小学数学学习路径的研究

1、小学数学学习路径的研究、问题的产生现代的教学越来越强调智慧、能力和素养，兴趣和智慧是可持续开展的原动力不久前，清华大学的 6 名学生，在百度百科上坚守 120 小时，修改词条 36 次， 打赢“PX二甲苯词条保卫战。这是一种“求真的精神，也是一种“务实 的态度。这是关乎科学的事， 这也是数学科所应传扬的精神和态度， 也是数学本 质特征之一。反观我们的课堂暴露出的学科教育问题是老师辛辛苦苦忙够呛， 学生就是不买账， 这种付出与回报的极不相称现象说明数学课堂学生的学习效率不是很高， 学生不 会自觉、主动的思考是根源。 今天，我们研究如何促进学生对学科本质理解的教 学策略研究就是试图为老师们提供一些

2、深化知识理解的教学策略， 以期能够改变 现状。东北师大史宁中教授曾说： “知识是什么，是思考的结果、经验的结果。结果的 教育是不能教智慧的， 智慧往往表现在过程中。 有关过程的东西只有通过过程来 教。过程的教育能够培养孩子们正确的思考方法， 最终培养孩子数学的直观。 因 此我们要强调过程的教育，在过程中判断他的思维是不是对的 。教师启发学生 思考最好的方法就是“和学生一起思考 。和学生一起思考，不是带着，更不是 牵着，而是跟随、协同，唤起学生思考的自觉，我们要更好地了解学生的知识基 础，社会背景，理解程度，思维方式等等，只有这样才能更好地与学生融合，才 能和学生一同经历，一同体验，一同思考，一

3、同呼吸，一同创造。那么，怎 样才能实现这一目标呢？我想就是要关注学生的思考， 关注学生学习路径上的轨 迹，思维的变化，思维方式的倾向。学生学习路径既有别于思维方式的研究因人而异 ，又有别于路线图无法复制，它是以有效学习为目标的关于学生学习路径的研究，学习路径不能只靠书 本上的数学知识的规律去类推，即，两点间的直线段最短纸上谈兵 ，学习路 径不是“捷径就好，也不是条条大路通罗马的“任由式途径，也不是成心而 为之的“曲径通幽的浪漫，学习路径是学生学习时所表现出的根本样态，正如 孙子兵法中论述的“知己知彼方能百战不殆告诉我们，战场上起到制胜的关键 是知道对方在想些什么？才能实现“深入人心，才能收到事

4、半功倍的效果，才 能真正在学习者身上产生巨大的变化。 我们只有了解学生的学习中的规律， 才能 更好地运用规律解决问题，它需要依靠调查、分析、统计的信息加工与提取，又 要有敏锐的觉察力，和富于创造性的行动力支持。自命非凡式的选择注定这条路 径会走得很辛苦，但我认为它会有别样的风景，别样的感悟，别样的收获。、研究学生学习路径的意义达尔文的巨著?物种起源?中明确地阐述：能够生存下来的生物不一定是最高级 的，也不一定是最强壮的，而是那些最能适应生存环境的。 这个本能的属性也包 括教育与接受教育。教育的目标是要作用在学生身上，因此，教育要考虑如何适 应于学生。数学教育的两个重要启迪：一个是应当在适当的时

5、机给予适当的教育； 一个是在 传授知识的同时也应当注重培养直观直观的养成是基于经验的。不能空洞，亦不能泛化，应找准切入点节点，这样才会有力又有效。有关学习路径的研 究恰恰是基于这样的考虑，在教学中基于学生的状况，学生的方式，学生的理解， 学生的路径来设计并实施我们的教学。要理解学生的思考过程是非常困难的， 但是，不能理解这个过程又如何进行有的 放矢的教学呢？教师应当关注学生是如何思考问题的， 因势利导地进行有针对 性的帮助、启发、指导和引领。思考问题的过程往往是因人而异的，不可强求统 一，千人一面，千篇一律。教学中，如果我们让学生尝试着去理解，即使失败了，其实也是一种进步。突出表达了三个“更加

6、，即：更加关注了学生，更加了解了学生，更加理解了 学生。更加关注学生： 把学生的想法变成老师的想法， 而不是老师的想法如何变成学生 的想法。更加了解学生：了解学生学习的路径，思维的方式，思考的习惯更加理解学生： 对于学生学习中的反响有足够的了解， 足够的估计， 就会有足够 多的理解。只有这样我们才能在把握知识规律、 教育规律的根底上把握学生的思维动向、 思 考方式、才能做到因材施教、因势利导、以学定教。三、课标学习心得?数学课程标准 2022 年版 ?的特点是具有高度的概括性、目标性、人文性 和过程性。概括性突出表现在核心问题的提炼上，如：数学教学的核心理念，核心思想基 本思想，核心概念等等，

