初中数学动点问题专题讲解整理.doc

1、中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想 数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过 对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，

2、需要理解图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学 动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等.研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向.只

3、的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向. 本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么，我们怎样建立这种函数解析式呢？下面结合中考试题举例分析.、应用勾股定理建立函数解析式例1（2000年上海）如图1,在半彳仝为6,圆心角为90°的扇形 OAB的弧AB上，有

4、一个动点 P,PH±OA, 垂足为H,4OPH勺重心为G.（1）当点P在弧AB上运动时，线段GO GP GH中，有无长度保持不变的线段 被口果有，请指出这样的线 段，并求出相应的长度.（2）设PH x,GP y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（即自变量x的取值范围）.（3）如果 PGH等腰三角形，试求出线段PH的长.解：（1）当点P在弧AB上运动时，OP保持不变，于是线段 GO GP GH22 1中，有长度保持不变的线段，这条线段是GH=2 NH= OP=2.33 2（2）在 Rt POH 中， OH MOP2 PH 2$36 x2 ,1 1 MH OH 、. 36 x2

5、 .2 2在 RtAMPH ,MP PH 2MH 2 yx2 9 ；x2 ；。36 3x2 .最新课件 2-1 2y =GP=- MP= 、. 36 3x2 (0< x <6). 33(3) PGK等腰三角形有三种可能情况：GP=PHt 】'36 3x2 x ,解得x 髭.经检验， 31 .GP=GHt -v-36 3x22,解得 x 0.经检验，3 PH=GH1 x 2.xJ6是原方程的根，且符合题意.x0是原方程的根，但不符合题意.综上所述,如果 PGH等腰三角形,那么线段PH的长为J6 或 2.、应用比例式建立函数解析式例2 (2006年山东)如图 2,在 ABC中,

6、AB=AC=1,点D,E在直线 BC上运动.设BD=x,CE=y .(1) 如果/BAC=30，/DAE=105 ,试确定y与x之间的函数解析式;(2) 如果/BAC的度数为 ，/ DAE的度数为，当数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在 4ABC 中，AB=AC,/ BAC=30 , /ABC4 ACB=75 ,. . / ABDh ACE=105 . /BAC=30，/DAE=105 , 又 / DAB吆 ADB=Z ABC=75 , ./ CAE=/ ADB, / DAB吆 CAE=75 , . ADK EAC,.ABCEBDAcA满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函(2)由于/

7、 DAB吆 CAE=，又/DAB吆 ADB=/ ABC=90 且2，函数关系式成立，902,整理得当 一90时，函数解析式y290 .21成立.x例 3(2005 年上海)如图 3(1),在4ABC中，/ABC=90 ,AB=4,BC=3.点O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点 交线段OC于点E.作EP± ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1)求证：AADE AEP.(2)设OA=x ,AP= y ,求y关于x的函数解析式，并写出它的定 义域.(3)当BF=1时，求线段AP的长.解:(1)连结OD.根据题意，得 ODL AB,/. / ODA=90

8、, / ODAW DEP.又由 OD=OE得/ ODE=/ OED. .Z ADE=Z AEP, /.A ADEAD,AEP.ACO3(2)(2) / ABC=90° ,AB=4,BC=3,AC=5./ ABC=ZADO=90 ,OD/ BC,OD3x,5AD4x, 5_ 34 .OD、x ,AD= x .55AE=x3-x58=5x . AD匕 AEP, ,AEAPADAE,8-x5y4x5.8-x51- y16x (0 5x25(3)当 BF=1 时,若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1),则CF=4. /ADEM AEP, ，/PDE=Z PEC. / FBP=/ DEP

9、=90 , / FPB=/ DPE, ，/F=/PDE,，/F=/FEC, CF=CE.-85.5-x=4，得 x .可求得 y 2,即 AP=2.58若EP交线段CB于点F,如图3(2),则CF=2.类似，可得CF=CE.815 - 5- - x =2,倚 x .5 8可求得y 6 ,即AP=6.综上所述，当BF=1时,线段AP的长为2或6.、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 (2004年上海)如图，在 ABC中，/ BAC=90 ,AB=AC=2，2 ,。A的半径为1.若点O在BC边上图8运动(与点B C不重合),设BO=x , 4人。C勺面积为y .(1)求y关于x的函数解析式，并

