拉普拉斯变换

1、2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系。经典控制理论的：时域法、频域法。：时域法、频域法。2. 数学模型与传递函数 频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 复数复数 （有一个实部（有一个实部 和一个虚部和一个虚部 ， 和和 均为实数）均为实数） 两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。两个复数

2、相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。 一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。 2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换1j称为称为 对于复数对于复数 ：以：以为横坐标为横坐标(实轴实轴)、 为纵坐标为纵坐标(虚轴虚轴)所构成所构成的平面称为复平面或的平面称为复平面或 平面。复数平面。复数 可在复平面可在复平面 中用中用点点()表示：一个复数对应于复平面上的一个点。表示：一个复数对应于复平面上的一个点。 2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o复平面复平面 1 2j 1 2s1= 1+j 1s2= 2+j 2 复数复数 可以用从原点指向点可以

3、用从原点指向点()的向量表示。的向量表示。 向量的长度称为复数的模：向量的长度称为复数的模： 2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|22 rs 向量与向量与轴的夹角轴的夹角称称为复数为复数 的复角：的复角：)/arctan( 根据复平面的图示可得：根据复平面的图示可得：，2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|欧拉公式：欧拉公式：sinjcosje：jres 以复数以复数为自变量构成的函数为自变量构成的函数称为复变函数：称为复变函数： ：分别为复变函数的实部和虚部。分别为复变函数的实部和虚

4、部。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数(a) 当当时，时，则，则称为称为的的 ； 通常，在线性控制系统中，复变函数通常，在线性控制系统中，复变函数是复数是复数 的单值的单值函数。即：对应于函数。即：对应于 的一个给定值，的一个给定值，就有一个唯一确定的就有一个唯一确定的值与之相对应。值与之相对应。)()()(jipszsksG 当复变函数表示成当复变函数表示成(b) 当当时，时，则，则称为称为的的 。当当时，求复变函数时，求复变函数 的实部的实部 和虚部和虚部 。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数复变函数的实部复变函数的实部122u复变函数的虚部复变函数的虚部2v： 2.2.2 拉

5、普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 的乘积，将时的乘积，将时间表示的微分方程，变成以间表示的微分方程，变成以 表示的代数方程。表示的代数方程。2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换0d)()()(tetftfLsFst复变量复变量原函数原函数象函数象函数拉氏变换符号拉氏变换符号：在一定条件下，把实数域中的实变函数：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变变换到复数域内与之等价的复变函数换到复数域内与之等价的复变函

6、数 F(s) 。 设有时间函数设有时间函数 f(t)，当，当 t a的所有复数的所有复数s (Res表示表示s的实部的实部)都使积分式绝对收敛，故都使积分式绝对收敛，故Res a是拉普拉斯变是拉普拉斯变换的定义域，换的定义域， a称为收敛坐标。称为收敛坐标。：M、a为实常数。为实常数。2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数定义：单位阶跃函数定义：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换0, 10, 0)( 1ttt0001dd)( 1)( 1stststestetettL：sesesstt111lim0 单位脉冲函数定义：单位脉冲函数定义：2.2.3 典

7、型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换1d)(tt且：且：0, 00,)(ttt(0)d)()(fttft：1d)()(00tststetettL 单位速度函数定义：单位速度函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换0,00)(ttttf： 00d1dststetsttetL2020011d11sestese tsststst 指数函数表达式：指数函数表达式：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换atetf)(式中：式中：a是常数。是常数。：asteteeeLtasstatat1dd0)(0 正弦信号函数定义：正弦信号函数定

8、义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换0,sin00)(ttttf由欧拉公式，正弦函数表达为：由欧拉公式，正弦函数表达为：tjtjj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj两式相减两式相减：0tjtj0dj21dsinsinteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j1j21dj21sss-tees-s- 余弦信号函数定义：余弦信号函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换0,cos00)(ttttf由欧拉公式，余弦函数表达为：由欧拉公式，余弦函数表达为：tjtj21cos-eetttes

9、injcostjtte-sinjcostj两式相加两式相加：0tjtj0d21dcoscosteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j121d21ssss-tees-s-2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)11 (单位阶跃函数单位阶跃函数)1s2 (t) (单位脉冲函数单位脉冲函数)13K (常数常数)Ks4t (单位斜坡函数单位斜坡函数)1s22.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s)

