一1M =个圆,则实答案解析设P(xy)为椭圆上任意一点，变换后为P' (x' , y'),x' 则- xly'所以x= x'y=2y',代入椭圆的方程，得2+q=1.a因为它表不圆,所以 a=4.7-1 0 不7.已知矩阵 A= 0 0 2 L B= |021，求矢I阵A 1B.6解设矩阵A的逆矩阵为1,c d0一1 ,2.一所

7、以A 1B =0-a-b|=p012c2d-b11故a=-1,b=0,c=0,d=2,-1从而A的逆矩阵A1=0题型分类深度剖析具羽理题深度剖析更点难点多维探究题型一矩阵与变换自主演练1 .已知a,b是实数，如果矩阵M=a所对应的变换将直线x-y=1变换成x+2y=1,b1J求a,b的值.72al解设点（x,y）是直线x-y=1上任息一点，在矩阵M的作用下变成点（x,y），则Jb1x' 所以,y'=2x+ay, =bx+y.因为点（x',y'）在直线x+2y=1上,所以(2 + 2b)x+ (a+2)y=1,即2+2b= 1,La+2=-1,a=-3,所以s11

8、b=-2.2 .二阶矩阵M对应的变换将点（1,1）与（2,1）分别变换成点（1,1）与（0,2）.（1）求矩阵M;(2)设直线l在矩阵M变换作用下得到了直线m：x-y=4,求直线l的方程.“二abl解(i)设M=k：-yHi/d=所以a-b=-1,lC-d=-1,-2a+b=0,-2c+d=-2,解得b=2,d=4,一二121所以M=JIJ4_)(2)设直线l上任意一点P(x,y),在矩阵M的变换作用下得到点P'(x',y').x，因为Jlly,j JIEL lx：4y且m：x'y'=4,所以(x+2y)(3x+4y)=4,整理得x+y+2=0,所以直线

9、l的方程为x+y+2=0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解.题型二求逆矩阵-师生共研例1已知矩阵det(A)=241一-1求A的逆矩阵A；(2)求矩阵C,使得AC=B.解(1)因为|A|=2X31X4=2,所以A 11_-1(2)由八0=3得依A)C=AB,故一xC=A1B=2一一21,0思维升华求逆矩阵的方法(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵bI AB=BA=E; d(2)公式法A |=跟踪训练解 B=( B, AB= |1J0=ad bcw 0,已知矩阵1)-1-2.0A=2-2ill矩阵亘|A|B的逆矩阵B 1一1,0-11 .一2 ,求矩阵AB.

10、21121IL041一i41题型三特征值与特征向量,0 11台师生共研例2已知矩阵A的逆矩阵A72 1(1)求矩阵A;(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解(1)因为矩阵A是矩阵1 的逆矩阵，且 |A 1|= 2X 2- 1 X 1 = 30,所以a=32-1'42(2)矩阵A 1的特征多项式为f 0)=-1=24 计 3= (1)(卜 3),令f(2)=0,得矩阵A-1的特征值为加=1或卜=3,11所以&=是矩阵A-1的属于特征值4=1的一个特征向量,一1&=一1A1的属于特征值4=3的一个特征向量.abl思维升华已知A=IL求特征值和特征向量的

11、步骤cd入一a令f（ A =一c=(入一a)(入一d)-bc=0,求出特征值(2)列方程组，卜ayby=0,cx+（入一dy=0;(3)赋值法求特征向量，一般取x=1或者y=1,写出相应特征的向量.跟踪训练2(2018无锡期末)已知变换T将平面内的点，2(0,1)分别变换成点弓，一2：,(3，4：.设变换T对应的矢I阵为M.(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的特征值.3得a=3,b=-2,c=4,d=4,，M二3司441(2)设矩阵M的特征多项式为f(?),=（入一3）（卜4）6令f(5=0,则册=1,22=6.课时作业夕基础保分练7151,已知A=，求A的特征值.62X-15解A的特征多项式f(

12、?)=一6人一2=（卜1）（Z-2）30=大一3卜28=（卜7）（入+4）,，A的特征值为4=7,卜=4.2 I,求失I阵A的逆矩阵A 1故A的特征值为7和一4."12.(2018南通、泰州模拟)设矩阵A满足：A|0解方法一叱;工所以a=-1,2a+6b=2,c=0,2c+6d=3.解得1 , b= 0, d = 2,所以 A =- 10112_ 1_ 1根据逆矩阵公式得 A-1：.0二一1方法二在a 1 6一一1-22一 2两边同时左乘逆矩阵A3回 6Lat设A-1所以一a=1解得a= 13.- 0 371 21，则Ik0 6 J-2a+3b = 2,b=0, c= 0,(2019

