巧用数学构造法解数列题

1、巧用数学构造法解数列题永福中学：陈容丽构造法作为一种重要的数学方法，而不是一个数学概念，没有严格的定义。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样 的思维方式来寻求解题途径比拟困难，甚至无从下手。在这种情况下，经常要求我 们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得 解而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元 件数学关系为“框架构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得 到简便解决的方法。它的特点是：创造性地使用条件，创造性地应用数学知识, 极大限度地发散思维。本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。数

2、列是高中很重要且有相当难度的一章内容，在近几年的高考中，一般有一道 中档的填空题和一道压轴的解答题，所占分值较高。数列问题中的构造新数列在近 几年高考题中经常出现，这类题目的难度及区分度往往很大，学生不容易掌握，有 时甚至无从下手。下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用。一、型如为常数且；亠的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求 其通项公式。1. 八c为常数，可构造等比数列求解.心2，求通项耳.爲二二 一31 一卫丁1 一丐二门.>解由，得。，又-，所以数列 r-做=1 汪1 _ 肉一= 1+_ 丄是首项为二，公比为'

3、的等比数列，二；.注：一般地，递推关系式' p、q为常数，且p工0，p工1可等价盘和1宀二去耳宀务宀丁地改写成 '-'，那么-' 为等比数列，从而可求"".2. '"为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。 口' 'I f为常b二生，令 ，那么可转化为* ' 5的形式求解.51例21丨数列an中，ai = -%1，=-a +3 "2数列满足1 ':，+:口二 22二三+ 1，令；解1由条件，得3,求通项7厂，求通项、.数)，两边同除以：得了 '7，那么:;，即"，

4、二数列'-"''为等比数列，故有23+ 3"2-%+i二玉+三务+12由条件，得；亠，；，即-2"2，故数列泸是以»2 为3首项，以为公差的等差数列,*=1+3-1三.<，故法一、构造等差数列求解:在数列i /中，1假设''二 Z +1 = +1 + (2划尸(mwTT)，其的通项公式；2 假设戒二住十习片+2用3+l)S + 2)，求通项外.解 1由条件可得(2 Y+1+1，二数列是首2?项为0,公差为1的等差数列，故=«+22由条件可得： ,数列|：" -是首项为纟一-.二一总兄 +

5、1)(4厘-1)1 :-亠，公差为2的等差数列，.-'法二、构造等比数列求解:例5数列：“满足二',Ji -"丨，求数列的通项公式.解 设'- ''_，将条件代入此式，整理后得5- 3x(5+2x?+4+7=3rx2"+3，令+尸即，解得1.右d+i+ 5x2却十2 二 3(终,+5x2"+ 2)角2二 1+12 二 13工0侗，乂，口 盘.+5天2"+2 工 D 挤来zei+ 5x2" +2 B n, it. +5x2l + 2= 1+12 = 13 、/ “且，故数列'是以为首项，以3为公比的

6、等比数列，.亠匸八，故'U ：_.、形如''''"4-的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解.f/j 1n -i d - ? 珀总-可叫+i十可叫 a在数列中，?,】，求曲 一_ 叫)e _ I打 一口* 二 1由条件可得数列酣是以叫町1为首-盘* 一G 二项，以-为公比的等比数列，:故 一，-.-，-+-"- 一亠 I例7数列 何】满足班=1 ,勺二2 , 4叫柘二也齢一叫 ©Ebf，求叭.1 b 1 .1? 1 3毎祐_ _爲+】-_耳+1 一_务也 一一口 1二2_ _二_解由可得

7、：'，又】-?,所以数3是首项为：、公比为匚的等比数列,列亦即2叫"+6，又?业=2,数列；是首3n-2项为2、公差为6的等差数列，"_' ；，一.一 .三、一些较为特殊的数列，可利用“取倒数的方法构造等差数列或等比数列 求解.例8数列；"中，二，门 ",，求.1 _说利_ 1门 內二丄由，得J 一一，设匚，那么二 十,故.是以为首项，1为公差的等差数列,_丄_1妇=1十31=用即叫虬用例9数列丨，其中r, _ ',且：，求通项an.丄一丄仃，丄#解由条件得，设 ，A，那么',令、+*，解得，于是有一：数列儿-是一个以一厂