7、让教师能够清晰数学教学的脉络和目标，方向感清晰 易于把握。1. 数学的核心理念： “人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不 同的开展根本思想：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想 10 个：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、 推理能力和模型思想、应用意识和创新意识。 ?数学课程标准 2022 年版 ? 指出“在数学课程中，应当注重开展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直 观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代开展对人才 培养的需要，数学课程还要特别注重开展学生的应用意识和创新意识。 目标性：表达在加强“四基，培养“四能，从

8、而提高学生的数学素养。四、学习感悟：关注核心，理清脉络，加深理解数学的本质数学核心思想是对数学概念、数学结构及数学方法的本质认识，它集中反映为数 学抽象、数学推理和数学模型思想。而核心概念是数学根本思想的本质表达，这 提醒我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质， 并使之贯彻在数学教学的 每时每刻。核心概念是课程目标的支点，起着沟通课程目标与具体数学内容之间联系的作用。 核心概念起着统领众多具体数学内容，导向其教育价值的作用。围绕每一个核心 概念都有许多具体的数学内容，通过这些数学内容的教学才能在学生头脑里形成 核心概念。使学生形成必要的核心概念是数学教学的重要任务， 也是有效的数学 教学的

9、归宿。教学中让学生掌握这种核心概念，可以提高学生的概括水平、解释水平、应用迁 移能力。有学者说：“在构思科学教育的目标时，在知识方面不是用一堆事实和 理论，而是用趋向于核心概念的一个进展过程。 “这些核心概念及进展过程可以 帮助学生理解与他们在学校以及离开学校以后的生活有关一些事件和现象。备课要站在思想的高度去思考，联系核心概念去设计，盯住核心目标来落实那么，如何把一堂堂数学课上出味道来是我们数学教师所思考的。把课上出味道来，课要“有滋有味。即，“有体味，有玩味，有回味，体味意味着学生要有 参与、有体验；玩味意味着学生要思考、要琢磨；回味意味着学生要反思、要升 华。要有此三味就需要老师深刻理解

10、，巧设疑问，启发引导，追问质疑和高度概 括。师大史宁中校长曾屡次强调，在课堂上要“与学生一同思考，比思考更贴 切的词就是琢磨。要改变重显性轻隐性的倾向，要重“感悟 。“感是感知，是 来自于外部的刺激而产生的， 是通过肢体而不是通过大脑思维， 它是原始的， 经 验性成分。“悟是内化、反思，领悟。来自于主体自身的，是通过大脑思维而 产生的，因此说“教之道在于度， 学之道在与悟，感悟既通过肢体又通过大脑， 只有内外结合， 感知与思维的结合才能认识深刻。 老师要放下架子， 别总在做裁 判员，也要当当运发动，与学生一起操练起来。要想这样就要把评价权释放，这 样研究的味道就有了，民主也就会随之而来。五、关

11、于小学数学教学中对有关概念的分析和处理处在根底教育的小学阶段许多的概念都只能用白描的手法来描述。 例如，现在还 在使用的方程的概念： “含有未知数的等式，叫做方程 。这就存在 X =5也是方 程， X+5-3=X+2 也是方程。裘宗沪先生曾评价 X=5 是不是方程，就像在问死人 是不是人一样。这样的数学是故弄玄虚，玩文字游戏，这不是应有的大数学。史 宁中教授把这个概念改成： “方程是含有未知数的等式 ，意在表达方程属于 “含 有未知数的等式 ，而“含有未知数的等式不一定就是方程。从这一例子我 们可以感受到新课程指导下的小学数学新教材要 “淡化数学概念的严密表述， 增 进对概念的感知。这是因学生

12、的理解能力而受到限制，再有就是防止陷入一个 无谓叫真的怪圈。 而数学又离不开一些重要的概念， 学生在今后的学习中还要经 常运用这些重要的概念，这就给每一个教者提出一个新的要求： “教是为了如 何“学而效劳的，即，元认知的哲学思考。六、为了学生更好的学而生发的教师的教学策略面对数学教学尤其是概念教学教师所采取的教学策略：1.同行策略学生学习的共同参与者，不是带着，更不是灌输，而是与学生一同思考，这种角 色才能把学生推到前台，才能贯彻以生为本的思想。包括等待延迟评价 ，陪 同允许出错等策略。2. 建构策略学习根据师生在学习中的地位和关系可分为： 直接传递模型； 训练模型； 建构主 义模型；变构模型

