投资学之最优投资组合与有效边界

1、14最优投资组合与有效边界最优投资组合与有效边界投资组合优化的五种形式投资组合优化的五种形式1C=F+P2P=D+E3C=F+D+E4P=S1+S2+Sn5C=F+ 4P=S1+S2+Sn24.1 单一风险资产单一风险资产P与单一无风险资产与单一无风险资产F的资产组合的资产组合 Cset)y opportunitt (investmen14)()()()1 ()()(:)1 (),(可行投资组合由该式得到图组合份无风险资产组成的新份风险资产和则由，的收益率为无风险资产组合，标准差为的期望收益率为记风险资产组合CPfPfCPCfPffPCfPPrrErrEyrrEyrryryErECyyrFrE

2、P3图图4-1风险资产与无风险资产的风险资产与无风险资产的可行投资组合可行投资组合4u资本配置线资本配置线(capital allocation line, CAL)u其斜率称为其斜率称为夏普比率夏普比率(Sharpe ratio)u经过点（经过点（0，7%）u这里这里0=y=1,不允许借款投资于不允许借款投资于P5CAL的杠杆作用的杠杆作用若允许以无风险利率借入款项并全部投资若允许以无风险利率借入款项并全部投资于风险资产于风险资产P。若使用若使用40%杠杆杠杆,则有：则有：E(rc)= (-0.4) (0.07) + (1.4) (0.15) = 18.2% c = (1.4) (0.22)

3、 = 30.8%6图图4-2 借贷利率不同时的可行集借贷利率不同时的可行集(弯折的弯折的CAL)7风险容忍度与资产配置风险容忍度与资产配置2*222)(21)(00021)(PfPPfPfyArrEyAyrrEyrUMaxAAAArEU最优风险资产配置比例求解效用最大化问题：风险爱好者：风险中性者：风险厌恶者投资者效用函数：84.2 两种风险资产的投资组合两种风险资产的投资组合的方差越大越大，组合又：则有：组成和股票基金由长期债券组合设某一风险资产组合PwwwwrrCovrrCovwwwwrEwrEwrEEDDEDEEDEDEEDDPEDDEEDEDEDEEDDPEEDDP112),( ),(

4、2 )()()(P22222222229情况一情况一的风险并未降低时组合结论：即：则有：，若PwwwwEEDDPEEDDPDE1 )(12210情况二情况二的风险可降至零时组合结论：令即：则有：，若PwwwwwwwwwEDDDEEDEDEEDDEEDDPEEDDPDE11,0- )(12211情况三情况三低的风险可有一定程度降时组合结论：则有：，若PwwEEDDPDE1 1112组合的机会集与有效集组合的机会集与有效集资产组合的机会集合或可行集合资产组合的机会集合或可行集合（Portfolio opportunity set, Feasible set），即资产可构造），即资产可构造出的所有组

5、合的期望收益和标准差。出的所有组合的期望收益和标准差。有效组合点有效组合点（Efficient portfolio ）：给定风险）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。平下具有最小风险的组合。每一个组合代表每一个组合代表E(r)和和空间中的空间中的一个点。一个点。有效集有效集（ Efficient set） ：又称为：又称为有效边界有效边界、有效前沿有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效组合它是有效组合点的集合（点的连线）。点的集合（点的连线）。1314命题命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集

6、：完全正相关的两种资产构成的机会集合是一条直线。合是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得证明：由资产组合的计算公式可得PEDEDEEDEDEEEDPDDEDEPPEDEPDEDEEDDPEEDDPrErErErErErErErEwwwwwrEwrEwrE)()()()()( )()()()/()() 3)(2() 3( 1)2( ) 1 ( )()()(由式15两种资产组合（完全正相关），当权重两种资产组合（完全正相关），当权重wD从从1减少到减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的机会集合（了两种资产完全正相关的机会集合（假定不假定不

7、允许买空卖空允许买空卖空）。）。收益收益 E(rp)风险风险pDE16两种完全负相关资产的可行集两种完全负相关资产的可行集 两种资产完全负相关，即两种资产完全负相关，即DE =-1，则有，则有0,)/(0,)/(0,)/() 3( 1)2( ) 1 ( )()()(DDEEPEDEDEEDDPEDEDPEDEDEDEEDDPEEDDPwwwwwwwwwwwrEwrEwrE时当时当时当17命题命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集：完全负相关的两种资产构成的机会集合是两条直线，其截距相同，斜率异号。合是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：证明：PEDEDEEDEDEEEDEPDEDEPPPD

