高中数学的数形结合思想方法_全(讲解+例题+巩固+测试)

1、高中数学的数形结合思想方法数形结合的思想方法(1)-讲解篇一、知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围 绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常 可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间 的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含 义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到 解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合

2、起来加以考察的处理数学问题的方 法，称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数 的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作 为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的 相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底

3、明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分 析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数 形转化；第三是正确确定参数的取值范围。二、解题方法指导1 .转换数与形的三条途径： 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。2 运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： “由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何

4、图形内在的属性。 “由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 “数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。三、数形结合的思想方法的应用(一) 解析几何中的数形结合解析几何问题往往综合许多知识点， 在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过 数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的1. 与斜率有关的问题【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别

5、为P( -1, 1), Q( 2, 2).若直线I : x+my+m=O 与有向线段PQ延长相交，求实数 m的取值范围.丄解：直线I的方程x+my+m=O可化为点斜式：y+仁(x-0)，易知直线I过定点M (0, -1)，且1斜率为-.I与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线I的斜率趋近于最小;当过点M、Q时，直线I的斜率趋近于最大2-1 _1 ,沪牙F 一丁廿一I-设I的斜率为乩由k疝耐得亠丰3高中数学的数形结合思想方法#高中数学的数形结合思想方法【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程本题是化为点丄斜式方程后，可看出交点 M (0,

6、 -1)和斜率-此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围2. 与距离有关的问题【例 2】求：y= (cos 0cos a +3 + (sin $in a)的最大(小)值【分析】可看成求两动点P (cos 0, sin 0与Q ( cos a-3, sin a +)之间距离的最值问题解：两动点的轨迹方程为：x2+y2=1和(x+3) 2+ ( y-2) 2=1，转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题如图：PQ 1=#高中数学的数形结合思想方法#高中数学的数形结合思想方法I PQ I 鋅 A D | =Vl3 -2.3. 与截距有关的问题【例3】若直线y=x+k与曲线x=、-恰有一个公共点，求

7、k的取值范围解：曲线x= V】-犷是单位圆x2+y2=1的右半圆(x 0 , k是直线y=x+k在y轴上的截距由数形结合知：直线与曲线相切时，k=-：，由图形：可得k= -,或-1k 1.4. 与定义有关的问题【例4】求抛物线y2=4x上到焦点F的距离与到点 A (3, 2)的距离之和为 最小的点P的坐标，并求这个最小值 【分析】要求PA+PF的最小值，可利用抛物线的定义，把PF转化为点P到准线的距离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题解：P是抛物线y2=4x上的任意一点，过 P作抛物线的准线I的垂线，垂足为 D，连P F(F为抛物 线的焦点)，由抛物线的定义可知：过A作准线I的垂线，交抛物

8、线于 P,垂足为Q,显然，直线 AQ之长小于折线 APD之长，因而 所求的点P即为AQ与抛物线交点/ AQ直线平行于x轴，且过A ( 3, 2)，所以方程为y=2，代入y2=4x得x=1. P (1, 2)与F、A的距离之和最小，最小距离为4.【点评】 (1)化曲线为直线是求距离之和最有效的方法，在椭圆，双曲线中也有类似问题(2)若点A在抛物线外，则点 P即为AF与抛物线交点(内分 AF ).(二) 数形结合在函数中的应用1. 利用数形结合解决与方程的根有关的问题方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化.【例5】已知方程x2-4x+3=m有4

9、个根，则实数 m的取值范围 .【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决解：方程x2-4x+3 = m根的个数问题就是函数 y=x2-4x+3与函数y=m图象的交点的个数.作出抛物线y=x2-4x+3= (x-2) 2-1的图象，将x轴下方的图象沿 x轴翻折上去，得到 y=x2-4x+3的图象， 再作直线y=m，如图所示：由图象可以看出，当0m1时，两函数图象有4交点，故m的取值范围是(0,1) 数形结合可用于解决方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提2. 利用数形结合解决函数的单调性问题函数的单

10、调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一 决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性及单调区间，数形结合是 确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间形象直观地反映在函数 的图象中.【例6】确定函数yJ T 卜 的单调区间画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为(-汽0, 1,+，函数的单调递减区间为】0，1.3. 利用数形结合解决比较数值大小的问题【例7】已知定义在 R上的函数y=f ( x)满足下列三个条件：对任意的x R都有f (x+4) =f (x);笑对任意的0WKX2W2,都有f (xi) f (X2):y=f (x+2 )的图象关于y轴对称.则f (4.5),

