高中数学知识点总结超全

1、精品文档文档高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念【 1.1.1 】集合的含义与表示1集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2常用数集及其记法N 表示自然数集，N或 N表示正整数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集. 3集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是aM ，或者 aM ，两者必居其一.（ 4集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x具有的性质 ，其中x为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 .（ 5集合的分类含有有限个元素的集合叫做

2、有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 ().【 1.1.2 】集合间的根本关系精品文档 6子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图AB或子集BA)AB真子集或BAA 中的任一元素都属于 BA B，且B中至少有一元素不属于 A(1)A A(2)AA(B)BA(3)假设AB 且 BC，那么AC(4)假设AB 且 BA，那么 AB或1A A为非空子集BA(2)假设AB 且 BC，那么AC集合A 中的任一元素都属A B于 B ，B 中的任一元素相等都属于 A(1)ABA(B)(2)BA 7集合A有n(n1) 个元素，那么它有2n个子集，它有 2n1个真子集，它有

3、 2n1 个非空子集，它有 2n2非空真子集.【 1.1.3】集合的根本运算 8交集、并集、补集名称记号意义性质示意图 x | x1AAAAA, 且交集B2AAB3ABAxBABB x | x1AAAAA, 或A并集B2AAB3ABAxBABB1A (e A)2A (eU A) UU x | x U , 且x A UB)( UA)(?U B)补集e A痧( AU痧(AB)(UA)(? B)UU【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 1含绝对值的不等式的解法不等式解集| x |a( a| x |a( a0)0) x |ax | xxa 或 xaa把 axb看 成 一 个 整 体 ，

4、化 成 | x |a ，| axb |c,| axb |c(c0)| x |a( a0) 型不等式来求解（ 2一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象O一元二次方程b24acb2x1,22ax1 x2baxc0( a0)bx无实根其中 x1x2 )2a的根ax2bx c 0( a 0) x | x x1或 x x2 x | xb R的解集2aax2bx c 0(a 0) x | x1 x x2的解集 1.2 函数及其表示【 1.2.1 】函数的概念 1函数的概念设A 、 B 是两个非空的数集， 如果按照某种对应法那么f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合

5、B中都有唯一确定的数f ( x) 和它对应，那么这样的对应 包括集合A，B以及A 到 B 的对应法那么f叫做集合A 到 B 的一个函数，记作f : AB 函数的三要素: 定义域、值域和对应法那么只有定义域一样，且对应法那么也一样的两个函数才是同一函数 2区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数，且ab ，满足 ax b 的实数x的集合叫做闭区间，记做 a,b ；满足a x b 的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b) ；满足a xb ，或 a xb 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 a, b) ，(a,b ；满足 x a, xa, x b, xb 的实数 x 的集合分别记做 a, )

6、,( a,),(, b,(, b) 注意： 对于集合 x | axb 与区间 (a, b) ，前者 a 可以大于或等于b，而后者必须a b （ 3求函数的定义域时，一般遵循以下原那么： f ( x) 是整式时，定义域是全体实数 f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 ytan x 中，xk(kZ ) 2零负指数幂的底数不能为零假设 f ( x) 是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其定义域一般是各根本初等函数的

7、定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 假设f (x) 的定义域为 a, b ，其复合函数f g( x)的定义域应由不等式ag( x)b 解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进展分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（ 4求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是一样的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小大数，这个数就是函数的最小大值因此求函数的最值与值域，其实质是一样的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比拟简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将

8、函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：假设函数yf ( x) 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a( y) x2b( y) xc( y)0 ，那么在 a( y)0 时，由于 x, y 为实数，故必须有b2 ( y) 4a( y)c( y)0 ，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用根本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函

9、数的值域或最值函数的单调性法【 1.2.2 】函数的表示法（ 5函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 6映射的概念设A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法那么f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应 包括集合A，B 以及A 到 B 的对应法那么f叫做集合A到 B的映射，记作f : AB 给定一个集合A 到集合B 的映射，且aA, bB 如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b

10、 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象 1.3 函数的根本性质【 1.3.1 】单调性与最大小值（ 1函数的单调性定义及判定方法函数的定义性 质如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2 , 当 x1 < x 2时，都有 f(x 1)<f(x 2 ) ， 那 么 就说f(x)在这个区间上是增函数 函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、 x2，当 x1 < x 2时，都有 f(x 1)>f(x 2 ) ， 那 么 就说f(x)在这个区间上是减函数 图象yy=f(X)f(x2 )f(x1 )o1x2xxyy=

11、f(X)f(x 1)f(x2 )ox1x 2x判定方法（ 1利用定义（ 2利用函数的单调性（ 3利用函数图象在某个区间图象上升为增（ 4利用复合函数（ 1利用定义（ 2利用函数的单调性（ 3利用函数图象在某个区间图象下降为减（ 4利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对 于 复 合 函 数 yf g( x) ， 令 ug (x) ， 假设 yf (u) 为 增 ， ug ( x) 为 增 ， 那么y f g(x) 为增；假设 yf (u) 为减， ug( x) 为减，那么 yf g (x) 为增；假