13、。模型一直接传递模型对教师而言它是“传授模型 ，就学生而言它是“接受 模型。把学习能力描绘成一种简单、机械的记录；知识的获取是由一个“空白的 、随 时待命的大脑进行的， 它是传递的直接结果。 表现为对信息的常规性介绍， 这种 教学法被称为“说教型或“直授型教学法，它只存在一种线性的、直接的关 系，接收者会依次对信息进行记忆。过去基于教师主观臆想的理想化的模型。 对于学生而言， 只需要你付出的是最 大努力的“倾听、记忆和模仿 。容易产生的效果是“左耳朵进，右耳朵出 。这 是对高效教学的一种曲解。 模型二行为主义模型 对教师而言它是 “训练模型，就学生而言它是 “强化、 操作模型。把学习建立在对学

14、生反复训练的根底上， 而这种训练最终上升为原那么。 学习由“奖 赏正强化或是“惩罚 或运用负强化促成。通过一种条件反射的形成， 个体最终会选择适当的行为，也就是可以使他免遭惩罚的行为。学生感受： 重复的训练和强化带来的是枯燥乏味， 对行为的出入不感兴趣， 放弃 了对个体行为的了解意愿。它依据了“条件反射和“强化的思想，是驯兽师的“教育主张。要使强化的有效，那么所借助的条件和信息必须是少量的。 于是就有了一个个根本知识单位 的划分，每个知识单位都作为一个专门练习的对象。 它没能激发学习者在学习期 间的学习动机， 使得教学显得枯燥乏味。 这种教学会导致学习者精神上的封闭和 厌倦。教师涉及的问题往往

15、并不是学生自己提出的问题， 而如果学生没有被间接 地激发，很快就会失去兴趣。模型三建构主义模型“建构教学法，从兴趣出发，提倡个体的自由发表、创造的觉知。它强调自主发现或是在学习行动中“尝试修正的重要性。在认知开展和智力开展中赋予了 “主体 极其重要的地位。 个体的先拥知识构成 了学习的决定因素。 学习不再表现为感官刺激在学生头脑中留下印记的结果， 就 好似光在胶片上留下印记一样。 学习也不是由环境引起的操作性条件反射的结果。 学习来自于主体的活动， 它与已有的、 活化的心智模式的存在相关联。 皮亚杰认 为，知识的获得是通过直接经验或是间接经验， 而不是通过传递。 这种模型是建 立在“同化和“顺

16、应思想之上。学习者根据先拥知识及其组织处理新信息， 学习者将之“同化。相应地“顺应也在进行。探究教学中存在的问题：实际上只是对直接传递式教学的 对话甚至学习指导， 都在间接地 在投影上显示着正确的进展方向，许多教学主张拥有着非常吸人眼球的美妙宗旨， 一种伪装。 许多教师在教学中通过侧面的指令、 让学生做出他本可以直接说出来的事情和要求， 而学生们在这样的无声引领中按照老师的指定的路径大胆地 “探究和“再创造， 学生成为木偶和风筝。 这种现象在公开课上非常普遍， 而知识建构所必须的自治 却被很大程度地限制了。 再者，单纯的探究既不能获得操作方法， 也不能转变思维体系。只有认知层面得到了关注， 大

17、量的元层面和潜层认知层面的障碍未被考 虑。模型四：变构模型安德烈?焦尔当在皮亚杰的建构主义研究的根底上进行了充 分的拓展和丰富。 这一理论解决了一些难题： 究竟什么阻碍了学习？究竟怎样才 能使概念发生真正的转化？有了“结构就能有“建构吗？激发有效学习的路 径究竟在哪里？ 心智活动和学习环境建立起丰富的互动； 教学环境和学习个体思维体系相互干预， 教学应是一个教室对于学习者的“召唤、助力、援助、促使 的过程。质疑新知：学习者还必须与这些知识“唱反调才能够理解所学事物。为了学习，学习者必 须和自己起初的某个概念反着来， 他又努力运用自己原有概念， 直到这个概念看 来具有局限性或是欠丰富， 此时这一

18、概念才会发生 “破裂，被另一个概念取代。 学习者还必须有时机让这一取向得以运行。 有效学习才真正得以施展这样的 过程从来都不是自发的。在新旧知识的“对质中实现“解构 - 建构，已有 的概念认知在这种对质中发生“破裂 ，才能被另一个概念取代。阐释、扭变、塑形型 、重组学习者的概念网络在其中扮演了“过滤器的角色。必须要进行适当的教学干预教学 ，这些教学要考虑学习者概念的存在，要使 新信息可以最大程度地接近这个最近开展区。对质、联系、区分系统化过程划定各自区域在解构过程中， 学习者的思维让新信息和他所调用的概念进行对质， 以生产出更 加适合答复他对自己提出疑问的新涵义。一个新概念只能以一种悖论的方式

