考研数学140分_必背公式大全

1、全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全三角函数的有理式积分:第1页共25页三角函数的有理式积分:第1页共25页导数公式:三角函数的有理式积分:第1页共25页三角函数的有理式积分:第1页共25页(arctg 打=(arccosc)'= 一11+x2(tgM = sec2 x (ctgM，= _csc?x (secx)r = secxtgx (cscx) =-cscx ctgx (ax)f = ax In a(arcsinx)1 =Vl-x2三角函数的有理式积分:第1页共25页(logx)' =1xlna(aicctgM = _11+x2三角函数的有理式积分:第1页共25页三角函数

2、的有理式积分:第1页共25页基本积分表：j tgxdx= - ln|cosx| + C j ctgxdx= ln|sin x|+C secxdx= ln|secx+tgx| + Cesc xdx= In esc x-+ Cdx 1 x =-arctg-+C a + x- adx 1 f =r = _ In x- - a- 2adx 1 f a + x _-=In+ Ca - - x- 2a a - x dx x=arcsill + CaI = sec2 xdx= tgx+ CJ cos" x J f =I esc2 xdx= -ctgx+ C -siir x | secx tgxri

3、x= secx+ CI cscx ctgxdx=-cscx+C| slixdx= chx+ CI chxdx= shx+ C/ “$ = ln(x+ vx3 ± a2) + CVx2±a2三角函数的有理式积分:第1页共25页三角函数的有理式积分:第1页共25页n-Jsinn xdx=cosn xdx= -_-0n2Jx2* a'dx= 7x2 + a2 + ln(x+ y/x2 + a2) + CJ 2 2| Va2-x2dx= j Va2 - x2+ arcsin+C2a三角函数的有理式积分:第1页共25页sinx =2u1 + u2cosx =dx=2 du1

4、+ u2第3页共25页第#页共25页两个萱要极限:双曲正弦:shx=2ex + e"x双曲余弦:chx=2双曲正切:thx= =:chx e + esinx=1lim(l +丄)J e = 2.71828182829045.XT8 X一些初等函数:第#页共25页arshx= ln(x+ vx3 +1) archx= ±ln(x+ vx-1) arthx= ln- 21- x三角函数公式: 诱导公式：第#页共25页、数角Asincostgctg-a-sinacosatga-ctga90°-acosasinactgatga90°+acosa-sinactga

5、-tga180°-asina-cosatga-ctga180°+a-sina-cosatgactga2705-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tgactga360°+asinacosatgactga和差角公式:和差化积公式：第#页共25页第#页共25页sin(a± p) = sinacos/?± cosa sin p cos(a± 0) = cosa cos/J + sin a sin p.= Q+0&-0sin «

6、+ sin p = 2 sincos2 2tg(a±0) =tga 士 tg/?1 干 tgatg0sin a-sin 0 = 2cossinCtg(°±0)=叱空空ctg/7 ± ctgacosa+ cos0 = 2cosa+ p2a-p2cosa- cos/? = 2 sinsin第4页共25页倍角公式:sin 3a = 3sina-4sin3asin2<z = lanacosacosla = 2 cos2 a-l = l-2sin2a = cos2 a-sin2 a第5页共25页ctg2a =ctg2a-l2ctgatg2a =2tgal-t

7、g2acos3a = 4 cos3 Q - 3 cosa3tga-tgztg3a =?l 3tgs第#页共25页第#页共25页半角公式:.a 1-cosaa 1-cosa 1-cosasin atg = ± I=2V1 + cosa sin a 1+ cosa正弦定理：= = =2R sin A sin B sin C反三角函数性质：aicsin x= - accos x2高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:aCOSy =a /1+ cosa 1 + cosa sin a ctg= ± J=2 一 cosa sin a 1-cosa余56理：c2 = a2 + b

8、2-2abcosCarctgx =arcctgx第#页共25页第#页共25页(u(n) = fc>(n-k)v(k)k=D(n)(n-i) n(n -1) (n-2)卯11(11 -1) (n - k +1) (n-k)(i)3=ir ;v+ mr P+ if + + if 7 + + uv '2!k!中值定理与导数应用：拉格朗口中值定理:f(b)- f(a)= f ()(b-a)柯西中值定理兰口亠学F(b)-F(a)F'©当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗口中值定理曲率：弧微分公式：ds= J1+ y'd%其中y' = tg&