12、设 yf (u) 为增 ， ug (x) 为 减，那么 yf g( x) 为 减；假设 yf (u) 为 减， ug( x) 为 增，那么yyf g(x) 为减 2打“函数 f (x)xa (a0) 的图象与性质xf (x) 分别在 (,a 、 a , ) 上为增函数，分别在ox a ,0) 、 (0,a 上为减函数 3最大小值定义一般地，设函数yf (x) 的定义域为 I ，如果存在实数M 满足：1对于任意的 x I，都有 f ( x)M ；2存在 x0I ，使得f (x0 )M 那么，我们称M 是函数f (x)的最大值，记作fmax ( x)M 一般地，设函数yf ( x) 的定义域为 I

13、 ，如果存在实数m 满足：1对于任意的xI ，都有f ( x)m ；2存在 x0I ，使得 f ( x0 )m 那么，我们称 m 是函数 f (x) 的最小值，记作fmax ( x)m 【 1.3.2 】奇偶性（ 4函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质如果对于函数f(x)定义域内 1利用定义要先任意一个 x，都有f(x)=判断定义域是否关于f(x) ,那么函数 f(x)叫做奇函原点对称数 2利用图象图象关于原点对称函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内 1利用定义要先任意一个 x，都有f(x)=f(x) ,判断定义域是否关于那么函数 f(x)叫做偶函数 原点对称 2利用图象

14、图象关于 y 轴对称假设函数 f ( x) 为奇函数，且在x 0处有定义，那么 f (0)0 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性一样，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数或奇函数的和或差仍是偶函数或奇函数，两个偶函数或奇函数的积或商是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积或商是奇函数补充知识函数的图象 1作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质奇偶性、单调性；画出函数的图象利用根本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种根本初等函数的图象平移变换yf ( x)h 0,左移h

15、个单位h0,右移 | h|个单位yf ( x)k 0,上移k个单位k0,下移 | k|个单位伸缩变换y f (x h) y f (x) kyf ( x)01,伸1,缩yf ( x)0A 1,缩A 1,伸对称变换y f ( x) y Af ( x)yf ( x)yf ( x)yf ( x)y f ( x)（ 2识图x轴f (x)yf (x)y轴f (x)yy原点f ( x)yf ( x)直线 y xyf1( x)y去掉 y轴左边图象yf (| x |)保存 y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保存 x轴上方图象y| f ( x) |将x轴下方图象翻折上去对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下

16、分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（ 3用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章根本初等函数 ( ) 2.1 指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算 1根式的概念如果 xna, aR, xR, n1，且 n N，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时，a 的 n 次方根用符号n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号n a 表示；0的 n 次方

17、根是0；负数a没有n次方根式子 na叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数当n 为奇数时， a 为任意实数；当n 为偶数时，a0根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ，nana ； 当n为 偶 数 时 ，n ana(a0)| a |a(a0) 2分数指数幂的概念mn am (a正数的正分数指数幂的意义是：a n0, m, nN, 且 n1) 0的正分数指数幂等于 0mmn (1)m(a正数的负分数指数幂的意义是：a n(1) n0, m, nN , 且 n 1) 0aa的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数 3分数指数幂的运算性质

18、 arasar s (a0, r , s R) (ar ) sars ( a 0, r , s R) (ab)rar br (a0, b 0, r R)【 2.1.2】指数函数及其性质 4指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a0 且 a1) 叫做指数函数a10 a1yya xy a xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当x0 时，y1 奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数ax1( x 0)a x1(x 0)函数值的ax1( x 0)a x1(x 0)变化情况ax1( x 0)a x1(x 0)a 变

19、化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低 2.2 对数函数【 2.2.1 】对数与对数运算 1对数的定义假设 axN ( a0, 且a1) ，那么 x 叫做以 a 为底N的对数，记作 xlog a N ，其中 a 叫做底数，N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlog a Na xN (a0, a1, N0) 2几个重要的对数恒等式log a 1 0 ， log a a 1， log a abb 3常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log10N ；自然对数：ln N，即 log e N 其中e 2.71828 4对数的运算性质如果

20、a0, a1, M0, N0 ，那么加法： log a Mlog aNlog a (MN )减法： log a Mloga N log aMN数乘： n log a Mlog a M n (nR)alog a NN log ab M nn log a M (b0, nR)换底公式： log a NlogbN (b 0,且 b 1)blog b a【 2.2.2 】对数函数及其性质（ 5对数函数函数名称对数函数定义函数 ylog a x(a0 且 a1) 叫做对数函数a 10 a1x1x1yyloga xyy loga x图象(1,0)O(1,0)xO定义域(0, )值域R过定点图象过定点(1,

