高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题57排列组合中的常见模型

1、专题 57 排列组合中的常见模型【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明排列组合中的常见模型的解法.（一）处理排列组合问题的常用思路：1 、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考

2、虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数Anm 是指从 n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列. 但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列.（二）排列组合的常见模型1 、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注： （ 1 ）要注意在插空的过程中是否可以插在两

3、边（ 2）要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列.例如对于a,b,c,d ,则d,c,a,b是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9 种， 5 个元素的错位排列有44 种 . 以上三种情况可作为结论记住4、 依次插空：如果在 n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m 个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1 ）5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中6、相同元素分组：

4、将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有Cnm 11 种 . 解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元 素排成一列，共有 n 1个空，使用 m 1个“挡板”进入空档处，则可将这 n个元素划分为 m个区域， 刚好对应那m个盒子.7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻 的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可【经典例题】例1.12017课标II ,

5、理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1人完成，则 不同的安排方式共有（）A. 12 种B. 18 种C. 24 种 D . 36 种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C：种方法，然后进行全排列 A；即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C42 A3 36种方法.故选D.例2.【重庆市2018届三模】山城农业科学研究所将 5种不同型号的种子分别试种在 5块并成一排的试验田 里，其中八出两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试 种方法数为 （）A. 12 B.

6、 24 C. 36 D. 48【答案】B【解析】分析：先确定用雁型号的种子种法，再对剩下3型号全排列，即得结果. 详解：因为从则型号的种子试种方法数为2 *2=4种,所以一共有=24选8 点睛：求解排列.组合问题常用的解题方法； 元素相邻的排列问题一一“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题一一“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题一一“除序法”；（4）带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题一一间接法例3.【2018年理新课标I卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则 不同的选法共有 种.（用数字填写答案）【答案】16【解析】分析:苜先想到所选的

7、人中没有女生？有多少种出去,再者需要确定从6人中任选3人总共有多少 种选法，之后应用）威去运算，求得结果.详解二根据题意，没有女生入选有Q二琳中选法，从6名学生中任意选3人有常=2环中选法，故至少有I位女生入选j则不同的选法共有制-4 = 1群札故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解例4.12017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，

8、要求服务队中至少有 1名女生，共有 中不同的选法.（用数字作答）【答案】660411411【解析】由题意可得：息的选择万法为C8 C4 C3种方法，其中不满足题意的选法有 C6 C4 C3种方法，则满足题意的选法有：C84 c4 c3 c（4 c4 c3 660种.例5.【2018年浙江卷】从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字，从0, 2, 4, 6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）【答案】1260【解析】分析我是否取零族讨论,若取零,则先排苜位，最后根据分类与分步计额原理计数.详解：若不取零,则排列豹为之喘式洁取雾,则排列数为第因此一共有牖WM+WWa

9、；/ = 126H没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： 元素相邻的排列问题一一“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题一一“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题一一“除序法”；（4）带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题一一间接法例6.12017天津，理14】用数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样白四位数一共有 个.（用数字作答）【答案】1080【解析】 A C4c3 A4 1080【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，

10、包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数例7.12018届浙江省教育绿色评价联盟 5月考试】有7个球，其中红色球 2个（同色不加区分），白色, 黄色，蓝色，紫色，灰色球各 1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有 种不同的排法（用数字回答）.【答案】408【解析】分析：把红色球看做一个处理，利用分类计数原理结合分步计数原理，由左至右逐一排放，然后求和即可.详解：123456红色球2个（同色不加区分）,2个红色#1起,把红色球看做一个，本题相当于6个球的排列，将它们排成一行，最左边对非白色,2个红色排一起黄色和红色不相邻左侧1号位

11、置,放红色球j有：玛戈=炙，2号位置放红色球，则放球方法有:盘玛 黑=54,34号位腾放红色球,则放球方法有:3乂（攫+£7用 用）=180,6号位置放红色球，则放球方法有:?掰二 78, 臼排列方法有：|% + 54+1前+ 76=408故答案为 殛.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能 挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法 原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能