8、为首项，公比是一3的等比数列,Vi'，即代入加二，得匚$例io假设数列：“中，|，二是数列i二的前叮项之和，且I ： 1 ， 求数列的通项公式J氐 丄三3 丄+4+ 1= ?(却叫，得粘 也，令陰屛 ， 42= X +2) + 2 + 2 = 3那么有-，故=二 ，数列二是以：为首项，3丄+ 2为公比的等比数列，二 ="'1于，当*1时，由飞-'m-1C«=D-2 3s32"-8-3*-bl2(«>2)四、对某些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解.a,如满足化+。 A，B，C，D为常数，且笑“的数列,可令特

9、征方程为Ax + B' -，变形为“m 一，假设方程有二异根匚，% 一口那么可令一'“3为待定常数，那么数列2厂 是首项为旳一14?L - «，公比为1的等比数列；假设方程有二重根工:，那么可令宀 -丿 r为待定常数，那么数列是首项为匚1,公差为的等差数列。然后代入的值可求得，值，于是可求得坷三2,弓=叫十2他2 2jt+ 2例11数列1 满足''-1，求数列 亠-;的通项_耶卄1_1二匚听_1解令 - ，化简得" - | ,解得亠L.i 一，令：1“-，41_c 吐二c =-由 ，得 _，可得 '、，气，-13数列务+u是以呦+1碍

10、 _ 1 _ 1比的等比数列，>1 -：，解得._ J-曲二2卫曲二丝二丄拧矿例12数列1满足匚求数列的通项.不11X -tiXj Xj 二一一解令，即，解得-3 宀 - = 1由得V ,求得-，二数列是以'：为首项，以I为公差的12313-5«&曽,=_:-故'i |? -=-1- a. + 等差数列,'2五、其它特殊数列的特殊构造方法1 通过取对数来构造新的数列求解.例13假设数列匚中，=3且Ji；' n是正整数，那么它的通项公式是旭细492 = £解 由题意知5 >0，将门一 两边取对数得比.，即;J所以数列是以=为

11、首项，公比为2的等比数列，2 通过换元来构造新的数列求解.例14分析此题的难点是递推关系式中的较难处理，可构建新数列卩；，令i +：，这样就巧妙地去掉了根式，将通项进行转化，便于化简变 形.解令-：-''，那么二，即、:，那么原条件可化为2434化简得他二您+ M，即込讥二氏十？，比数列,变形得'，二数列宀一二是以：-'='为首项，为公比的等if-1 2s-' +32-'+124 "3x2'3对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解。+i = X十1恐例15在数列严、®中，码皿"，且也“+弘

12、，求巴、直的通项公式.解构造新数列宀一 '，那么15+7 #4R得'=或-=5 ,二数列一卡是首项，公比qJ+5的等比数列，即：当' = 3时，''、 是首项为° ' =，q=5+=2的等比数列，故孤叫二一仆/=一£鼻；留神=5时，严* 是首项为两+为=6，q +5=10的 等比数列，故，J'=6 "，丄命1眄1%二一幻广门旷联立二式，得g +歎= 60 ，解得4,A 二?10"】+ 妙“4o注：1 并不是任何数列都可以求出其通项的，能够求出通项的只是一些特殊 的数列。例如数列1,就没有通项公式；2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如数列一1, 1,1, 1,左=J-1为奇数其通项公式为，或叫b隔偶勉；3 数列是函数概念的继续和延伸，数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要 注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方 法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。从上述各题构建新数列的过程中，可以 看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构造新 数列的关键。构造新数列的目的是为了化繁为简、 化未知为、化不熟悉为熟悉， 这也是解答数学问题的共性之所在。由上所举众多例子，不言而喻，正是在问题按照定向、按照常规难以解决的情 况