初中数学《最值问题》典型例题

1、初中数学最值问题典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键通过转化减少变量，向三个 定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.【分析】作 P 关于 OA, OB 的对称点 C, D.连接 OC, OD. 则当 M , N 是 CD 与 OA, OB 的交点时，PMN 的周长最短,最短的值是 CD 的长根据对称的性质可以证得： COD 是等腰直角三角形，据此即可求解.【解答】

2、 解：作 P 关于 OA, OB 的对称点 C, D.连接 OC, OD.则当 M , N 是 CD 与 OA, OB 的交点时, PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长. PC 关于 OA 对称， /COF=2ZAOP, OC=OP同理，/ DOF=2ZBOP, OF=OD/COD=ZCOF+ZDOP=2( /AOF+ZBOP)=2/AOB=90；OC=OD. COD 是等腰直角三角形.则 CD=2OC=2 X3 2=6.轴 对称 最值图形/BlA、/IIP1M N1原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A, B 为定点，1 为定直 线，P 为直线 1 上的一 个动点，求

3、 AP+BP 的最 小值A, B 为定点， 1 为定直线，MN为直线 I 上的一条动线 段，求AM+BN 的最小值A, B 为定点，1 为定直线，P为直线 I 上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定 直线l 的对称点先平移 AM 或 BN 使 M , N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线 I 的对称点作其中一个定点关于定 直线1 的对称点折 叠最 值图形ABNC原理两点之间线段最短特征在厶 ABC 中，M , N 两点分别是边 AB, BC 上的动点，将BMN 沿 MN 翻折，B 点的对应点为 B,连接 AB,求 AB的最小值.转化转化成求 AB+BN+NC 的最

4、小值几何最值问题中的基本模型举例二、典型题型1.如图：点 P 是/ AOB 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动, 若/AOB=45 OP=3j2，则 PMN 的周长的最小值为 _.【题后思考】 本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解 PMN 周长最小的条件是解题的关键.2 .如图，当四边形 PAB N 的周长最小时，a=_ .阴1址氐匕0)0【分析】因为 AB, PN 的长度都是固定的， 所以求出 PA+NB 的长度就行了.问题就是 PA+NB 什么时候最短. 把 B 点向左平移 2 个单位到 B点；作 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于 P,从而确定 N

5、 点位置, 此时 PA+NB 最短.设直线 AB的解析式为 y=kx+b,待定系数法求直线解析式即可求得a 的值.【解答】 解：将 N 点向左平移 2 单位与 P 重合，点 B 向左平移 2 单位到 B (2,- 1), 作 B 关于 x 轴的对称点 B，根据作法知点 B(2, 1),设直线 AB的解析式为 y=kx+b,小12kb则，解得 k=4 , b= - 7.3 k b y=4x 7 .当 y=0 时，x=,即 P (, 0), a=7.444故答案填：-.1恥 0)j 10【题后思考】 考查关于 X 轴的对称点，两点之间线段最短等知识.3 .如图，A、B 两点在直线的两侧，点 A 到

6、直线的距离 AM=4,点 B 到直线的距离 BN=1，且 MN=4, P 为 直线上的动点，| PA- PB|的最大值为 _.A【分析】作点 B 于直线 I 的对称点 B,则 PB=PB 因而|PA- PB|=| PA- PB 则当 A, B、P 在一条直线上时，| PA- PB 的值最大.根据平行线分线段定理即可求得PN 和 PM 的值然后根据勾股定理求得PA PB 的值，进而求得| PA- PB 的最大值.【解答】 解：作点 B 于直线 I 的对称点 B、连 AB 并延长交直线 I 于 P. BN=BN=1 ,过 D 点作 BD 丄 AM ,利用勾股定理求出 AB =5 I PA- PB

7、的最大值=5.【题后思考】 本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理等，熟知两点之间线段最短”是解答此题的关键.4 .动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3, AD=5 .如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A 处，折 痕为 PQ,当点 A 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动.若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移【分析】 本题关键在于找到两个极端，即BA 取最大或最小值时，点 P 或 Q 的位置经实验不难发现，分别求出点 P 与 B 重合时，BA 取最大值 3 和当点 Q 与 D 重合时，BA 的最小值 1 .所以可求点 A 在 BC 边上 移动的最大

8、距离为 2 .【解答】 解：当点 P 与 B 重合时，BA 取最大值是 3,当点 Q 与 D 重合时（如图），由勾股定理得 A C=4,此时 BA 取最小值为 1 . 则点 A 在 BC 边上移动的最大距离为 3-仁 2.【题后思考】 本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺 乏动手操作习惯，单凭想象造成错误.5.如图，直角梯形纸片 ABCD, AD 丄 AB, AB=8, AD=CD=4，点 E、F 分别在线段 AB、AD 上，将 AEF 沿 EF翻折，点 A 的落点记为 P.当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，PD 的最小值等于BD 的长度，问题