9、平均曲率衣彳譬卜Q：从M点至IJM'点，切线斜率的倾角变匕量：As： MM弧长。M点的曲率:ArzdalimA$tOAsds直线：K = 0;定积分的近似计算: 矩形法彳 f(x)« -(y0 + Yi + + y)ab _梯形法* f(x)« -(y0 + %)+% + + Yn-lQ抛物线法f（x）«金即読+y+"y?+y。+ 丫心）+纵+3+yj】定积分应用相关公式：功：W=F s水压力：F = p-A引力:F=k巴芈,k为引力系数 厂函数的平均值力丄jf（x）dx b-a ;均方根厲jfdt空间解析几何和向代数：空间2点的距离：d 二 |

10、MM2|= J(x? 丘)'+ (y? - yj? + (z? - zj，Pi 人佰 i + a2) = Pr j 需 + Prja2a- b = |a| - b cos8= axbx + ayby + azb2,是一个数量两向量之间的夹角cose =匸一：备亠JaJ + aJ + aJJbJ + byd + b；i j k c = a xb = ax ay az,c| = a b sinft例：线速度:v = wxf.4 by b2_ax ay az_向量的混合积苗6可=(斤x6)C= bx by b2 =矿x6卡|cosa,a7j锐角时,cx Cy c2代表平行六面体的体积平面的方

11、程：1、点法式：A(x-Xq) + B(y- y0) + C(z- Zq) =其 +n = AB,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D = O3、截距世方程芒+ f 1a b c平面外任童一点到该TW的距离：dJ + Byo + CZp + Dlva2 + b2 + c2X= Xq + lilt空间直线的方程；X = y y° = z ' = t，其屮g = m,n, p;参数方程：y= y0 + nt 11111pz=Zo+ pt 二次曲面：1、椭球面茫+卓车1a- lr c-2、抛物而二+Yl=z,(p,q同号)2p 2q3、双曲而：Jr r单叶

12、双曲面尘+賽_=1犷 lr c*>*>*>双叶双曲面巴一 £+4=1(马鞍面)a- lr c"多元函数微分法及应用全微分：dz= dx+dydu= dx+ dy+ dzchc dydx. dy dz內一d + 空庆al一比 尹=s 氐亦业一&z= fu (兀 y),v(x,y)全微分的近似计算：Az« dz= fx(x,y)Ax+ fy(x,y)Ay 多元复合函数的求导法 z= fu(t),v(t)乎= at当u = u(x,y), v=v(x,y)时,第7页共25页第#页共25页du=sdx+ldy皿空dx+空dy dx dy第#页共2

13、5页隐函数的求导公式:dy =Fxd'yH)+1( -dxdxrdx Fv dy Fv dxdzFxdzFydx.9Fz隐函数F(x,y) = O隐函数F(x,y, z) = 0>OFjF(x,y,u,v) = 0O(F,G)_aTFu FUV(G(x,y,u,v) = 0_ (u,v)-空G GUVdi隐函数方程组Ai1d(F,G)dv10(F,G)OxJ0(NV)JO(u,x)Ai,10(F,G)dv1O(F,G)3J0(yM6Jogy)微分法在几何上的应用；X十t)空间曲姒y“)在点叫"处的切线方程就Z= 69(t)在点M处的法平面方程：0(t(x-观)+ (to

14、)(y- y0) + (t0)(z-Zo)= O，则切向吩G:鑼:噩冷若空间曲线方程为4F(x,y,z) = 0G(x.y,z) = 0曲ffiF(x,y,z) = O±M(x0,yo,z0)> 则:1、过此点的法向量:n = Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),F2(x0,y0,z0)2、过此点的切平面方程 Fx(Xo，yo,Zo)(x- Xo)+y0)+ Fz(x0,y0,z0)(z- Zq) = 0x-Xq _ y-y0 _ z_Zq3、过此点的法线方程.兀铉必金)F/Xqo.Zo)尺,。,)方向导数与梯度:函数z = f(x,y)在一点p(x, y)沿任

15、一方I讪的方向导数为色=cos(p+ sin cp cl 5xdy其中泌JX轴到方向的转角。函数z= f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y) = 各j ox dy它与方向导数的关系是一=grad f (x, y)h其中 = cos©i + sin 0 j为1方向上的 a单位向量。.£是gradf(x,y)在1上的投影。 a多元函数的极值及其求法：设心(观'旳)=©(观，旳)=0，令：匚(心,)=£, f/XoyoXClAO,(XQ,yo)为极小值则X AC-B2 <0时，无极fiAC_B=0吋，不确定直积分及其应用:I

