2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛及详解

1、2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛及详解全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解一.滇空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分）L已知向量而=（1,。卜丽=卜时,则"和篇的夹也等F.，己知集告/二卜|（忠）（叱力0,且2S,江上则实数R的取毡他出是.3.己知起数E=ssg+由ng,其中为虚数单位，则/+炉=.1-4.在平面汽角坐标系工3中，设丹心分别是双曲线£-*=】（口°力°）的左.石焦点*尸是双曲线右支上一点，M是股的中点，且。"_L叫，3尸耳=4；弭，则双曲线的弱心率为.5,定义区间卜4的长度为4若函数y=|log）|的定义域为。6

2、上值域为口2卜则区间卜力长度的最大值与最小值的差为.6 .若关于工的二次方程加/十（2帆-1卜-固+2=0（阳0）的两个互异的根都小于1,则实数期的取值范围是.廿&皿win4Hsinlxsinisin戈7 .tan4x=,姐+=*3cosSxcos4.rcos4xcos2a-cosZ.vcosxcos.t8 .棱长为2的iE方体.48匚八4产£4在空间直角坐标系。-xvrr中运动,其中顶点月保持在工轴上，顶点4保持在平面K0V上，则0C长度的最小值是9 .曲数列%得满足士11-。二】（h=L23,2（1）,1,成等比数列.若。=1,小=9,则满足条件的不同数列的个数为.10

3、.对于某些正整数人分数匕不是既为分数，则科的最小值是.3n+7*'二*耕答题本大攘扶4小题.每小题20分共80分）1L设数列风满足：1="4>0?®tf=叫"，科wN*叫+E求证；（1）数列他）是递增数列；（2）对任意正整数心/<1+£B12-在¥面也用坐标系g中，设箱圆E:二+白二11八心，11线小+3-加=0.若脚qb.回E的离心率为且，原点。到直线，的距高为3VL2（1）求椭厕£与宜线I的方程；（2）若椭圆E上三点P"（Q»）.S&0）到直线f的距离分别为/4,q,求证：可以是某三

4、角形三条边的边长.13 .如图列。是叫边影的内切碉，切点分别为只0,兄5.。月与尸5交丁点4,0R与产。火于点出，0c与qk戈于点G,。与3H父于点口.求证；四边形44GR是平疗四边形.14 .求满足工,-主三了一了、的所有素数K和了.2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解21)17年一月7日8:(X)-10:(10)一、填空题I本大题共1仆小题，每小7分满分70分jL已知向，杼山(5).厢=(v21).则向敬肝3初的夹用爷子答案；解一由题设.取.同=1.<5卜(一，5/)=止11#|二|丽|,故九4尸8为等星国加士角照从而向量AAS的夹角等F；解二因为1?=PS=a、区所以，

5、/修_/反_(2iu).、,I)_：1PLT4¥1十3"Iv:炉+(、.？+)-改向口介9171的飞珀可；2.一知集介人=!.“gr-lg-m>0,I12£AMF4明实数&的取3范围显.答案-匕我或2Jq23.2K由逋设,划i2fl-1)(H-Jr>IL£.1A2或灯：.：.,0«-彳aC；-；或1<；f£W3.3riti3)(I：£门333-'.3,已知复数M=叩寺+i而J其中i是虚数单位，则/+d=.智案-J-解由感冒9Un.tn以E1v3.二十二一*,*)6+|S1H十(Tib-+IS

6、I1I1£i.3333224.平而围用坐标系M，y中，设K.如分掰是欧弗透_=上色>0.6>的后。<1*用崎P是双曲线有支I：；V足PFi的中点.11(ZH1PS,3PR=4刊,则双曲线的离心奉为.答案5解固为口昆丹.峋中国*是PFa的中点，所以OMgPFi.而DM瓜亚尸FFR*由3Pft-IPF2可设PFl-取码-苑由句段定理及双曲战定义，讲2t-F/；=用t,2<*二尸尸1-PF2-宿尻 定义区间上八小的长度为门.储困ft v 中出前的定义域为出以值域为虬机 则区间® M L。：川，kI1和於小值的器为.答案&1钻f什北效一11叩的图象.

