2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义： 12.2

1、§12.2古典概型1 古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果(2)每一个试验结果出现的可能性相等2 古典概型的概率公式P(A).1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“或“×)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽属于古典概型，其根本领件是“发芽与不发芽(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面“一正一反“两个反面，这三个结果是等可能事件(×)(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型(

2、15;)2 (2021·江西)集合A2,3，B1,2,3，从A、B中各任意取一个数，那么这两数之和等于4的概率是()A. B. C. D.答案C解析从A、B中任意取一个数，共有6种情形，两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，P.3 一个口袋内装有2个白球和3个黑球，那么先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是()A. B. C. D.答案C解析先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.4 (2021·重庆)假设甲、乙、丙三人随机地站成一排，那么甲、乙两人相邻而站的概率为_答

3、案解析甲、乙、丙三人随机地站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种排法，其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙，乙、甲、丙，丙、甲、乙，丙、乙、甲4种排法，故P.5 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是_答案解析从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(

4、4,6)，共6种，所以所求的概率是.题型一根本领件与古典概型的判断例1袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个根本领件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)假设按球的颜色为划分根本领件的依据，有多少个根本领件？以这些根本领件建立概率模型，该模型是不是古典概型？思维启迪判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的“有限性和“等可能性解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为根本领件的概率模型为古

5、典概型(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个根本领件，分别记为A：“摸到白球，B：“摸到黑球，C：“摸到红球，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，显然这三个根本领件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分根本领件的依据的概率模型不是古典概型思维升华古典概型需满足两个条件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的(1)以下问题中是古典概型的是()A种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率

6、C在区间1,4D同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率(2)将一枚硬币抛掷三次共有_种结果答案(1)D(2)8解析(1)A、B两项中的根本领件的发生不是等可能的；C项中根本领件的个数是无限多个；D项中根本领件的发生是等可能的，且是有限个(2)设出现正面为1，反面为0，那么共有(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)8种结果题型二古典概型的概率例2(2021·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高体重指标(1)从该

7、小组身上下于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率思维启迪计算根本领件总数或计算某一事件包含的根本领件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏解(1)从身上下于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的根本领件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个设“为事件M，其包括事件有3个，故P(M).(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的根本领件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，

8、(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)为事件N，且事件N包括事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个那么P(N).思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的根本领件的总数和事件A包含的根本领件的个数，这就需要正确列出根本领件，根本领件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择(1)(2021·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛假设每人都选择其中两个工程，那么有且仅有两人选择的工程完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)(2)有5本不同的书，其中语文书

9、2本，数学书2本，物理书1本，假设将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，那么同一科目的书都不相邻的概率是_答案(1)(2)解析(1)三位同学每人选择三项中的两项有CCC3×3×327(种)选法，其中有且仅有两人所选工程完全相同的有CCC3×3×218(种)选法所求概率为P.(2)第一步先排语文书有A2(种)排法第二步排物理书，分成两类一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法因此同一科目的书都不相邻共有

10、2×(122×2×3)48(种)排法，而5本书全排列共有A120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是.题型三古典概型与统计的综合应用例3(2021·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名群众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将群众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取假设干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，假设A，B两组被抽到的评委中

11、各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率思维启迪各组抽取人数的比率是相等的，因此，由B组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a

12、1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，那么此类问题即可解决为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190 cm之间的概率解(1)样本中男生人数为4

13、0，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170185 cm之间的学生有141343135(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170185 cm之间的频率ff估计该校学生身高在170185 cm之间的概率P0.5.(3)样本中身高在180185 cm之间的男生有4人，设其编号为，样本中身高在185190 cm之间的男生有2人，设其编号为.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P0.6.六审细节更完善典例：(1

14、2分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m2的概率(1)根本领件为取两个球(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式P(2)两球分两次取，且有放回(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)根本领件的总数可用列举法表示