12、提高准确率例8.12018届安徽省合肥市三模】如图，给 7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A. 24 B. 48 C. 96 D. 120【答案】C【解析】分析：讨论两种豫兄，第一类乩。相同颜色,第不同颜色，分别利用分步计救乘法原理求解p然后求和即可.洋解：若4D颜色相同先涂砥密中涂法，再涂AD有3种涂法再添B有Z种涂法，C只有一种除法，共有 4X3 乂2 =2黑椁若颜色4。不同,先涂硝毋中除法,再涂4有身中潴去？再涂D有3种潴总当好和D相同 时 C有一f中除法j当夕和。不同时员C只有一手除去，共有4乂 3 乂 3 X。

13、+1） = /库机主期粉类计数原 理可得，共有24十72二96种，曲选C例9.12018届四川省成都市第七中学三诊】已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（）A. 240 种 B. 360 种 C. 480 种 D. 600 种【答案】C【解析】分析：本题属于有限制条件的排列问题，解题时可按照领导丙的位置分为6类，求出每一类的排法后再根据分类加法计数原理求解总的排法.当领导内在位置1时,不同的排法有当领导内在位置2时,不同的排法有当领导内在位置3时,不同的排法有当领导内在位置4时,不同的排法有当领导内在位直5时，不同的排法有详解：用分类讨论的

14、方法解决.如图中的6个位置，123456当领导丙在位置1时，不同的排法有 必巨I种.由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种.故选C.例10.12018届甘肃省西北师范大学附属中学冲刺诊断】第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到 3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者 的分配方案种数为（）A. 540 B. 300 C. 180 D. 150【答案】D【解析】分析：将5人分成满足题意的3组有LL均两种？分别计算分为酉类情况的分组的f檄，再分 配到三个不同的展馆，艮呵得到结果.详解：将S人分成满足题意的3组有LL均ZZ1两种，分

15、成LL珀寸，有噩掰种分法j分成乙乙时第有赞九闻种分分左c? L白之俅底+150由分类计数原理得，共有 &:I种不同的分法，故选 D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是 两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出 隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理 讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.在某些特定问题上，也可充分考虑“正 难则反”的思维方式.【精选精练】1.12018届湖南省长沙市长郡中学模拟卷（二）】中

16、国诗词大会亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.因为前四场播出后反响很好，所以 节目组决定将进酒、山居秋暝、望岳、送杜少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场， 并要求将进酒与望岳相邻，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A. 144 种 B. 48 种 C. 36 种 D. 72 种【解析】分析：采取“捆绑法”、“插空法”，利用分步计数乘法原理可得结果详解：将将进酒与望岳捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有面4种排法，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在 册空

17、里（最后一个空不排），有色且种排法，则后六场的排法有 叵三剂种，故选C.2 .【2018届贵州省凯里市第一中学高四模】集合=3,4,5,0,8可，从集合 口1中各取 个数，能组成（）个没有重复数字的两位数？A. 52 B. 58 C. 64 D. 70【解析】分析：分别从集合 A, B取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案.详解：1故选：B.3 .【山东省烟台市2018年春季高考一模】有 由学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（）A.壹货种 B.把J种 C.叵1种 D. V 1包种【答案】D【解析】分析：根据题意，分两分析:将甲Z2人看成一个整体，考虑2人之间的顺序

18、.将这个整体箕余争大全排列,由分步计数原理计算即可得答案.详解；根据题意，分2不分析；由于甲、乙两人空顿站在一起,将甲、乙两人看成一个整体，考虑2人之间的顺序j有破帽况j将这个整体与其余 瞅全排列，有M种情况，则甲、乙两人必须站在一起的排法共有恒q种排法，故选d.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是 两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出 隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理 讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确

19、率.在某些特定问题上，也可充分考虑“正 难则反”的思维方式.4 .【2018届浙江省宁波市5月模拟】若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有网种D.巫|种【答案】C【解析】分析：直接按照乘法分步原理解答 详解：A |B |CDEF按照以下顺序涂色A: Ci T B0 T D: G f。C； T E： C； T f： G,所以由乘法分步原理得总的方案数为岂.。卜的.C； = 96种.所以总的方耨为9用故答案为：C|点睛：（1）本题主要考查排列组合计数原理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时，要思路清晰，排