16、f (x,y)dxdy= J| f (i cos&,r sin&)rdrd&DD曲而z= f(x,y)的面积A=dxdy第9页共25页第#页共25页fJ(X,y)dcrJJyp(x,y)db平面薄片的重心：壬=也=.M J|p(x,y)dcrM JJp(x,y)dcrDD平面薄片的转动惯量：对丁*x轴Ix = JjVp(x,y)d6对丁y轴Iy = JJxp(x,y)d(7DDH P(x,y)xdc d (x2 + y3 + a 予平面薄片(位于xo汁面)对z轴上质点皿(0,0,町,点>0)的引力：F=Fx,Fy,F2,其中:Fy = fjj y)y3, F2 =

17、 -fan zrJ、百u (x + y- + a-)-F = f 口 p(x,y)xckrD (x2 + y2 + a2)x= r cos®柱面坐标* y = r sin 0,z= z柱面坐标和球面坐标：j| | f (x,y,z)dxdydz= |j F (r,z)rdrd6Uz, Qa其中：F(t,Q、z)= f(rcos,rsin6.z)x = r sin(pcosO球面 坐标*y=r sin0sin®dv= rdr sin>- d- dr = r2sin (pdrdqxiOz=rcos02<<T(00)II f (x,y,z)dxdydz= |j|

18、 F(r,>,)r2sindrdd= j d| d(p j F(r,)r2 sindrQQ000重心咖V,y=”Jy°dv, 2=制”咖转动惯量：Ix = ffJ(y2 + z2)pciv Iy = fJJ(x2 + z2)txiv Iz = JJj(x3 + y2)pdv曲线积分:第#页共25页第一类曲线枳分(对长的曲线积分)：第10页共25页第#页共25页设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为卩=必)ly=vz(ty第#页共25页第#页共25页特殊情+t)J f(x,y)ds = j F從t),沁)“0"t) + /(t)dt (a<p) La 第二类曲线

19、积分(对粥的曲线积分)：设讷参数方程#"噴则：；y=(0Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy訂P%(t),p(t)炉(t) + Q9(t),y/(t)“(t)<itLa两类曲线积分之间的5：jPdx+Qdy= (Pcosa +Qcos0止 其中c和0分别为LLL上积分起止点处切向钢方向角。格林公式 ( - ) dxdy= f P dx+ Q d 弗林公式打(-)dxdy= f P dx+ Q dy dx. dylD (3x i?yl当P = -y,Q = x,即:冬-空=2时，得到D的面积：A= jjdxdy= iJxdy-ydxdx dyY2 £平面上曲线积分与路铳

20、关的条件：L G是一个单连通区域：2、P(x,y), Q(x,y)住G内具有一阶连续偏导数且里=嬰。注意奇点，奴0,0),应 ax dy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积在冬.=空时，Pdx+Qdy才是二元函数b(x,y)的全微分，其中：dx. dy(xj)u(x,y)= jP(x,y)dx+ Q(x,y)dy 通常设Xq = % = 0。(Z)曲面积分:对面积的曲面积分f| F(x,y,z)ds=H fx,y,z(x,y)冲 + 云(x,y) + g(x,y)dxdy z%对坐标的曲面积分 J| P (x, y, z) dydz+ Q (x, y, z) dzdx+ R(

21、x, y, z)dxdy 其中: z|R(x, y, z)dxdy= ± JJrx, y, z(x, y) Jdxdy 取曲面的上侧时取码；2 %| P(x,y,z)dydz= ± |jpx(y,z),y,zdydz 取曲面的前侧时取碍：|Q(x,y,z)dzdx=± | Qx,y(z,x),zdzdx 取曲面的右侧时取US。ZDm两类曲面积分/间的兴系寸PdydzF Qdzdx+ Rdxdy Jj(Pcos(z + Qcos/7+ Rcos/)ds zz高斯公式:JJJ ( + + _)dv=#Pdydz + Qdzdx+Rdxdy = g(P cosa 4-