11、 f (6.5), f(7)的大小关系是解：由：T=4 ;由：f (x)在0,2上是增函数；由： f ( x-2)= f (x +2)，所以f (x) 的图象关于直线x=2对称.由此，画出示意图便可比较大小 .4.利用数形结合解决抽象函数问题显然,f (4.5) f ( 7) 0,且 f (x) g (x)有最小值5 .则函数y=f (x) g (x)在区间b，-a().A. 是增函数且有最小值5B. 是减函数且有最小值-5C .是增函数且有最大值5D.是减函数且有最大值5【解析】f (x) g (x) +f (x) g(x) = :f (x) g (x) 0. y=f (x) g (x)在区

12、间a, b( ab0)上是增函数，又 f (x), g (x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数. y=f (x) g (x)是奇函数.a, b( abax的解集是 x|0x ax的解集是 x|0x 4 ,即要求半圆在直线的上方，由图可知a0,所以选C .【点评】本题很好的体现了数形结合思想在解题中的妙用【例10】2 _若x (1,2 )时，不等式(x-1) logax恒成立，贝U a的取值范围是().A.(0,B .(1,2)C .(1,2D . 1,2解：设 y1= (x 1) 2 (1x1.由图可知若yiy2 (1x2)，则1)点，当y2=logax 也过(2,1 )点，即 a=2 时，

13、恰有 yiy2 (1x2 得2 = L r I=2 1 . b*J 14$设 s|i*l |- 11-J | -2Ok】二2Jl 玄x】)2S)也作團数團第，由惘数图象知试工)鼻兀(H得JJ墓右.解法刘由X2VT得曲】I- |叶|二斗，得|工门|亠尹|“】|.设貞告)= |a；*|上右)二斗4 |-】分别作出诫应也的图象.为(二，二h所以丘门l-k-i匸二成2易求出g (x)和h (x)的图象的交点 J- 立时，x的取值范围为|+呵.【解法3】 由_ J 的几何意义可设F i (1,0),F 2 (1,0),M( x, y),|仲 -MF2 I二斗I则-，可知M的轨迹是以F 1、F 2为焦点的

14、双曲线的右支， 其中右顶点为(I ,I 10),由双曲线的图象和 x+1 x-1知x .【点评】本题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义，让不等式的解集直观地表现出来，体现出数形结合的思想，给我们以柳暗花明”的解题情境(三) 运用数形结合思想解三角函数题纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果8高中数学的数形结合思想方法【例 13】函数 f (x) =sinx+2sinx , x0,2 n的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围是【分析】本题根据函数解析式，画出图象,可以直观而简明地

15、得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率解:函数f (x)=3 sinsJ由图象可知：1k3.【例TT14】当0x .时，函数f (x )=亠的最小值为().si n2%2 B. 2】C . 4 D .解:y=则y为点Asi nZ%(0,5)与点B (- sin2x, 3cos2x)两点连线的斜率，又点x=-si n2xE的轨迹方程TT(0a )，即x2+； = 1( x0)，如图，当过点A的直线 I : y=kx+5k有最小值4,故选C .7T_【例 15】若 sin a +cos a =ta(n0aa )，贝Ua().解：令 f (x) =sinx+cosx= si

16、n (x+TTT)TT_0 a 车.再令 a=T，贝U si叮+co=了 1 .366, ta吁=7 1.7321.367 由图象知9高中数学的数形结合思想方法1TxP应小于p.故选C .【点评】 本题首先构造函数f ( x ), g ( X),再利用两个函数的图象的交点位置确定a ,淘汰了A、E两选项，然后又用特殊值丁估算，结合图象确定选项C，起到了出奇制胜的效果【例16】 已知函数f (x)是定义在(一3,3)上的奇函数，当0x3时f (x)图象如下图所示，A.那么不等式f (x) cosx0的解集是().70/ 2U基芒FlK：1解：函数f (x)定义在(3,3)上，且是奇函数，根据奇函

17、数图象性质可知，f ( 乂)在(一3,0)上的图象如图所示，若使 f (x) cosx1时，关于x的方程ax=logax无实解正确与否 错解：在同一坐标系中分别作出函数y=ax及y=logax的图象（a1）（如图1）,ti 1可见它们没有公共点，所以方程无实解，命题正确【评析】 实际上对不同的实数 a, y=ax和y=logax的图象的延伸趋 势不同例如当a=2时，方程无实数解；而当 a=时，x=2是方程的 解.说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直线y=x上.2、注意图象伸展速度”【例20】比较2n与n错解：令f （x） =x +2kx-3k，结合题意画出图象3中的（1），再由图象列出不等