10、写出函数的定义域.(2)以点。为圆心，BO长为半彳5作圆 O,求当。与。A相切时， AOC勺面积.解:(1)过点A作AFU BC,垂足为H. / BAC=90 ,AB=AC=2V2 ,. BC=4,AH=1 BC=2. . OC=4-x .2c1 .八 S AOCOC AH , y x 4 (0x4).AOC2_ 2_272(2 x).解得 x -.6(2)当。O与。A外切时，在 RtAAOH ,OA=x 1 ,OH=2 x,，(x 1)2717此时，AOC勺面积y = 4 66当。O与。A内切时，在 RtAAOH ,OA=x 1 ,OH=x 2,2_ 2_ 27(x 1)2 (x 2). 解

11、得 x .2， 71此时，AOC勺面积y = 4 一 一22171综上所述，当。与。A相切时， AOC勺面积为E或金.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、 形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍, 给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题.动点问题一直是平行四边形、梯解题方法、关键1. （09年徐汇区）以点D为顶点作如图,

12、EDFB ,分别交边 AB于点E ,交射线CA于点(1)(2)(3)当AE 6时，求AF的长；当以点C为圆心CF长为半彳5的。C和以点A为圆心AE长为半径的。求BE的长；当以边AC为直径的。O与线段DE相切时，求BE的长.A相切时,题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上 相似形24.5（4）例六，典型的一 线三角（三等角）问题，试题在原题的基础上改编出第一小题 当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了第二小题，加入直线与圆的位置 关系（相切问题）的存在性的研究形成了第三小题.区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系 方程思想来求解.区分度性小

13、题处理手法1 .直线与圆的相切的存在性的处理方法：禾1J用，从而利用d=r建立方程.2 .圆与圆的位置关系的存在性 （相切问题）的处理方法：利用 d=R± r（ R r ）建立方程.3.解题的关键是用含略解x的代数式表示出相关的线段解：（1） 证明 CDF SCF EBD , , BDCD 广，代入数据得BECF8 , AF=2(2) 设 BE=xUdAC 10, AE10 x,利用（1）的方法CF 32 ,x相切时分外切和内切两种情况考虑:外切，10 10 x32内切，103210 x x2V17 . 0x10ABC中，AB AC 10, BC 12,点 D在边 BC上，且 BD

14、4,当。C和。A相切时，BE的长为（3）当以边AC为直径的。O与线段DE相切时,类题一个动点：09杨浦两个动点：09闸北25题（四月、五月）、25题、09松江25题、20BE .309静安25题、09卢湾25题、09青浦25题.（二）线动问题在矩形ABCD中，AB=3,点O在对角线AC上，直线l过点O,且与AC垂直交AD于点E.（1）若直BC的长;线l过点B,把 ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心 A，重合，求(2)若直线l与AB相交于点F,且AO = 1AC ,设AD的长为X ,五边4形BCDEF的面积为S.求S关于X的函数关系式，并指出 x的取值范 围；3探索：是否存在这样的

15、 X,以A为圆心，以X -长为半径的圆与4直线l相切，若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由.题型背景和区分度测量点本题以矩形为背景，结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到. 一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线 AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆 的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二. 区分度性小题处理手法6 .找面积关系的函数解析式， 规则图形套用公式或用割补法， 图形用割补法.7 .直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r建立方程.8 .解题的关键是用含 X的代数式表示出相关的线段.略解1(1)二9是

16、矩形ABCD勺对称中心A'B= AA= 1AC2. AB= A'B, AB= 3；AC= 6 BC 3T3 AC v x2 9 ,AOAFAEx2 94x, , S AEF1 AE2AF(x2 9)296xS 3x(X2 9)296x4XS 270x2 8196x3 3)若圆A与直线l相切，则x4不存在这样的x,使圆A与直线l相切.类题09虹口 25题.(三)面动问题1X29 , Xi 0(舍去)，4X2, X2如图，在 ABC中，AB AC 5, BC 6, D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)，且保持 DE / BC ,以DE为边，在点 A的 异侧作正方

17、形DEFG .(1)试求 ABC的面积；(2)当边FG与BC重合时，求正方形 DEFG的边长；(3)设AD x , ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 y ,试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(4)当 BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题 ，试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题，当D点在AB边上运动时，正方形 DEFG整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应， 可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的

18、面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二. 区分度性小题处理手法图3-1图3-51 .找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图 3-1、3-2重叠部分分别为正方形和 矩形包括两种情况.2 .正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图 3-3、3-4、3-5用方程思想解决.3 .解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解 解：(1) Sabc 12.a 4 a124 2)令此时正方形的边长为 a ,则色 4a ,解得a .6452(3)当 0 x 2 时，y -x 36x2,525V二叶64n