22、Q cos p 4- Rcosy)ds 高斯公式的物理意义通量与散度： 散度：div$ +孚+響，即：单位体积内所产酗流体质量，若HivXO,则为消失.dx dy dz通量:JJ A-nds = Jj As = Jj(P cosa 4-Q cosp4-Rcos/)ds,ZXX因此，高斯公式又可可対JJ divAdv=甘Aidsnz斯托克斯公式一曲拔积分与曲面积分的关系：f ( - ) dydz+ ( - ) dzdx+ ( - ) dxdy= P dx+ Qdy+ Rdzdy dz.dz dx.dx dyJdydz dzdx dxd、kdddL ffdx,dydzHJPQRl上式左端乂可写成u

23、EddKpcosofeR os/70 一內 Q空间曲线积分与路径嫌的条件:=, , = dy dz dz Ox. dx. dy旋度：rotA=一 一 一dx dy dzP Q R向最场A沿有向闭曲纟JT的环流最qPdx+Qdy+ Rdz= | A fds rr常数项级数：等比数列 1+ q+ q? + + qn_1 = 1i-q等差数列1 + 2 + 3 +1”业也2调和级数1+丄+丄是发散的23 n级数审飲法：1、正项级数的审敛根植审敛法(柯西光别法)：fp<l时，级数收敛 设：p = liin 则”1时，级数发散 p = l时，不确定2、比值市敛法：pvl时，级数收敛第12页共25页

24、设:则S>1时，级数发散第#页共25页0=1时，不确定3>定义法:sn =Uj +u2+ -+un;limsn存在,则收敛：否则发散。n->co交错级数U -也+口3 -W +(或-5 +U2-U3+ - .Un >0)的审敛法莱布尼兹定理:f un > un41如果交错级数满验訴囂，那么级数收敛且其毗5,其余项几的绝对値|rg£。 ln->» U绝对收敛与条件收敛：(1) u1+u2+-+un+-,其中比为任意实数：(2) 怙| +山| +码+闻+如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝対攵敛级数：如果(2)发散，而(1)收敛，则称为

25、条件收敛级数。调和级数艺寸发散，m込字收敛；级数艺4收敛；p级数:工丄严】时发散 np pl时收敛祁级数：.3 n/冈<1时，收敛于丄1+X+X7X + X + (1- X恥1时，发散对于级数(3“。+ a】x+ a2x2 + + anxn + ,如果它不是仅在原点攵敛，也不是在全/|xj < RHJ-收敛数轴上都收敛，则必右在R，使(|x|>R时发散，其中R称为收敛半径。冈=RHd不定p * 0时，R= a/"求收敛半径的方法：设im也其中a., a.*是的系数，则"0吋，R=+s 28 an p- +s时,R= 0函数展开成格级数:11!函数展开成泰勒

26、级数:f(x)= fgHx-矯+兰3仪-观)2 +竺缪(x-心广+2!+竺型宀 n!余项：“寫(5严,心)可以展开成泰勒级数航要条件豎輕=。Xq = 0时即为麦克劳林公式：f(x)= f(0)+ f'(0)x+丄譽x' + 2!一些函数展开成格级数：、xn .111(111-1) rlll(m-l) - (111-11 + 1) n(1+ x)m = l+mx+ x + + x +2!y5 +(_1严5!(211-1)!X3sinx= x+3!2n-l11!(-co < X<+CQ)第13页共25页第#页共25页欧拉公式:e氏-严sin x =°三角级数:

27、8a8f (t)=州 + 工 4 sin(n/ + %)=专 + 工(an cosiix+ bn sin nx)n=l2其中，a0 = a2%,an = siii%,bn =cos%,= x0正交性I,siiix,cosx,sin2x,cos2x - sniix,cosiix -任意两个不同项的乘稅£r,;r 上的积分=0。傅立叶级数：f (x) = +(a n c o snx + bn sin nx),周期=2疗2n=4an = J f(x)cosnxdx (n= 0J2)(n = 123 )bn = J f (x)siimxdx,11X32 5-8111沪 + + + = 一22

28、 42 6-241111+ T- H + Z- + 22 3-4-.111、223242P(相减)正弦级数： = 0, bn = J f(x)siniixdx 余弦级数：叱 一 0, an-J f(x)cosnxdxn = 123 f (x)=工 b“ sin nxli 奇函数n-02f(x) - - + an cosnx/ifffl 函数第#页共25页第#页共25页周期为21的周期函数的傅立叶级数:第#页共25页nx . cos+ b sin1 nf(x) =(n = 0X2-)(11 = 1,23-)微分方程的相关概念：一阶微分方程：y = f(x,y) 或 P(x,y)dx+ Q(x,y