18、的大小，其中n2且n N+.错解：在同一坐标系中分别作出函数y=2x及y=x2的图象（如图2）.由图可知，两图象有一个公共点当 x=2 时，2x=x2；当 x2 时，2x2,且 n N+ 时，2nn2.错因是没有充分注意到两个图象在x2时的递增 速度”要比较两个图象的递增速度，确实很难由图象直观而得.本题可以先猜想，后用数学归纳法证明本题的正确答案是当 n=2、4 时，2n=n2；r, n 2当 n=3 时，2 5时，n N+ 时，2nn2证明略3、注意数形等价转化【例21】已知方程x2+2kx-3k=0有两个实数在-1与3之间，求k的取值范围解略【评析】事实上，不等式组（*）并不与题意等价，

19、图象3中的（2）也满足不等式组（*），但两实根均大于 3,还可以举出两实根均小于 -1的反例. 若不等式组（*）与图3中的（1）等价，需加上条件-3k1.因此，数形转 化要注意等价性4、注意仔细观察图象m【例22】已知关于x、y的方程组15高中数学的数形结合思想方法#高中数学的数形结合思想方法#高中数学的数形结合思想方法注意到m-b，则a、b、m应满足的关系是m0时的示意图视角二：由m0,先将原方程变形，得 x-仁占x，再视方程x-仁占x两边的代数式为两（ab0）有四组实数解，求 a、b、m应满足的关系错解：已知方程组中的两个方程分别是椭圆和抛物线的方程，原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物

20、线有四个不同的公共点由图4知，m-b，且4 a，即-a2m-b.【评析】 观察图象过于草率！事实上，图5也是一种可能的情形，即当 v _=a时，仍有可能为四组解例如当 a=2, b=1, m=-4 时，可得解集为：（2, 0）,（2, 0） , （，. , ） , （ / ） 现用数形结合求解:考虑一元二次方程a2y2+b2y- （m+a2） b2=0, 令 =0（即相切情形），解得m=-结合图象,个函数，分别画出函数 y=x-i , y=-x的图象(如图2),由图易看出:当0 1或-1一0，即m1时，图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根视角三：用分离参数法，先将原方程化为j=m.分别

21、作出函数y= 一T，y=m的图象(如图3)，由图易看出，当 时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根视角四：用分离参数法，先将原方程化为亠一-.当x0时，得1-丁=一，当x0时，得-1-丄=一.分别作出函数y=，y=.,的图象(如图4)，由图易看出，当0 1或-11或m-1时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根m1團4可见，例1的各解虽同是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函数中的都含有m，因而他们的图象也是变化的，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易因考虑不周而产生漏解，视 角三虽看图直观明了，但图象不易作出，而视角四既比视角三作图方便

22、，又比视角二简单，不用讨论，这 是因为视角二还有一个函数中含有 m，而视角四中已不含 m，所以这里以视角四为最理想 2 .-.【例24】已知函数f (x) =ax +bx且2wf( 1) 4 1 wf(-1)三2求f (-2)的取值范围. 这是我们常出错的题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等，而众所周知的数形结合法 是线性规划法.这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b在2 a+b4 1 -b 2 这两个约束条件下，求目标函数y=4a-2b的最大(小)值问题.约束条件2 a+b41 -b2的解集是非空集，在坐标平面上表 示的区域是由直线：a+b=4, a+b=2, a-b=

23、2, a-b=1所围成的封闭 图形(图5中的阴影部分).y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小,从图中易知当直线 b = 2a- y经过A (二，r), C ( 3 , 1 )时截距分别为最小f ( -2) =5和最大f ( -2 ) =10.所以 5(-2) 10.其实还可有如下数形结合法：要求f (-2)的取值范围，只要确定 f (-2)的最大(小)值，即找到f (x) 的图象在x=-2时的最高点F与最低点E的纵坐标，为此只要确定 f (x)2经过E、F时的函数表达式，由于f (x) =ax +bx是经过原点(c=0)的抛物线系，所以只要再有两点就可确定，由已知 2Wf( 1

24、) 4, 1f( -1) 2知f (x )在x=1时的最高点B (1, 4),最低点 A (1 , 2), f (x)在x=-1时的最高点 D (-1 , 2),最低点 C (-1 , 1),(如图6), 由抛物线的图象特征易知经过F点的图象就是经过 0、B、D的图象C2,经过E点的图象就是经过 0、A、C的图象C1,于是：将 B (1, 4), D (-1, 2)坐标代入 f (x) =ax2+bx 得a-A =2解得 a=3, b=1.2故图象经过 0、B、D的函数为C2 : f (x) =3x +x，所以fmax (-2) =10.将 A (1, 2), C (-1, 1)的坐标代入 f