19、2424 2当 2x5时，y -x 5x xx .55525(4) AD125 25 20,73 11 7类题改编自09奉贤3月考25题，将条件(2)“当点M、N分别在边BA、CA上时”，去掉，同时加到第(3)题中.已知：在 4ABC 中，AB=AC, / B=30o, BC=6,点 D 在边 BC上，点E在线段DC上，DE=3, ADEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点 M、N.(1)求证：BDMsCEN;(2)设BD=x, ABC与 DEF重叠部分的面积为 y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域.（3）当点M、N分别在边BA、CA上时，是否存在点D,使以M为圆心，BM

20、为半径的圆与直线 EF相切,如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由.例1:已知。的弦AB的长等于。O的半径，点 C在。上变化（不与 A、B）重合，求/ ACB的 大小.分析：点C的变化是否影响/ ACB的大小的变化呢？我们不妨将点C改变一下，如何变化呢？可能在 优弧AB上，也可能在劣弧 AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，Z ACB所对的弧是劣弧 AB,它的大小为劣弧 AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角 ，连ZAO、BO , 则由于AB=OA=OB ,即三角形 ABC为等边三角形，则/ AOB=600 ,则由同弧所对的圆心角与圆周角的1关系得出：/ A

21、CB= 2 / AOB=300 ,当点C在劣弧AB上变化时，/ ACB所对的弧是优弧 AB,它的大小为优弧 AB的一半，由/ AOB=600 得，优弧AB的度数为3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关 系得出：/ ACB=1500 ,.A - B因此，本题的答案有两个，分别为 300或1500.z反思：本题通过点c在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从/ 'VSC y而需要分类讨论。这样由点c的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常a_,.c 一 B出现。o , c变式1 :已知 ABC是半彳空为2的圆内接二角形，若 AB大小.本题与例1的区别只是AB与圆的

22、半径的关系发生了一些变化2V3 ,求/ C的4，其解题方法与上1-sin AOB面一致，在三角形 AOB中，22 AB虫OB 21nAOB 600，则2，即从而当点C在优弧AB上变化时，/C所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB的一半，即C 600AOB 1200B当点C在劣弧AB上变化时，/ C所对的弧是优弧 AB ,它的大小为优弧AB的一半，由/ AOB=1200得，优弧 AB的度数为 3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/C=1200,因此 C600 或/C=1200.变式2：如图,半经为1的半圆O上有两个动点 A、B,若AB=1 , 判断/ AOB的大

23、小是否会随点 A、B的变化而变化，若变化，求出变化范 围，若不变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。解：（1）由于 AB=OA=OB ,所以三角形 AOB为等边三角形，则/ AOB=600 ,即/ AOB的大小不会随点 A、B的变化而变化。、3（2）四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为 4 ,而三角11 “_1-OD AF OC BG （AF BG）形AOD与三角形BOC的面积之和为222,又由梯形1-（AF BG） EH的中位线定理得三角形 AOD与三角形BOC的面积之和2,要四边形3ABCD的面积最大，只需 EHEH=OE,因此最大，显然EHWOE= 2

24、，当AB/CD时,四边形ABCD的面积最大值为.3、.3 337+三二 丁A DOB对于本题同学们还可以继续思考：四边形ABCD的周长的变化范围.变式3：如图,有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块.三角形的 两个顶点分别为A、B,另一个顶点 C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形 的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题）分析：要使三角形 ABC的面积最大，而三角形 ABC的底边AB为 圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CDXAB于点 D,连结CO,由于CDWCO,当。与D重合，CD=CO ,因此，当 CO与AB垂直时， 即C为半圆弧 的中点时，其三角形 ABC的

25、面积最大。本题也可以先猜想，点 C为半圆弧的中点时，三角形 ABC的面积最大， 故只需另选一个位置 C1 （不与C重合），证明三角形 ABC的面积大于 三角形ABC1的面积即可。如图1显然三角形 ABC1的面积=2 AB X C1D,而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=2 AB X C1D< 2 ABXC1O二三角形ABC的面积，因此，对于除点C外的任意点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形ABC的面积，故点C为半圆中点时，三角形ABC面积最大. 本题还可研究三角形 ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形 ABC的周长最大，