29、)dy= 0可分离变星的微分方程一阶微分方程可以化为g(y)dy= f(x)dx的形式，解法： Jg(y)dy=J f(x)dx 得：G(y) = F(x) + C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分滋£可以写成色二f(x,y) = <Ax：y),即写成工的函数，解法：dxx设U = Y，则色Lu+x岂，11 +竺=沁1),.空分离变量，积分后将代替II, x dxdx dxx 典 i) - ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:1、一阶线性微分方程理+P(x)y=Q(x)dx/当Q(x)=0时，为齐次方程，y=Ce_JP<x)dx当Q(x)hO时，为非齐次方程，y= (j

30、Q(x)e- P(x)dxdx+ C)e-P(x)dx2、贝努力方程徑 + P(x)y = Q(x)yn,(nOJL)全微分方程：in>UP(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0中左端是某函数的全方程，即： du(x,y) = P(x,y)dx+ Q(x,y)dy= 0,其中：=P(x,y), = Q(x,y) oxdy.-.u(x,y) = C应该是该全微分方程的3解。二阶微分方程：等+ P(x)栗+ Q(x)y=f(x),f(x)三011寸为齐次 f(x)#0Bt为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y"+py'+qy=o,其中p,q为常数：求解步骤

31、：1、写出特征方程(A)r3+pr + q = o,其MV, r的系数及常数项恰好罐水垃屮y",y',y的系数:2、求出()式的两个根sd3、根据的不同情况，按下表目H广成的通解:rP “的形式0)式的通解两个不相等实根(p2-4q>0)y=c1enx + c2eI2X两个相等实根(p2-4q = 0)y= (q + c2x)enx一对共辘复根(p2-4q<0) q = a + i0, r2 = a-ip P, J4q-p?2 2y=产© cosQc+ c2 sin /k)二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py'+qy= f(x),

32、p,q为常数 f(x) = e tePm(x)型，兄为常数;f(x)= eteP1(x)cosax+ Pn(x)siii ax型第15页共25页线性代数部分仁行列式1. 行列式共有於个元素，展开后有川项.可分解为2”行列式；2. 代数余子式的性质： 、舛和為的大小无关： 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0： 、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|州：3.代数余子式和余子式的关系：4, =(-!/*>Vf,4.设行列式D：第16页共25页5.将D上、卜翻转或左右翻转，所得行列式为2,则耳=(-1)厂D；(竺也A OC B 、范德蒙行列式：人指标减小指标的连

33、乘积: 、特征值；、拉普拉斯展开式:将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为0,则D = (-l)，D； 将。主对角线翻转后(转置)，所得行列式为2,则D严D；将D主副角线翻转后，所得行列式为0，则U = 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘枳； 、副对角行列式：副対角元素的乘枳x(-l)厂； 、上、卜三角行列式(pl=ll):主对角元素的乘枳; 、|了|和|,|：副对角元素的乘枳x(-l)厂；A CO B对于阶行列式"I，恒有：|也-内=丫+工；(-1)竹"7 ,其中S*为比阶主子式;A-17 证明|A| = 0的方法: 、|牛-|州； 、反证法； 、构造齐

34、次方程组Ar = o,证明其有非零解： 、利用秩，证明r(A)</i； 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是阶町逆矩阵:o|A|hO （是非奇异矩阵）：«r（A） = n （是满秩矩阵）OA的行（列）向量组线性无关； 0齐次方程组Av = O有非零解； oPbwR", Ax = b 总有唯一解： u> A与E等价：o A可表示成若干个初等矩阵的乘积； u> A的特征值全不为0；OAU是正定矩阵；OA的行（列）向最组是斥的一组基; u> A是川中某两组基的过渡矩阵：2.対于阶矩阵A ： AA* = A'A = AE无条件恒成芷;3.(屮)“

35、尸(ABT = BrAT(屮)= (A")-1(")H(AB)-1 = B W第18页共25页4 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和; 5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：X、若“人.，则：I牛肉闷#;rv4-1£A"1t z:（主对角分块）0toA"1:（副对角分块）、rAC、B,B1:（拉普拉斯）、0、B:（拉普拉斯）第#页共25页第#页共25页3、矩阵的初等变换与线性方程组第#页共25页第#页共25页1.一个以矩阵人，总町经过初等变换化为标准形，其标准形是唯-确定的：F =mx/f第#页共25页等价类：