8、EEDDPEDEDrErErErErErErErEfwwww)()()()()( )()1 ()()(),(,)/(从而时当18命题成立。从而时当同理可证，PEDEDEEDEDEPPDDDEEPEDEDrErErErErErEfwwww)()(-)()()()(),(-,)/(19两种证券完全负相关的图示两种证券完全负相关的图示收益收益rp风险风险pDE20 命题命题3：不完全相关的两种资产构成的机会集合：不完全相关的两种资产构成的机会集合是一条二次曲线是一条二次曲线(双曲线双曲线)证明：暂略证明：暂略21各种相关系数下、两种风险资产构成的各种相关系数下、两种风险资产构成的资资产组合机会集合产

9、组合机会集合(portfolio opportunity set)收益收益E(rp)风险风险p=1=1=0.3=0.3=-1=-1E22两只共同基金的描述性统计两只共同基金的描述性统计23不同相关系数下的不同相关系数下的期望收益与标准差期望收益与标准差24254.3资产在股票、债券与国库券之间的配资产在股票、债券与国库券之间的配置置 组合方法：组合方法：两项风险资产先组合形成新的两项风险资产先组合形成新的风险资产组合，然后再向组合中加入无风风险资产组合，然后再向组合中加入无风险资产险资产 形成的形成的资本配置线资本配置线(CAL)中斜率最高的，中斜率最高的，效用水平最高效用水平最高26债券与股

10、票基金的可行集和两条可行的债券与股票基金的可行集和两条可行的CALs27最优风险资产组合最优风险资产组合P的求解的求解DEEDfEfDDfEEfDEDfEEfDDEDEDEDEEDDPEEDDPPfPPwwwrrCovrrErrErrErrErrCovrrErrEwwwrrCovwwwwrEwrEwrEt srrESMaxi1 ) 3 (),()()()()(),()()(1 ) 2(),(2 ) 1 ()()()( . .)(2222/ 1222228293031小结：两种风险资产与无风险资产小结：两种风险资产与无风险资产组合的配置程序组合的配置程序 确定各单个资产的收益与风险统计量确定各单

11、个资产的收益与风险统计量 建造风险资产组合建造风险资产组合 根据式根据式(3)计算最优风险资产组合计算最优风险资产组合P的构成比例的构成比例根据式根据式(1)、(2)计算资产组合计算资产组合P的收益与风险统计量的收益与风险统计量 配置风险资产组合和无风险资产配置风险资产组合和无风险资产根据式根据式 计算风险资产组合计算风险资产组合P与无风险资产的与无风险资产的组合权重组合权重计算最终投资组合中具体投资品种的份额。计算最终投资组合中具体投资品种的份额。324.4多个风险资产组合的最优资产组合求多个风险资产组合的最优资产组合求解解 见见Excel文件。文件。334.5马科维茨的资产组合选择模型马科

12、维茨的资产组合选择模型 均值均值-方差（方差（Mean-variance）模型是由）模型是由Harry Markowitz于于1952年建立的，其目的年建立的，其目的是寻找是寻找投资组合的有效边界。投资组合的有效边界。通过期望收通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。害怕风险和收益多多益善。 因此，根据投资组合比较的占优原则，因此，根据投资组合比较的占优原则，这可以转化为一个优化问题，即这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化）给定风险的条件下

13、，收益最大化344.5.1马柯维茨模型的代数求解马柯维茨模型的代数求解1111mins.t.,1nnijijijni iiniiwwwrcw35对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子拉格朗日乘子和和来解决这一优化问题。构来解决这一优化问题。构造造拉格朗日函数如下拉格朗日函数如下1111L()(1)nnnnijiji iiijiiwwwrcw上式左右两边对上式左右两边对wi求导求导数，令其一阶条件为数，令其一阶条件为0，得到方程组得到方程组36111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw 111ni iini