15、(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)n<m2的情况较多，计算复杂(将复杂问题转化为简单问题)计算nm2的概率nm2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)P1(注意细节，P1是nm2的概率，需转化为其对,立事件的概率)n<m2的概率为1P1.标准解答解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的根本领件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的

16、球的编号之和不大于4的事件共有1,2，1,3两个因此所求事件的概率P.4分(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个6分又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率为P1.10分故满足条件n<m2的事件的概率为1P11.12分温馨提醒(1)此题在审题时，要特别注意细节

17、，使解题过程更加完善如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序(2)在列举根本领件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成1,2的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序(3)此题解答时，存在格式不标准，思维不流畅的严重问题如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出根本领件在第(2)问中，由于不能将事件n<m2的概率转化成nm2的概率，导致数据复杂、易错所以按要求标准解答是做好此类题目的根本要求.方法与技巧1 古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试

18、验的根本领件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的根本领件有多少个2 确定根本领件的方法列举法、列表法、树状图法失误与防范1 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算根本领件总数和事件包括的根本领件个数时，它们是否是等可能的2 可利用公式P(A)1P()计算比拟复杂事件的概率A组专项根底训练(时间：40分钟)一、选择题1 (2021·课标全国)从1,2,3,4中任取2个不同的数，那么取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. B. C. D.答案B解析根本领件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2这个事件的根本领件的个数为2，所以所求概率P，应选B.2 甲乙

19、两人一起去游“2021西安世园会，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，那么最后一小时他们同在一个景点的概率是()A. B. C. D.答案D解析最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P，所以选D.3 (2021·安徽)假设某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的时机均等，那么甲或乙被录用的概率为()A. B. C. D.答案D解析由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊

20、)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用的可能结果有9种，所求概率P.4 第16届亚运会于2021年11月12日在中国广州举行，运动会期间来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆效劳，至少有一名A大学志愿者的概率是()A. B. C. D.答案C解析记2名来自A大学的志愿者为A1，A2,4名来自B大学的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名的根本领件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2

21、)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种故所求概率P.应选C.5 连掷两次骰子分别得到点数m、n，那么向量(m，n)与向量(1,1)的夹角>90°的概率是()A. B. C. D.答案A解析(m，n)·(1,1)mn<0，m>n.根本领件总共有6×636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5

22、,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(个)P，应选A.二、填空题6 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，那么直线axby0与圆(x2)2y22相交的概率为_答案解析圆心(2,0)到直线axby0的距离d，当d<时，直线与圆相交，那么有d<，得b>a，满足b>a的，共有15种情况，因此直线axby0与圆(x2)2y22相交的概率为.7 (2021·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，那么m，n都取到奇数的概率为_答案解析P.8 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，那么相邻

23、两个矩形涂不同颜色的概率是_答案解析由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，假设只用一种颜色有111；222.假设用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以根本领件共有8种又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为.三、解答题9 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求使得事件“ab发生的概率；(2)求使得事件“|a|b|发生的概率解(1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36种ab，即m3n0，即m3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件ab的概率为.(2)|a|b|

24、，即m2n210，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，其概率为.10(2021·天津)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等级假设S4，那么该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

25、(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品用产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4，求事件B发生的概率解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A

26、7，A5，A9，A7，A9，共15种在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，那么事件B发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共6种所以P(B).B组专项能力提升(时间：30分钟)1 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B. C. D.答案D解析如下图，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、

27、E，D、F，E、F，共15种假设要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为.2 将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，那么函数ymx3nx1在1，)上为增函数的概率是()A. B. C. D.答案D解析所有事件有6×636(种)，假设满足条件，那么y2mx2n0对x1恒成立，又m>0，即(2mx2n)min2mn，即2mn，而2m<n有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，那么2mn共30种P.3 一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后

28、再从袋中任意取出一个球，那么第一次为白球、第二次为黑球的概率为()A. B. C. D.答案B解析设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，那么先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为.4 袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，假设从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，那么从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为_答案解析因为袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，假设从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，那么黑球个数为5x，