36、所有与A等价的矩阵组成的一个集介，称为一个等价类：标准形为英形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A、B . r(A) = r(B) <=> A B；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得： 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0尤素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A.E) (E,X),则 A 可逆，且X = Q； 、对矩阵(4)做初等行变化，当A变为E时，就变成即：(A,B)：(E,A*)： 、求解线形方程组：对于个未知数个方程Ax = b,如果GO)b(Ex),则A可逆，且x = Alb :4. 初等

37、矩阵和対角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位壹决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵：人、 、,左乘矩阵A,人乘A的各行元素；右乘，4乘A的各列元素：r i V< 1 、对调两行或两列，符号E(iJ),且,例如：1=1、 I1 1丿1、倍乘某行或某列，符号Eg),且E(讹沪= E(ig),例如:下 伙*0)： -k、倍加某行或某列.符号)且尸二E©") 如:1伙工0)：1丿5. 矩阵秩的基本性质： .0 < r(AmaM) < minOw./f): 、r(Ar) = r(A)； 、若AUB,则r(A) = r(B)； 、若P、0可逆，则r

38、(A) = r(PA)=r(A0 = r(P4(?)：(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max(/(4"(B)SS/(>!)+/()：(探) 、r(A + B)<r(4)+r(B):(探) .r(4B) <mm(r(4),r(B):(探) 、如果A是mxn矩阵，是 xf矩阵，且AB = O,则：(探)I、的列向量全部是齐次方程组4X = 0解(转置运算后的结论)；II、r(A)+r(B) </ 、若八B均为阶方阵，®Jr(AB)>r(A)+r(B)-n；6 三种特殊矩阵的方幕： 、秩为1的矩阵：一定町以分解为列矩阵（向童）x行矩阵（向童）的形式，再

39、采用结合律;f a c、 、型如0 1b的矩阵：利用二项展开式:<0 0 1；二项展开式：（«+/»）* =CV + Cab1 +.+C；（rbm +C：Fbi+C：b” = 土C：（Tbfm-0注：【、（a+by展开后有+1项：1 213mIII.组合的性质：II、CJ = n(n_l)(n-m + 1) _ n!另Q =严 rC$=nC$： r-07.、利用特征值和相似对角化: 伴随矩阵：第20页共25页r(A) = n r(A) = w-1 : r(A) </-!n 、伴随矩阵的秩：r（A*）= 10 、伴随矩阵的特征值：（AX = AX.A* = AAl

40、 =>A X = y * 、A = |A|A-1 >» A*| = |/4|" 18.关于A矩阵秩的描述： 、r（,4） = n , A中有"阶子式不为0, +1阶子式全部为0；（两句话） 、r（A） <n , A中有阶子式全部为0： 、r（.4）w f A中有M阶子式不为0：9.线性方程组：Ax = b.英中A为jhx/i矩阵，则： 、加与方程的个数相同，即方程组Ax = b有加个方程； 、与方程组得未知数个数相同.方程组Ax"为元方程:10线性方程组Ax = b的求解： 、对増广矩阵B进行初等行变换（只能使用初尊行变换）； 、齐次解

41、为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得：11. ih/i个耒知数加个方程的方程组构成元线性方程:询+°閱+%乙二妨 < anxi+anx2 +%"=为.、他、也、% bu>Ax=（向屋方程A为mx/f矩阵，加个方程 “个未知数）z 、a a2 a“)£=0（全部按列分块，其屮0二b2);X n / n / 、OiX1+a2x2+-+anxn = fi （线性表出） 、有解的充要条件：r（4） = r（A,）<n （为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1 m个"维列向量所组成的向量组A ：%,%构成nxm '

42、P阵A = （%,%）:可加个维行向量所组成的向量组：贰屈.,戌构成加"矩阵B=耳:含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应：2. 、向量组的线性相关、无关= 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出<=>Ax = b是否有解：（线性方程组） 、向量组的相互线性表示<>AX = B是否有解：（矩阵方程）3. 矩阵去"与d“行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = O和皿=0同解：（片°】例14）4. r（Ar4） = r（A） : （7>01 例 15）5. 维向量线性相关的几何意义： 、a线性相关<=>