7、脑到当期一2时.F q或L当# H时.一L故定< 域录匕时为易知.忖为：.1卜故长度之准为（1.若关F-的二次方也m' （，加I '.r n 2 , li nr >。,的冏个儿斤”也邛小F I, 则实依网的取悔他由是.w （%g*4箱汴息到到m>a结合函其人/十/1）工一m + 2的图象知.题技嬖求等/F(2nj 一 1 产一 JmJ” + 2) > 0._ 如_1 < 加Q -in +(2m 1 > -+ 2 > 0in > y 或 iti < 0.1 1in >2注本题亦可由极为系数关装得如卜等价条件:A >

8、 0,3* t7* (E1 1) -J-(上学D H ",：r(工1-1)但1) > C3nllsin 2jUr L门 5 2r串 sin j-1 +UK .；答案 3.解沛忠钊sin(n - 5) sin n ons J - sin N cos ndZi，一ii、，/ J见式lajiS.r-talk4talk41'匕训2十1江2rkUij-tallJr.|；i l * r-2 ti in -l.f1 tau3x8 .植史为2的正方体小为GR小空间自用坐电系0弊中运动.其中顶点八保持布：相匕原点如保持僧卜而匕则0C长度拊最小“2.答案V6-v2.K曲题设,（Z4_U即取

9、从小中疔£则0E=®CE=VFT2=«,JO（f（'E-OK=xti-si当11仅当a在戏段ce上时1：式取竽号.故wmi为疯9 .世故列。电g1满足卜工1141ft-.-1琳-L2、20）,明,。打如成等比数列.心«,=1.an=晶则新足条件的不同数列的个数为.答案15O.JU.鲜因为八诙&或等比数列.所以"="13=9,的±3.«73时S总涧1-tf_<f7-+（a<-（情1+,+（uj-a）.GTV：中心为a个1.1个卜l圻以山.2,.«-共rnf=6种可能的情况.类似地

10、,ii11291-a7hi仁如十（化照一町弁）十+ac?）£上这1j个络,必为13个+L1个一1,所以g肉共有C修二"种可他的情况.所以,岫=T时.frGk14-84个不同的数列.当叼=3时.注意到2二日7一血工a邺）十（06一+1。2业口收这6个中必为2个L4个+L所以.共有阴；15种可能的情乩类似地!由G=Un<17=（021fJ2Q）+。20d19）+1*,4卜电07）虬这1L个全中必为K）个.个L斫以叼心共TH型一附小|他的恬况.所以,073时，有5x1如15Q13个不1猾J数列，综匕满足条件的不同葭到的个数为M-加15=15（用IW.对广臬些正整蜀江分数-R

11、不显既约分数.则m的最才能与,Jjr4j答案立12J_F解一由一比：匚二也不足照<分配竟解442丁-（孰<,+：，n4?n+219则问题薄阶F二小是氏约分虬注意蚓四为素甑故”的最小值为n+2二、册等魁本大题共4小题播小版2n分满分闽分)I. eTJ 了 Q %l = '."七 N”, jRif：'%T + 1n2： c,i .珞数分/弋i- vk 11L设数好山储涡足；的:(1)数列斓於通埔数舞：(I：证明Ml为小学旧闻似力日用II，L f >1小世回迎到叫是:，身律;也.2证明因勾和M，Ifin-1-C*U-1."+Lif1又见=L也满是

12、上K.故时任意iL不数%均行的弋+XtII止12 .flT'ill戴卡标系.g巾以椭NE±与+.直伐/；工+L凯Iktyfr-椭IM£的St心率为三.惊点0时白线I汹跖离为3落1)求椭网芯与直城【的方林(2)岩嘴HIEE=.31(%蛇谕/可到直缱的鸵离分刖为此由也.求正而也.心可即是史浦形,:景过的位长.；1黜11.Ml,干是所求精网£：亍一/=L订线f：+#G(2)证明设FC2ms&甯口&),则+ win 6|6 y/5wing + 巾)其中tan© =2所以0、受、比|n+l-6| 义心=、方5。2 .乱+弱=24 0- 6|

13、=入&所以山Ad轲泮意到19c6避+“小d2+内.>Gv2 vlO+ 2V210- v H) 5v5心.所以由,诙,4可以是某三角形：条边的边忆13 .如1区园O是四边与ABCD的内劭Q3也分别为P.Q.R.S.OAljPSZJU,OB与PQ文十口BOC-jQR交十点CQD与SU交十小g.求吊四边席山i为千荏四边形.证明联站PR.QS,注意列四边形ARCD的四边均与四。相切则。上。况。CQD分别为SP,PQ.QR.RS的中奉缰所以小用不“功分别为SRPQ,Q风RS的中点.于是有4马/SQ.GG/5QAlR/PR乱岛fPR.故4当，(7。1,a3/也。空从面四边形小功QD为平行四边形.14 .求满足益_=/的所有素数上和3解储