20、组分清.（2）解答本题时，要注意审题，“有公共顶点的两个格子颜色不同”，如 C和D有公共的顶点，所以颜色不能相同 .5.12018届福建省泉州市 5月检查】李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都-泉州” “二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有A. 16 种 B. 18 种 C. 20 种 D. 24 种【答案】C【解析】分析：根据分类计数原理，“东亚文化之都-泉州” “二日游”，任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如，分两种情况讨论即可.详情：任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如，若李雷选或，则韩梅梅有4种选择，选若李雷选或或或，则韩梅梅有故

21、他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2X （4+6） =20,故答案为：C.6.【腾远2018年浙江卷红卷】 四四北京两会期间，有甲、乙、丙、丁、戊 网位国家部委领导人要去同个分 会场发言（每个分会场至少 川人），其中甲和乙要求不再同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同的 安排方案共有 种（用数字作答）.【答案】30【解析】分析：由题意甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场，所以有“噩U”和“叵国”两种分配方案，利用分类计数原理和排列组合的知识，即可求解.详解：因为甲和丙在同一分会场,甲和z不在同一分会场所以有 3旧和婚工仔两种分配方案；当“22y时，甲和丙为一组,余下?人选

22、出2人为一组，有舱段=18种方案J当“311”时：在丁和成中选出1人与甲丙组成一组，有白掰二1寻中方案,所以不同的安排方案共有居+12 = 3娜巾.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是 两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出 隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理 讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.在某些特定问题上，也可充分考虑“正 难则反”的思维方式.7.12018届湖南省益阳市5月18日统考】现有8本杂志

23、，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有 5本是 互不相同的数学杂志，从这 8本里选取3本，则不同选法的种数为 .【答案】26【解析】分析：从选取的数学杂志的本数入手讨论即可详解：若选取的三本书没有数学杂志，有 1种选法若选取的三本书有1本数学杂志，有 1 = 4种选法若选取的三本书有2本数学杂志，有面引种选法若选取的三本书有1本数学杂志，有 糖=U*种选法故不同选法的种数为 26.8.12018届浙江省杭州市第二次检测】盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出 1个球（取出不放回），取完为止，则共有 种不同的取法（用数字作答）.【答案】32解析】分析：根据题意，按白个球取出的数目分6种情况讨论，

24、分析求出每一年位情况的取法触目，由加 法序理计算可得答案.详解：由题鼠一次可以取球的个蓟为L % 3,%5, 6个,则若一次取完可由1个弓组应有彻二 次股元可由1与6, 2与d, 3与3组成井5种；三次取完由L，4或，% 3或一 2组成共10种； 国欠取完有L b L 3或L li 2, £里成共1种5五次取完，由L L 1j L 2个组成共5种j六次取 完由5个1细成共有1种，竦上得，共有加种，故答案为阻9. 2018年6月份上合峰会在青岛召开，面向高校招募志愿者，中国海洋大学海洋环境学院的 8名同学符合招 募条件并审核通过，其中大一、大二、大三、大四每个年级各 2名.若将这8名同

25、学分成甲乙两个小组，每组 4名同学，其中大一的两名同学必须分到同一组，则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有 种.【答案】24【解析】分析：首先要明确该题应该分类讨论，第一类是大一的两名同学在乙组，第二类是大一的两名同学不在乙组，利用组合知识，求得相应的数，之后应用分类加法计数原理，求得结果，问题得以解决.详解：根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两 个为博=3种,然后分别从选择的年级中再选择一个学生为卜匚；=4种 故有八4二口种;第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为'二种,然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为以q=4种,这时共有"4=12施；根据分类计数原理得，共有|12 + 12=24,种不同的分组方式.10.12018届山东省烟台市高考适应性练习（一）】上合组织峰会将于 2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将 反瓯国这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作 .若要求I0 必须在同一组，且 每组至少2人，则不