10、= Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)9sin t s2+ 210cos tss2+ 211e -at sin t (s+a)2+ 212e -at cos ts+a(s+a)2+ 22.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = L

11、f(t)13 (1- -e -at )1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin( t + ) cos + s sin s2+ 21a1b- -a1b- -a2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)17 e -nt sin n 1- - 2 t n2s2+2ns+ n218 e -nt sin n 1- - 2 t1s2+2ns+ n219 e -nt sin( n 1- -

12、2 t - - )ss2+2ns+ n2 = arctan n1- - 21 n 1- - 211- - 21- - 2 2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)20 1- - e -nt sin( n 1- - 2 t + + ) n2s(s2+2ns+ n2) = arctan211- -cos t 2s(s2+ 2)22 t - - sin t 2s(s2+ 2)23 t sin t2 s(s2+ 2)211- - 21- - 2 2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性

13、质 (1) 若若 、 是任意两个是任意两个，且：，且：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换,)()(11sFtfL)()(22sFtfL：02121d)()()()(tetftftftfLst0201d)(d)(tetftetfstst)()(21sFsF则：则：)()()()(2121sFsFtftfL 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)()(asFtfeLat：则：则：)()(sFtfL0d)()(teetftfeLstatat0)(d)(tetftas)(asF 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)0()(d)(dfssFttfL

14、：则：则：)()(sFtfLf(0)是是 t =0 时的时的 f(t) 值值00)(ddd)(dd)(dtfetettfttfLstst)0()(d)()(00fssFtetfstfestst同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：tfsfsFsttfLd)0(d)0()(d)(d222 推广到推广到n阶导数的拉普拉斯变换：阶导数的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质如果：函数如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即及其各阶导数的初始值均为零，即)0()0()(d)(d21fsfssFsttfLnnnnn)0()0(1)

15、(2)(n-n-fsf0)0()0()0()0()0()1()2( nnfffff则：则：)(d)(dsFsttfLnnn 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：tfssFsttfLd)0(1)(1d)()()(sFtfL函数函数 f(t) 积分的初始值积分的初始值 00d1d)(dd)(d)(ststesttftettfttfL00d)(d)(ttfsesettfstst)(1d)0(1sFstfs 同理，对于同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：重积分的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质tfssFsttfLnnnd)0(1)

16、(1d)()(tfstfsnnd)0(1d)0(1)()2(1：函数：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有各重积分的初始值均为零，则有)(1d)()(sFsttfLnn：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。积分方程变为代数方程。 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有)0()(limdd)(dli

17、m000fssFtettfssts由于由于，上式可写成，上式可写成1lim0stse)0()(limdd)(d00fssFtttfs)0()(lim)0()(lim0fssFftfst 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有)0()(limdd)(dlim0fssFtettfssts由于由于，上式可写成，上式可写成0limstse)0()(lim0fssFs)(lim)0(ssFfs 两个时间函数两个时间函数 f1(t)、f2(t) 卷积的拉普

18、拉斯变换等于这两个卷积的拉普拉斯变换等于这两个时间函数的拉普拉斯变换。时间函数的拉普拉斯变换。2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)()(11sFtfL)()(d )()(21021sFsFftfL式中：式中：)()(22sFtfL)()(d )()(21021tftfftf称为函数称为函数 f1(t)与与f2(t) 的的而而2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 将象函数将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：为拉普拉斯反变换。其公式：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 拉氏反变换的求算有多

19、种方法，如果是简单的象函数，拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用。jjd)(j21)(aaatsesFtf简写为：简写为：)()(1sFLtf 如果把如果把 f(t) 的拉氏变换的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即分成各个部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换)()()()(21sFsFsFsFn 假若假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么换表查得，那么)()()()()(121111sFLsFLsFLsFLtfn )()

20、()(21tftftfn 当当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将分式展开将 F(s) 分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换的拉氏反变换 f(t) 函数。函数。 在系统分析问题中，在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式中式中A(s)和和B(s)是是s的多项式，的多项式， B(s)的阶次较的阶次较