14、iwrcw37 这样共有这样共有n2方程，未知数为方程，未知数为wi（i1，2,n）、）、和和，共有，共有n2个未知量，其解个未知量，其解是存在的。是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。过线性代数加以解决。38其中，其中，1 1T T=(1,1)=(1,1)T T是所有元素为是所有元素为1 1的的n n维列向量。维列向量。由此构造由此构造LagrangeLagrange函数函数4.5.2马柯维茨模型的矩阵解法马柯维茨模型的矩阵解法11 )( . .21minmin22TPTTwTwwrErwtswVwwVw)11 ()(21mi

15、n,wTTTwrwrEwVwL390=0,0,0T)84( 011)74( 0)()64( 01TTwLrwrELrwVwL40414243441/)/)(/ 1222CDCArECPP45g点是全局最小方差组合点（点是全局最小方差组合点（global minimum variance portfolio point）均值均值方差方差wgCB/C/146 注意点注意点wg以下的部分，由于它违背了均方准则，以下的部分，由于它违背了均方准则，被理性投资者排除，这样，全局最小方差点被理性投资者排除，这样，全局最小方差点wg以以上的部分（子集），被称为均方效率边界上的部分（子集），被称为均方效率边界(

16、mean-variance efficient frontier)均值均值方差方差wg47不同理性投资者具有不同风险厌恶程度不同理性投资者具有不同风险厌恶程度48结合投资者效用曲线的最优组合选择结合投资者效用曲线的最优组合选择 最优资产组合位于无差异曲线最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切与有效集相切的切点处。由点处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者，点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。49资产组合理论的优点资产组合理论的优点 首次对风险和收益进行精确的描述，解决首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的

17、衡量问题，使投资学从一个艺术对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。迈向科学。 分散投资的合理性为基金管理提供理论依分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。组合的风险。 开创了数量分析方法在金融学当中的应用开创了数量分析方法在金融学当中的应用50资产组合理论的缺点资产组合理论的缺点 当证券的数量较多时，计算量非常大，当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。使模型应用受到限制。 均值方差分析的成立条件：收益正态均值方差分析的成立条件：收益正态分布或二次型效用函数分布或二次型效用函数514.6不允许

18、卖空的投资组合策略模型计算不允许卖空的投资组合策略模型计算524.7两基金分离定理及其应用两基金分离定理及其应用 表述：表述： 在均方效率曲线上任意两点的线性组合，在均方效率曲线上任意两点的线性组合，都是具有均方效率的有效组合。都是具有均方效率的有效组合。 或：有效组合边界上任意两个不同的点代或：有效组合边界上任意两个不同的点代表两个不同的有效投资组合，而其他任意表两个不同的有效投资组合，而其他任意点均可由该两点线性组合生成点均可由该两点线性组合生成 几何含义：过两点生成一条双曲线。几何含义：过两点生成一条双曲线。53)()()()()()1 ()()()()()()()(2122121212

19、121pppPppPPPpppppprErErErErErErEwrEPwwrErErErEPP使得：，则必存在一实数和例为对应的收益率和组合比，另外任意的点、组合比例，且、对应的收益率为、上任意两个分离的点证明：设有效组合边界54证毕。线性表示。、可由即得：组合起来、的比例将按又由2121212121)()()1 ()()()(1 ()()1 ()1 ( ,)(ppPPPppppppppwwwwnrEmnrErEmnrEmnrEmwwwwnrEmw55两基金分离定理的意义两基金分离定理的意义 定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望收定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望收益是不同的，即益

20、是不同的，即两基金分离两基金分离。 金融含义：金融含义：若有两家基金都投资于风险资产，且若有两家基金都投资于风险资产，且经营良好经营良好(即达到有效边界即达到有效边界)，则按一定比例投资，则按一定比例投资于该两基金，可达到投资于其他基金的同样结果。于该两基金，可达到投资于其他基金的同样结果。这就方便了投资者的选择。这就方便了投资者的选择。 CAL、CML实际上是在有风险资产组合和无风实际上是在有风险资产组合和无风险资产组合之间险资产组合之间又进行了一次两基金分离又进行了一次两基金分离。此时。此时投资者仅需确定投资者仅需确定一个有风险组合一个有风险组合，即可达到各种即可达到各种风险收益水准的组合。资本配置更加方便。风险收益水准的组合。资本配置更加方便。56分离定理对组合选择的启示分离定理对组合选择的启示v若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问若市场是有效的，由分离定理