上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考

1、2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考上海市光明初级中学刘颖颁近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此。背景1:如图点P是正方形ABCD对角线上任意一点。求证：PA=PC证明：.四边形ABCD是正方形AB=CB,ZABP=ZCBP=45°又=BP=BPAABPACBP=iPA=PC背景2:接上题，以P为圆心，以PA为半径画弧交求证：PQXPC证明：pa=PQ=Z1=Z3又ABPACBP=Z1=Z2=Z1=Z2=Z3而：Z3+Z4=180°=Z2+Z4=180°又./QBC=90°./Q

2、PC=900=PQXPCAB（或AB的延长线）于点当点Q在AB的延长线上时，-.Z2=73;/4=/5=ABQHACPHZQPC=90°=iPQXPC背景3:反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C,另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB交于点Qo求证:PQ=PC证明：过P作MN平行于BC交AB、CD于M、N/1+ZQPC=/2+ZPNC=Z1=Z2又ZMBR=450=MP=MB=NC而/QMP=ZPNC=90%AQMPAPNC=PQ=PC2从上述的几个背景看出PQABADP卜面我们将背景弱化:MN的对ADPMNCB交于ABQQCBQMPA PNCQ在

3、射DQ'PCMNPQXPCQCBBCPNbCDAMaQ1ADAMpMN从这两个背景看出CBb >a时就QDANADMQ。求证QMPA PNCBC2 QMPA PNC =2 a证明：易证证明：易证但若点Q关于MN的对称点QPC = 90当/ QPC = 90 %寸PQ ADPC ABPC ABQPC = 90铀AB MB NCPC ABQi也在射线AB上时，如同上述背景将一个直角顶点放在对角线 BD上移动，一条直角边过点 C背景4:若将一个直角顶点放在长方形PC时，因为有PA= PC时/ APC = 90%一定成立，所以/ QPC = 90。AD=b，点P在对角线BD上运动PQ A

4、D ,工PQ AD=；但反过来当=a, b满足什么条件时，会有PQXPCQ。求证：fQ=也PC ABPQ MP MP ADPC - NC - MB - AB背景6:如图四边形 ABCD是梯形，AD / BC, / ABC = 90 口，若三 1 二 b2 a2 m 0= (b a)(b a)三 0二 b 工 aPC AB PQ AD MP MP 探索：正常情况下， =PQi ,PQ AD线AB上运动，若PQ=CD,试探索PQ AD , 工一= ;但反过来当PC ABPQ = PC，PC_2MQ b背景5:如图，矩形 ABCD的AB = a,MQ PQ _ b PNPN PC a ' D

5、NPQMPMPAD_6-PC-NC-MB-AB背景7:如图，四边形ABCD是梯形，AD/BC,ZABC=900，AB=a,BC=b,AD=x,点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若PQ ADPC AB与a、b之间应该满足什么条件时，一定会有 PQXPCQ1探索：正制#况下，PQ="二MP二MPPC AB MB NC二QMPsPNCn /QPC=90 - PQXPC但若点Q关于MN的对称点Qi也在射线AB上时，如样，连PQi, / Q1PC=90觊不一定成立了。所以这同上述背景里我们应该关注当点Qi “最低”时点P的位置，其实无论AD边的长度如何要使得点Qi的位置“最低”，那

6、么点P的位置只能与点 B重合。Q'Q'这时 Q'DPspqc,且PQ'=PQ=p PQ又PC ABAD 十r ，而当AD时，在AB、BC都是定值的情况下，PQ也就变大了,即Q'点就不在射线AB上了（而是在射线BA上了），那样/Q'PC=90处一定成立了所以结论就是当AD>a-时，/QPC=90J定成立b09上海市中考数学压轴题:25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分,第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知 /ABC =90°, AB =2, BC =3, AD /PQBC, P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，

7、且满足匚QPCADAB（如图8所示）.（1）当AD =2,且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长;3Saapq（2）在图8中，联结AP.当AD=,且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x,Q=y,其2SAPBC中Szxapq表示APQ的面积，SzxPBC表示PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域;10所示），求/QPC的大小.（3）当AD<AB,且点Q在线段AB的延长线上时（如图因为BC第一步：对所给的主条件进行分析，做“先期准备”，我们发现当“点P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上,PQAD且满足=（如图8所示）”时，一定有/QPC=90。PCAB第二

8、步：做第一小题时，我们知道AD=AB时一定有PB=PC,又因为有/BAD=90。=/ABD=45"BC=90口45045'/PCB二45'BPC=90。332又BC=3=PC=7=。出题者的本意是想给同学一个/QPC22的提示的。但是这个提示不明显，直接影响了后面的作图和解决问题，第“铺垫”的目的没有很好地达到。AD=3第三步：第二小题的条件在主条件上加了一个2,所以我们还要对形单独地做个分析：这是白ADB和PQC都是3：4：5的直角三角形,= 2AD,也容易证明 DBC为等腰三角形，DC=DB等等。第四步：画出所有运动状态，在“极限图形”中求出x等于多少？ y存在还

9、是不存在?要注意这里的“点 P为线段BD上的动点，点 Q在线段AB上"，所以有三个图:在图1中x= 0, y是存在的，在图 3中PQ AD 3 PQPC " AB "5"2工31297、而AD=AQ=x=,这时y也是存在的。2888所以x的取值范围应该是：0MxM7。8在图2中我们容易知道:1-(2-x)hiy=3 h222-xohi 2 - x o AD?3 h23 AB2-x 32-xX -=344第五步：在做第三小题时，由于题中已经明确有“点Q在线段AB的延长线上时、如图10所示”两个明确条件,所以我们在背景中考虑的另类情况在这里就没有必要讨论了。最后看来，除了第一小题有点值得商榷外，今年上海市的压轴题紧扣教材（所