21、A(s)阶次要高。阶次要高。 对于这种称为有理真分式的象函数对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母，分母 B(s) 应首先应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s) 的拉氏反变的拉氏反变换函数。换函数。 )()(sBsAsF 将分母将分母 B(s) 进行因子分解，写成：进行因子分解，写成：2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式中，式中，p1，p2，pn称为称为B(s)的根，或的根，或F(s)的极点，它们可以的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。 当

22、当 A(s) 的阶次高于的阶次高于 B(s) 时，则应首先用分母时，则应首先用分母B(s)去除分子去除分子A(s)，由此得到一个，由此得到一个s的多项式，再加上一项具有分式形式的余的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子项，其分子s多项式的阶次就化为低于分母多项式的阶次就化为低于分母s多项式阶次了。多项式阶次了。 )()()()()()(21npspspssAsBsAsF 此时，此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即总可以展成简单的部分分式之和。即 )()()()()()(21npspspssAsBsAsFnnpsapsapsa 2211式中，式中，ak(k=1,2,n)是常数，

23、系数是常数，系数 ak 称为极点称为极点 s= - -pk 处的留数。处的留数。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换k)()()(kpssBsAps ak 的值可以用的值可以用求出。即求出。即 )()(k22k11pspsapspsa2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换kknnkkkk)()(apspsapspsaps 在所有展开项中，除去含有在所有展开项中，除去含有 ak 的项外，其余项都消失了，的项外，其余项都消失了，因此留数因此留数 ak 可由下式得到可由下式得到kpsk)()()(asBsApsk 因为因为 f(t) 时间的实函数，如时间的实函数，如 p1 和和 p2 是共轭复

24、数时，则留是共轭复数时，则留数数 1 和和 2 也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数用。共轭复留数中，只需计算一个复留数 1(或或 2)，而另一个，而另一个复留数复留数 2(或或 1)，自然也知道了。，自然也知道了。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例题例题1 求求F(s)的拉氏反变换，已的拉氏反变换，已知知 2332ssssF 21)2)(1(3233212sssssssssF由留数的计算公式，得由留数的计算公式，得2)2)(1(3) 1(11sssss2)2)(1(3)2(22sssss2.2.5

25、 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换因此因此 2112)(111sLsLsFLtf查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得tteetf22)(2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换解：解： 分母多项式可以因子分解分母多项式可以因子分解为为)j21(j21522ssss）（进行因子分解后，可对进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式展开成部分分式 2 j12 j152122212ssssssF2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例题例题2 求求L- -1F(s)，已知，已知 521222ssssF4 j4 j102 j12 j1124 j22.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2j11)2 j1)(

26、2 j1(122)2 j1(sssss2 j1)2 j1(12)2 j1(22j1)2 j1(122sss由留数的计算公式，得由留数的计算公式，得由于由于 2与与 1共轭，故共轭，故25j1225j144j10 所以所以 2 j125j12 j125j1)(11ssLsFLtf2 j125j12 j125j111sLsL2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换tteetf)2j1()2j1()25j1 ()25j1 ()(25j)2j1()2j1()2j1()2j1(tttteeee)(25j)(2j2j2j2jtttttteeeeeej25j222j2j22j2jtttttteeeeeete

27、tett2sin52cos22.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得 若有三重根，并为若有三重根，并为p1，则，则F(s)的一般表达式为的一般表达式为 )()()()(3231npspspspssAsF11321123111pspsps式中系数式中系数 2, 3, , n仍按照上述无重根的方法仍按照上述无重根的方法(留数计算公留数计算公式式)，而重根的系数，而重根的系数 11, 12, 13可按以下方法求得。可按以下方法求得。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换nnpspsps 33221)()(3111pssFps1)()(dd3112pssFpss1)()(dd21312213pssFpss！2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 依此类推，当依此类推，当 p1 为为 k 重根时，其系数为：重根时，其系数为：1)()(dd)!111)1()1(m1pskmmsFpssm（km, 2 , 1例题例题3 已知已知F(s)，求，求L- -1F(s)。 32132）（ ssssF解解 111132s1321231132ssssssF）（p1= - -1，p1有三重根。有三