21、0) ，即当x1 时，y 0x奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数log a x0(x1)log ax0(x1)函数值的log a x0(x1)log ax0( x1)变化情况log a x0(0x 1)log ax0(0x 1)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高(6) 反函数的概念设函数 yf ( x) 的定义域为 A ，值域为C ，从式子yf (x) 中解出 x ，得式子 x( y) 如果对于 y 在C中的任何一个值，通过式子x( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x( y) 表示

22、 x 是 y 的函数，函数 x( y) 叫做函数 yf ( x) 的反函数，记作 xf 1 ( y) ，习惯上改写成 yf 1( x) 7反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式y f (x) 中反解出 xf 1 ( y) ；将 xf1( y) 改写成 y f1 ( x) ，并注明反函数的定义域8反函数的性质原函数 yf (x) 与反函数 yf 1 ( x) 的图象关于直线yx 对称函数 yf ( x) 的定义域、值域分别是其反函数y f1 ( x)的值域、定义域假设P(a,b) 在原函数 yf (x) 的图象上，那么 P' (b,a)在反函数 y f1 (x) 的图

23、象上一般地，函数yf ( x) 要有反函数那么它必须为单调函数 2.3 幂函数 1幂函数的定义一般地，函数yx 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数 2幂函数的图象 3幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0 ，那么幂函数的图象过原点，并且在0,) 上为增函数如果0 ，那么幂函数的图象在 (0,) 上为减函数，在第一象限内，

24、图象无限接近x 轴与 y 轴q奇偶性： 当为奇数时， 幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂函数为偶函数当其中 p, q 互pqq质， p 和 qZ ，假设 p 为奇数 q 为奇数时， 那么yx p是奇函数， 假设p为奇数q为偶数时， 那么 yx pq是偶函数，假设p 为偶数 q 为奇数时，那么y x p是非奇非偶函数图象特征：幂函数y x, x (0,) ，当1时，假设 0x 1，其图象在直线y x 下方，假设x 1 ，其图象在直线yx 上方，当1时，假设 0 x1，其图象在直线yx 上方，假设x1 ，其图象在直线y x下方补充知识二次函数 1二次函数解析式的三种形式一般式： f ( x) ax

25、2bxc( a0) 顶点式： f ( x) a(x h)2k(a 0) 两根式：f ( x) a( x x1 )( xx2 )(a0) 2求二次函数解析式的方法三个点坐标时，宜用一般式抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时，常使用顶点式假设抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求f ( x) 更方便 3二次函数图象的性质二次函数 f ( x) ax2bx c( a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb, 顶点坐标是2a(b , 4ac b2) 2a4a当 a0 时，抛物线开口向上， 函数在(,b 上递减，在 b, ) 上递增， 当 xb时，2a2a2afmin (

26、x)4acb2；当 a0 时，抛物线开口向下，函数在(,b 上递增，在 b ,) 上4a2a2ab时， fmax4acb2递减，当 x( x)2a4a二次函数 f ( x)ax 2bxc( a 0)当b24ac0 时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1x2 | a| 4一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理韦达定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元

27、二次方程ax2bxc0(a0) 的两实根为x1 , x2，且x1x2令f (x)ax2bxc ，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：xb2a判别式：端点函数值符号 k x1x2yybf (k) 0a0x2aOkOx2k x1x2xx1xbf (k)0a 0x2a x1 x2 kyybf ( k)0a 0x2aOx2Ox 2kxkxxx11ba 0f (k ) 0x2ax1 kx2af( k) 0yya0f ( k)0Okxx2xx2xOkx11f (k)0a0 k1 x1 x2 k2ya 0f (k1 )0f (k2 )0x1x2Ok1k2xbx2aybx2ak1k2Ox1x

28、2xf (k1 )00f (k 2 )a 0有且仅有一个根x1或 x2满足 k1 x1或 x2 k2f( k1) f( k2)0，并同时考虑f( k1 )=0或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合ya0f (k1 )0x1k 2O k1x2xf (k 2 )0 k1 x1 k2 p1x2p2此结论可直接由推出yf (k1 )0x1k2Ok1x2xa0f ( k2 )0 5二次函数f ( x)ax2bx c(a 0)在闭区间 p, q 上的最值设 f ( x) 在区间 p, q 上的最大值为 M1( p q) ，最小值为 m ，令x0当 a0 时开口向上2假设bp ，那么 m f ( p)

29、假设 pbq ，那么 m f (b ) 假设bq ，那么2a2a2a2amf (q)ffff(q)(p)(p)(q)OxOxOff (p)b)bf f (bbbf (2a )2a)假设2af (q)x0，那么 Mf ( p)(q)x0，那么M2a2a( ) 当a0 时(开口向下)f(p)bfbb假设，那么 x(q)假设bx0，那么假设，那么pMf ( p)pqMf ()q2a02aO2a x2aOxMf (q)fbff ()f (p)b)(q)2a2abbbf (f (ff(2a )2aff2a(q)(p)(p)OOxOxfff(q)(q)(p)假设bx0，那么 m f (q)bx0，那么 m f ( p) 2a2af (b)b2af f(2a)f(q)(p)x0x0OxOxff(q)(p)第三章 函数的