26、AB为常 数,只需 AC+BC 最大，而（AC+BC） 2=AC2+CB2+2AC X BC=AB2+4 XA ABC的面积，因此A ABC的面积最大时，AC+BC最大，从而A ABC的周 长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现，解决动态几何问题的常见方法有：一、特殊探路，一般推证例2: （2004年广州市中考题第 11题）如图，O O1和。O2内切于A, O O1的半径为3,。O2的半径为2,点P为。O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交。O2于点C, PB切。O2于点B ,BP则PC的值为(B)狗3(C) 2,6(D) 2分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正

27、确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P满足PB± AB时，可以通过计算得出PB= 32 122 2BC X AP=BP X AB ,因此AB BP 8 28 24 2RP_ .AB2 BP216 8 2.6.6BC=BP2 BC2 空在三角形 BPC中，PC=3BP所以，PC = <3选(B)当然，本题还可以根据三角形相似得BP APPC BP ,即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进 步证明对一般情况也成立。例3:如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边BC=4, OA BC于。，点E和点F分别在边AB、A

28、C上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断 OEF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积是否随点 E、F的变化而变化，若变化，求其 变化范围，若不变化，求它的值 .AEF的面积是否随着点 E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点，显然有A EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时，点 F与点C无限接近，此时A EOF无限接近A AOC,而A AOC为等腰直角三角形，几种特殊 情况都可以得出A EOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE与OF相

29、等吗？ / EOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形 OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得： OA=OC , / OCF= Z OAE ,而AE=CF ,则A OEA 0 A OFC,则 OE=OF,且/ FOC=/EOA,所以/ EOF=/EOA+/ AOF= / FOC+/ FOA=900 ,则/ EOF为直角，故A EOF为等腰直角三角形。二、动手实践，操作确认x (2 2 x) 2近；即例4 （2003年广州市中考试题）在。 。中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与 A、C不重 合），则（A） AC+CB=AD+DB（B）

30、AC+CB<AD+DB（C） AC+CB>AD+DB （D） AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定分析：本题可以通过动手操作一下 ，度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量一量， 得出结论（C）例5:如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径 CA和非直径的弦 CD,延长CA和CD与大圆分别交于点 B、E,则下列结论中正确的是（* ）（A） DE AB DE AB（C）DE AB （D） DE,AB的大小不确定分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论 ，连结DO、E0,则在三角形 OED中， 由于两边之差小于第三边，则OE-OD

31、<DE,即 OB-OA<DE,因此 AB ED，即 DE AB三、建立联系，计算说明例6:如图，正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1 , N为对角线AC上任意一点，则 DN+MN的最小值为分析：能否将DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于 ABCD为正方形，因此连结 BN,显然有ND=NB ,则问题就转化为 BN+NM的最小值问题了，一般 情况下：BN+NM >BM,只有在B、N、M三点共线时，BN+NM=BM ,因此DN+MN的最小值为 BM=4BC2 CM 25本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之

32、和大于第三边 及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定 理计算得出结论。例7:如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边BC=4, OA BC于O,点E和点F分别在边 AB、AC上滑动并保持 AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断四边形AEOF的面积是否随点 E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。（即例3的第2、第3问）分析：（2）本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设 AE=x ,则AF= 2<2 x ,2 2

33、而三角形AOB的面积与三角形 AOE的面积之比=X ，而1 -OB OA 2三角形AOB的面积=2,则三角形AOE的面积2 2 x同理三角形AOF的面积= J2 ,因此四边形 AEOF的面积=AEOF的面积不会随点 E、F的变化而变化，是一个定值，且为 2.当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形 AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而 AOC的面积为2,因此AEOF的面积不会随点 E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系，然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.第(3)问，也可以通过建立函数关系求得- x(2 -

34、 2 x) - (x 2)AEF的面积=221，又x的变化范围为0 x 2 J2,由二次函数知识得AEF的面积的范围为：0 AEF的面积 1 .本题也可以根据三角形 AEF与三角形OEF的面积关系确定AEF的面积范围：不难证明 AEF的面积WOEF的面积，它们公用边 EF,取EF的中点H,显然由于OEF为等腰直角三角形，贝U OH ± EF,作AGLEF,显然AG < AH=AG 的面积，而它们的和为 2,因此0 AEF的面积 1.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究： 比如，比较线段 EF与AO长度大小等(可以通过 A、E、多结论)1EF(=2)，所以 AEF的面积