25、 (x) =ax2+bx 得 ai-bA a-b=2故图象经过 0、A、C的函数为C1 : f (x) =x2+丄x, fmin (-2) =5.所以 5f(-2) 10.a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cAk 2则可RM=B ,【例25】正数a、b、c、A、B、C满足本题的难度较大，用代数方法一时是无从下手的.若能数形结合，揭示其条件 a+A=b+B=c+C=k中隐含的几何背景一一联想到三数相等的几何图形是等边三角形， 得如下简捷的证法证明：如图7,作边长为k的正三角形PQR,分别在各边上取点 L、M、N，使得QL=A , LR=a , NQ=c,则5僦F十5僭+二5息巒T18

26、高中数学的数形结合思想方法#高中数学的数形结合思想方法AaB-bC-cA ；后如果再观察a+A=b+B=c+C=k这个代数条件，从三数相等的几何图形是等边三角形，联想到四数相等a+A=b+B=c+C=k的几何图形是正方形则又可作边长k的正方形(图8).C由面积关系知其结论 aB+bC+cAk 2显然成立仅举三例，可见一斑，不但数形结合的确好，而且同是数形结合， 也有不好与好之分，只有把握住 结合”这一数形结合法的核心，才能把在由数到形这一变换、操作过程中的图形选择的多样 性，变成解题的灵活性和创造性在实际学习中要结合具体问题掌握一些常规的操作策略，例如要画的若是函数图象，那就要设法让要画图象的

27、函数尽可能少含参变量，最好不含参变量，如果一定要含有，也要设 法让它在较低次的函数(如一次函数)或在简单函数中含有只有这样，才能从一个新的层面上去理解、掌握、运用好数形结合法【结束语】 在数形结合法的学习中，我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关 的，数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发展密切联系着，这些工具和方法同 时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边数学科学发展的这种特点是根深蒂固的 ”把“证明的严格化与简捷化绝对对立起来是错误的相反，我们可以通过大量的例子来证实；严格的方法同时也是比较简捷比较容易理解的方法正是追求严格化的努力驱使我们去

28、寻求更简捷的推理方法”.19高中数学的数形结合思想方法数形结合的思想方法（2）-高考题选讲数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才 产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：数与形本是两依倚，焉能分作两边飞数缺形时少直观，形少数时难入微 ”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决 问题过程中数”与形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想数形结合思想就是要使抽象的数学语言 与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来在使用过程中，由形”到 数”的转化，往往比较明显，

29、而由 数”到 形”的转化却需要转化的意识，因此,数形结合思想的使用往往偏重于由数”到 形”的转化考试中心对考试大纲的说明中强调：在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在 解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，21高中数学的数形结合思想方法解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主1. 注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查S也屈& 【例1】图1有面积关系.-PAr*PBf则由图2有体积关系:BPA*PB*PC【点评】本

30、题注重考查图形分析能力 思维方式上从平面向空间 拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举体现了高考题以能力 立意考查注重素质的命题原则 尤2【例2】女口图所示，已知椭圆| ,-16Fi, F2,点P在椭圆上，若Fi, F2, 点，则点P到x轴的距离为（） =1的左、右焦点分别为P是一个直角三角形的三个顶可知此圆与椭圆无交点， 则AF注2P中ZPF iF 2 （或ZPF 2F i ）22高中数学的数形结合思想方法#高中数学的数形结合思想方法为直角，如此求出p点坐标即得yp=.，故选d .【点评】 本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计 算为判断，在理性

31、的高度认识问题【例3】某城市各类土地租价y （万元）与该地段和市中心的距离 x （ km）关系如图所示其中li表示商业用地，12表示工业用地，13表示居住用地要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（）A 与市中心距离分别为 3km和5km的圆环型区域上B 与市中心距离分别为 1km和4km的圆环型区域上C 与市中心距离为5 km的区域外D 与市中心距离为5km的区域内解：由函数y的实际意义知：在区间（1，4）上，即在与市中心距离分别为1km和4 km的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租 用给工业，故选B.【点评】 这道题考查

32、的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观 察、检索信息、把握问题实质的良好习惯2. 注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查【例4】设奇函数f (x)定义域为5,5，若当x0,5 时，f (x)图象如下图，则不等式f (x) 0的解集是 .解：由奇函数的图象关于原点对称，完成f (x)在定义域内的图象，再由 f (x) 0找出使f (x)图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f (x) 0 ,B=(x,y)x + y-n 0 和x+y-50所共同确定的区域，平移两直线得到答案A.【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系