43、; a= 0: 、a,0线性相关 oa,0坐标成比例或共线（平行）； 、a.p.y线性相关 0 a、B y共面；6 线性相关与无关的两套定理：若心,a,线性相关,则a,，a,+i必线性相关:若。线性无关，则$.a-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若/维向量组A的每个向量上添上-旷个分量，构成维向量组：若A线性无关，则也线性无关：反之若B线性相关，则A也线性相关；（向最组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向屋组A （个数为/）能由向量组（个数为线性表示，I1A线性无关，则r<（-版骂4定理7）：向最组A能由向量组线性表示，则r（A）<r（

44、）:（甩定理3）向量组A能由向量组B线性表示<=>AX = B 存解：«r（A） = r（A,B）（沧定理 2）向量组A能由向量组等价or（A） = r（B） = r（A,B）（冬定理2推论）8. 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵A.7V比，使A =比： 、矩阵行等价：ABPA = B （左乘，P可逆）u>Ar = O与& = 0同解 、矩阵列等价：ABAQ=B （右乘，0町逆）： 、矩阵等价：ABPAQ = B （P、0可逆）；9对于矩阵A“与B叶: 、若A与行等价，则A与B的行秩相等： 、若A与行等价，则加=0与血=0同解，且A与B的任何对应的列向量组貝有

45、相同的线性相关 性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩：10 若 A“B,“=C“，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，为系数矩阵； 、C的行向量组能由的行向量组线性表示，"为系数矩阵；（转置）11齐次方程组& = 0的解-定是ABx = 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无揺证明： 、ABx = 0只有零解=>Kr = 0只有零解： 、Bx = 0 有非零解nA& = 0 定存在非零解；12设向量组BS：b可由向量组心，4吗,厲线性表示为：（许1（）题19结论），b" = （flZx心）K （ B-AK ）其中K

46、为sxr，且4线性无关，则组线性无关or（/f） = r；（与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：= "AK）"（K）/（K）","（K）h：充分性：反证法）注：当/ = $时，K为方阵，可当作定理使用：13、对矩阵A 存在幺，AQ = E <=>r（A） = m. 0的列向最线性无关；（鸟）、对距阵心”，存在出"，PA = E“ o/=、P的行向量线性无关；14. q,%,a,线性相关<=>存在一组不全为0的数kltk2,kt,使得klal+k2a2 + - +kta, = 0成立：（定义）0（%,a,）心=0有

47、非零解，即Ar = 0有非零解；o<$,系数矩阵的秩小于未知数的个数：15设加xh的矩阵A的秩为/,则元齐次线性方程组Ar = 0的解集S的秩为：r（S） = /i-r；16若rf为Ax = b的一个解，鼻鼻,J为Ar = 0的一个基础解系，则八鼻鼻，乩线性无关：（&】题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵0人人=£或/17 = （定义），性质： 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即町“广£:;(ij = l2): 、若A为正交矩阵，则A'1 = Ar也为正交阵，且|4| = ±1： 、若A、B正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交

48、阵，万不要忘记施密特正交化和单位化：2. 施密特正交化：(吗,心)= «1 !br平一鹤払一如屯-山bl; r ibM 1 bM 3【“y3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关：对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4、A与等价 u> A经过初等变换得到B;oPAQ = B , P、Q 可逆； <=>r(A) = r(B) , A、同型； 、A与合同<=>CTAC = B,其中可逆：与*Bx有相同的正、负惯性指数： 、A 与 B 相似 <=> P lAP = B :5.相似一定合同、合同未必相似：若C为正交矩阵，则CrAC

49、 = B =>ACB,(介同、相似的约束条件不同，相似的更严格)；6 A为对称阵，则4为二次型矩阵；7. 元二次型为正定：04的正惯性指数为；OA与E合同，即存在可逆矩阵C,使CrAC = £：04的所有特征值均为正数：的各阶顺序主子式均人于0：=>兔>0,|4| >0 ；(必要条件)第23页共25页AnQ= AAr0 = 0An (Au B) = AAB= AkjB71a=Ua1»1 !p(UA) = Sp(A)-工p(A3)+ f P(Ag)+(7 l£i< j<k<np(AA4) 3 .条件概率P(B|A)=P(AB)P(A)概率论与数理统计部分1.随机爭件及其概率Akj Q = Q吸收律：AkJ0= AAu (AB) = AA-B= AB = A-(AB)反演律：AuB = ABUa=Aa1»1 1-1? 概率的定义及其计算P(A)=1-P(A)若 AcB n P(B一 Q = P(B) 一 P(刃对任意两个爭件A B, U P(BA)