13、徐州模拟)已知矩阵a1 -203一 c= 0, 一 2c+ 3d= 6.d=2,从而A 1a= 16 rlJD 11,向量b=121.求向量a,使得A2a=b.3 14 9=1 121 12JO4x+3y= 10,y=2,解得J：1'所以a= I1 1y=2,24.(2018宿迁期中)已知变换T把直角坐标平面上的点A(3,4),B(0,5)分别变换成点A'(2,-1),B1(-1,2),求变换T对应的二阶矩阵M.设矩阵M = 1a qbj 3口 di-41bi42名校名师推荐3a-4b= 2, 所以，3c-4d=- 15b=- 1, 且5d =2.2 a=5'b= 一解

14、得1C= c55所以矩阵M=-52 d=55.曲线Ci：x2+2y2711在矩阵M =-02 的作用下变换为曲线 C2,求C2的方程.解设P（x,y）为曲线C2上任意一点,1P' (x' , y')为曲线x2+2y2 = 1上与P对应的点,x= x' +2y'ly=y'，x' =x-2y,即4 yly' =y.因为P'是曲线C1上的点,所以C2的方程为(x2y)2+2y2=1.6. （2015江苏）已知x, yCR,向量a是是矩阵；xA=-y1 的属于特征值2的一个特征0314向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.解由已知，

15、得Aa=-2a,x-1 = -2,y=2所以矩阵A=1一从而矩阵A的特征多项式f（4=（入+2）（X-1）,所以矩阵A的另一个特征值为1.一17.求曲线|x|+|y|=1在矩阵M =011对应的变换作用下得到的3-011对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.3-一1解设点（x0,y0）为曲线|x|+|y|=1上的任一点，在矩阵M=；0点为（x'，y'),一1则由Py'x'=x0,，得，1Iy=3y0，x0=x,即小Iy0=3y名校名师推荐1所以曲线|x| + |y| = 1在矩阵M =0°11对应的变换作用下得到的曲线为|x|+3|y|=1,3一

16、所以围成的图形为菱形，其面积为1x2x|=|.2338.(2018江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(2,0),C(2,1),设kw0,20kR,M=-0N=J，点AB,C在矩阵MN对应的变换下得到点Ai,Bi,Ci,AiBiCi的面积是ABC面积的2倍,求实数k的值.由题设得MN=O09Jkoo1-由oo.=21可知Ai(0,0),Bi(0,2),Ci(k,-2).计算得ABC的面积是i,4Ar1cl的面积是|k|,则由题设知|k|=2Xi=2,即k=22.技能提升练19. (2018高邮考试)已知矩阵A= 'T1其中aC R,若点P(1,1)在矩阵A对应

17、的变换作用下得到点P'(0,3).(1)求实数a的值;(2)求矩阵A的特征值及特征向量.(2)二I卜119.f(4=猿一2卜3.4A1令f(5=0,得=1,?2=3,对于特征值加=1,-2x+y=0,解相应的线性方程组4x-2y=0,x=1,得一个非零解rly=2,1良矩阵A的属于特征值4=1的一个特征向量.上一对于特征值=3,解相应的线性方程组2x+y=0,4x+2y=0x=1得一个非零解1ly=-2,因此j02=2是矩阵A的属于特征值B3的一个特征向量.矩阵A的特征值为?1=1,灰=3,灰=3的特征向量分别为111.-2x2 y2E： +/.经过矩阵A变换后对应点为P' (

18、x'，V,),所以ry=ax,= by,2因为点P' (x' , y')在椭圆E： %2y3=1 上，10.设 a>0, b>0,若矩阵A=|a01把圆C：x 22 2所以af+T，,这个方程即为圆C方程,a2 = 4, 所以12= 3,+y2=1变换为椭圆0b(1)求a,b的值;1(2)求矩阵A的逆矩阵A.解设点P(x,y)为圆C：x2+y2=1上任意一点,又因为a>0,b>0,所以a=2b=3.2(2)由(1)得A=0!所以,320-1211. (2017江苏)已知矩阵A=求AB；C2,求C2的方程.(2)若曲线C1：x-+y7=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线82不。1B= :jo 2TO11解（1）因为A=!JO_l-o所以AB=J1叩0L021ob2-10(2)设Q(xo,yo)为曲线Ci上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(