33、的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力3. 注重对思维的灵活性和创造性的考查【例6】已知点P是椭圆上的动点，F 1,F 2分别是左、右焦点，O为原点，贝U的取值范围是(A.B. Of2D. Ot/2#高中数学的数形结合思想方法#高中数学的数形结合思想方法解：此题的一种解法是：在APFiF 2中，根据中线定理得：PF12+PF2 2 = 2 O P2+2F1O2，再由椭圆定义，得到(PFi-PF 2) 2 = O P2 I6，由2O P500 )或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分 钟收费0.3元.(3) 由图知：当 0W x 6时 fA (x) 50

34、0 时 fA (x) fB (x);当 60fB380S80(X)得x .，即通话时间为(:、,+8)时万案B较优惠.【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能 力的考查.下面就高考中出现的一些相关题进行点评【例8】.若方程lg( x2 + 3x m)= lg(3 x)在x (0,3)内有唯一解，求实数 m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函 数的图像进行解决。3 _ x a 0【解】原方程变形为2-x +3x m = 3x3x 0即：2Jx-2) =1-m设曲线y1 = (x 2

35、) 2 , x (0,3)和直线y2 = 1-m图像如图所示。由图可知： 当1 m= 0时，有唯一解，m= 1; 当1 1 m4时，有唯一解，即一 3mc 0,m = 1 或一30),椭圆中心D(2 +卫,0)，焦点在x轴上，长半轴为 2,2 2短半轴为1,它的左顶点为 A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线 L的距离？【分析由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题(研究方程组解的情况)。【解由已知得：a= 2, b= 1, A(卫,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：2l

36、y2 = 2px，消 y 得：x2 (4 7p)x + (2p +) = 0y24i2g(2 +41所以= 16 64p + 48p20,即 6p2 8p+ 20,解得：p1。32结合范围(,4+)内两根，设 f(x) = x 2 (4 7p)x + (2p + ),224所以 pZp4+P 即 p0、f(4+ )0 即 p 4 + 342。2 2 2 2 2 21结合以上，所以4+ 3.2p。3【注本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出 方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了 “判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义 法”、“数形结合

37、法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。【例 10.设 a、b是两个实数，A= (x,y)|x = n, y = na+ b (n Z), B= (x,y)|x = m, y= 3m2 +15 (m Z), C= (x,y)|x2 + y2 12n21.n2 1tn为整数 上式不能取等号，故 a、b不存在。【注】 集合转化为点集(即曲线)，而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。本题直接运用代数方法进行解答的思路是：由 AQ BM $ 得：na+ b= 3n2 + 15 ,即 b= 3n

38、2 + 15 an(式)；由(a,b) C得，a2 + b2 144(式)；把式代入式，得关于 a的不等式：(1 + n 2)a 2 2n(3n 2 + 15)a + (3n 2 + 15) 2 144 0(式),它的判别式= 4n2(3n 2 + 15) 2 4(1 + n2)(3n 2 + 15) 2 144 = 36(n 2 3) 2因为n是整数，所以n2 3工0,因而 0,故式不可能有实数解。所以不存在a、b,使得AQ Bm $与(a,b) C同时成立【例 11】已知 f ( x) =ax+b, 2a2+6b2=3，证明对任意 x 1,1恒有 f (x) .【点拨】从等式2a2+6b2

39、=3联想到几何图形：椭圆于是一个好解法出现了 2加斗呼13这27高中数学的数形结合思想方法珀叔椭圆的参数方程人 /.| = axA-b3这#高中数学的数形结合思想方法3这#高中数学的数形结合思想方法sin（040，求 x 的范围.【点拨】初读，无论如何与图形挂不起钩来，但t的范围不是确定了吗？而且发现 p是关于t的一次函数这个发现好极了，一次函数的图象太简单了，于是按t降幕排列：p=f ( t) = ( log2x-1 ) t+log22x-2log 2X+1 , t2,2 时 p0恒成立(如图2),f (2)0 且 f (2)0,丄x8 或 0x1,求点A( x+卅,X-卅)与点B(l, 0)之间的距离的最小值【点拨】A是个动点，这个动点在坐标平面上的轨迹图形是什么呢?J_ J_令 z=x+ , y=x- ,则 y -z =-4 (z2 .这个表达式太熟悉了，它的图象是双曲线的一支mi n=1.用不着画出图形来，在脑子里做想像，我们准确地判断AB已知在 A昶中a