9、即可解决.【解答】解：如图，当点 P 落在梯形的内部时，四边形 PFAE 是以 EF 为直径的圆内接四边形， 只有当直径 EF 最大，且点 A 落在 BD 上时，PD 最小, 此时 E与点 B 重合；由题意得：PE=AB=8,由勾股定理得：BD2=82+62=80, BD=4 5, PD=4,5 8以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为 核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动.6.如图，/ MON=90 ，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM, ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在 OM上运动，矩形 ABCD 的形

10、状保持不变，其中 AB=2, BC=1,运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离 为【分析】取 AB 的中点 E,连接 OD、OE、DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OEAB,2利用勾股定理列式求出 DE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD 过点 E 时最大.【解答】 解：如图，取 AB 的中点 E,连接 OD、OE、DE,/ / MON=90 AB=21 OE=AE= AB=1,2/ BC=1,四边形 ABCD 是矩形， AD=BC=1, DE=、2,根据三角形的三边关系，ODvOE+DE,EF 最大，且点 A 落在 BD 上时，PD 最小；根据勾股定理求出/P=Z

11、A=90当 OD 过点 E 是最大，最大值为-2 +1.2【题后思考】 本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关 系，勾股定理，确定出 0D 过 AB 的中点时值最大是解题的关键.7._ 如图，线段 AB 的长为 4, C 为 AB 上一动点，分别以 AC BC为斜边在 AB 的同侧作等腰直角 ACD 和 等腰直角BCE 那么 DE 长的最小值是.【分析】设 AC=x, BC=4 - x,根据等腰直角三角形性质，得出然后用配方法即可求解.【解答】解：设 AC=x, BC=4 - x, ABC, BCD 均为等腰直角三角形,(4 - x),/ / ACD=

12、45 / BCD =45 / DCE=90 1 1 DE2=CD2+C =丄x2+-( 4 - x)2=x2- 4x+8= (x- 2)2+4,2 2根据二次函数的最值，当 x 取 2 时，DE 取最小值，最小值为：4.故答案为：2.【题后思考】 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最 值.&如图，菱形 ABCD 中，AB=2, / A=120 点 P, Q, K 分别为线段 BC, CD, BD 上的任意一点，贝 U PK+QK 的最小值为 _ .AD【分析】根据轴对称确定最短路线问题， 作点 P 关于 BD 的对称点 P,连接 PQ 与 B

13、D 的交点即为所求的点 K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知PQ 丄 CD 时 PK+QK 的最小值，然后求解即可.【解答】 解：如图，/ AB=2, / A=120, PK+QK 的最小值为 .3.故答案为：3.故答案为：2+1-x),根据勾股定理最短路线的方法是解题的关键.9 .如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1,点 P 为边 BC 上的任意一点（可与 B、C 重合），分别过 B、C D 作射线 AP的垂线，垂足分别为 B、C、D,贝 U BB CC DD的取值范围是 _.111【分析】首先连接 AC, DP.由正方形 ABCD 的边长为 1,即可得：SAD

14、P= S正方形ABCD=,SAABP+SAACF=SAABC= S22211 _正方形ABCD=，继而可得 一 AP? ( BB CC DD) =1,又由 1 QPwJ?，即可求得答案.2 2【解答】解：连接 AC, DP.四边形 ABCD 是正方形，正方形 ABCD 的边长为 1, AB=CD, S正方形ABCD=1 ,1111/SAADF= S正方形ABCD=, SABF+SACF=SABC= S正方形ABCD=,22 22 - SAADF+SAABP+SAACF=1 ,1111 AP?BB+ AP?CC + AP?DD= AP? (BB CC DD) =1,2 2 2 22贝 U BB

15、CC DD=,AP/ 1 gPw- 2,当 P 与 B 重合时，有最大值 2;当 P 与 C 重合时，有最小值、2 .2毛 BCC DDW2故答案为： 2 BB，CC DDW2【题后思考】 此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题此题难度较大，解题的关键是连接AC,DP,根据题意得到SAADP+SAABP+SACP=1 ,继而得到 BB CC DD-2-AP10 .如图，菱形 ABCD 中，/ A=60 AB=3,OA、OB 的半径分别为 2 和 1, P、E、F 分别是边 CD、OA 和OB上的动点，贝UPE+PF 的最小值是 _.【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P 与 D 重合时