19、，在补充先有结构的同时替换掉旧概念“解禁、“颠覆学习既上一个建构过程，同时也是一个解构过程，是一种“解禁的过程。为了 学习，个体必须跳出习以为常的标线想当然，必须放弃他的惯习。必须建立一种不协调，它至少瞄准处于“健康稳定状态的信念的“硬核心这一 不协调必须制造一种紧张，打破由学生构建立起来的脆弱的平衡。“认知冲突交战交锋矛盾冲突学习既表现出“冲突性模式又表现出“融合性模式具有“相互干扰性既学习是各种各样必要的相互作用产生的结果， 制造困难的 不是数学推理本身，而是学生自己制造的数学的形象， 还可能是使用的词语数 学语言。正向进展学习者的概念以及他们在学习中遇到的障碍往往既不是显露于外，也不是透

20、明可见的，它们必须从可观察的元素整体中来推断， 包括学生情境中的言行，以及学 生制造出的符号化经迹如书面的语言表达、图图、图表也需要经过一番推理 分析。无论是建构还是变构都需要教师精心预设的问题和课堂及时生成的问题，教学评 价、点拨、调控、鼓励等的支撑。3、智慧建构策略学生学习路径分析教学智慧的建构需要教师不断地进行教学实践性知识的积累， 并在教学中力争做 到“整体把握，目标分解，重视起点，找准节点 。例：对体积的通用公式的理解和运用。整体把握，沿着线索往上寻找，寻找到它的制高点在教学圆柱的体积时，学生对于体积的通用公式： V=SH 已经有所了解，如果 教师还在讲解着怎么切分拼组成长方体的这种

21、方法推导出公式， 恰恰失去了一个 很好的培养学生类比能力的时机。在这一节点上“既要放得下，又要拿得起 ， 放下的是外表的多种策略， 拿起来的是把圆柱与长方体、 正方体比照分析， 抓住 它们的共性特征， 使学生的认知到达一次飞跃。 同时也为后续学习打好根底， 做 好铺垫。要知道思维也是需要收紧或是松绑的， 收紧是一种聚合和概括， 只要具 备了“所有横截面的面积都相等 的特点的物体它的体积就可以用这个通用公式， 松绑是一种拓展和类推，还有哪些物体也可以用这一公式来求它的体积？引出： 钢管的体积；角钢的体积；钢轨的体积等等。再如，小学数学大局部时间用在计算教学上，整数、小数、分数加减法占有很大 的比

22、重，学完后问学生：整数、小数、分数加减法所要共同遵守的原那么是什么？ 许多学生答不上来，原因是老师没教。很简单，即：单位相同才可以相加减。这 是各个加减法计算法那么的思想根底。 老师脑子里要有这样的整体把握， 学生那里 才有可能有整体建构的效果呈现。4. 调研策略学习是在学习者已有经验和已有概念的根底上， 通过与外界相互作用而自主建构 的过程。学习者原有认知结构和原有的学习经验是进行新的建构的根底， 其内容 的科学性与合理性对新的建构有着很大的影响。因此，教师在教学中要充分 关 注学生，关注学生的认知原点， 明确学生学习的最近开展区， 确定有效问题的范 围。教师既要关注学生的认知水平， 清楚学

23、生的认知背景和认知起点， 又要对教 学的目标了然于胸， 既知从哪里来， 又知到哪里去， 这是研究学习路径的前提条 件，“眼里有人，心中有数，做时得法关注学生的个性差异，知己知彼，顺势 而发，有效生成。关注学生间的认知差异， 家庭背景差异， 学生接受能力的差异， 因材施教。在进行教学前测时我们发现有 30% 的学生对体积概念的理解：某个物体的大小。 还有一局部学生也是这样理解的， 只由于语言表达上产生了歧义。 如，一个物体 外面的大小；和面积很像，一个物体的大小等等。于是，我在设计中由吹气球由 大变小引入， 学生初步感悟到物体有大小， 由同等重量的硬币和泡泡板感受体积 与重量无关， 再由俄罗斯套娃比照感受体积与形状无关， 当学生对体积有了比拟 清晰的认识之后通过在一个盒子里放乒乓球的活动感受物体占有空间的大小的。教学不是灌输，教学更不是命令，教学是“教与“学的良好互动，是两者的 有效对话，又是共同的探索经历。 因此，在教学中教师应“沿着学生的思路去推， 按照学生的方式去