35、w OEFO、F四点在以EF为直径的圆上得出很例8:如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm , BC=6cm ,点边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点 Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用 t秒表不移动白时间(0w t W6),那么：(1)当t为何值时，三角形 QAP为等腰三角形？(2)求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似？P沿AB分析:2t 6(2)(1)当三角形 QAP为等腰三角形时，由于/ t ,即t 2时，三角形QAP为等腰三角形； 四边形QAPC的面积=ABC

36、D的面积一三角形A为直角，只能是 AQ=AP ,建立等量关系,QDC的面积一三角形 PBC的面积12(3)6 1 12 x2显然有两种情况:2x1(12 2x) 62=36,即当 P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。由相似关系得6 x PAQA ABC , QAP ABC,12 2x 6_6或6 x 12,解之得x 3或x 1.2建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函 数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述 图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。作为训练同学们可以综合上述方法求解：练习1

37、: 2003年广州市中考压轴题(全卷得分最低的一道)已知 ABC 为直角三角形， AC=5 , BC=12, / ACB为直角，P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上动点(与点B、C不重合)(1) 如图，当PQ/AC,且Q为BC的中点，求线段CP的长。CQ的长的取值范围；若当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段不可能，请说明理由。1AB第1问很易得出P为AB中点，则CP= 2132第2问：如果 CPQ为直角三角形，由于 PQ与AC不平行，则/ Q不可能为直角又点P不与A重合，则/ PCQ也不可能为直角，只能是/ CPQ 为直角，即以CQ为直径的圆与 A

38、B有交点，设CQ=2x, CQ的中点DM DB DM 12 xDMAC AB ,即513,所以5(12 x) 5(12 x) DM CD x13,由13，即1010x 3 ,而x 6,故320亦即3CQ 12时,CPQ可能为直角三角形。D到AB的距离DM不大于CD,AB =AC, / BAC = 90 ° , O当然还有其它方法。同学们可以继续研究。练习2:（广东省2003年中考试题最后一题） 在RtAABC中, 为BC的中点，（1）写出点。到4ABC的三个顶点 A、B、C距离的大小关系。（2）如果点M、N分别在线段 AB、AC上移动，移动中保持 AN = BM , 请判断 OMN的

39、形状，并证明你的结论。该题与例3类似，同学们可以仿本大类习题的共性：1 .代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考 查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数.2 .以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值.专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践二|操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以

40、分类浅析，供读者欣赏1以双动点为载体，探求函数图象问题例1 （2007年杭州市）在直角梯形 ABCD中，/ C=90 ,高CD=6cm（如图1）.动点P, Q同时从点B 出发，点P沿BA , AD , DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是 1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C.设P, Q同时从点B出发，经过的时间为 t（s）时， BPQ的 面积为y(cm)2(如图2).分别以t, y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 P在AD边上从A至U D运动 时，y与t的函数图象是图 3中的线段MN.(1)分别求出梯形中BA, AD的长度；(2)写出图3中M,

41、N两点的坐标；(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在 图3中补全整个运动中 y关于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅 相成，给人以清新、淡雅之感.本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活 运用.解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.2以双动点为载体，探求结论开放性问题例2 (2007年泰州市)如图5, RtAABC中，/ B=90° , / CA

42、B=30 .它的顶点 A的坐标为(10, 0), 顶点B的坐标为(5, 53), AB=10，点P从点A出发，沿ZB-C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0 , 2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点 P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)求/ BAO的度数.(2)当点P在AB上运动时， OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部 分，(如图6),求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积 S取最大值时点P的坐标.(4)如果点P, Q保持(2)中的速度不变，那么点 P沿AB边运动时，/ OPQ的大小随着时间t的增大 而

43、增大；沿着BC边运动时，/ OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点 P沿这两边运动时，使/ OPQ=90的点P有几个？请说明理由.解/BAO=60 .(2)点P的运动速度为2个单位/秒.评析 本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题.试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题.解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2,然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4),考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以 B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题3以双动点为载体，探求存在性问题例3 (2007年扬州市)如图

44、8,矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M, N同时从B点 出发，分别沿 B-A , B-C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB,分别交AN, CD于P , Q. 当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM二厘米；(2)若a=5厘米，求时间t,使 PNBAPAD ,并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在

45、，请说明理由.评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代 数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3),解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示 PM ,进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围.第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中， 要有全局观念以及对问题的整体把握4以双动点为载体，探求函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点， 它们分别从点 A、C同时出发，沿对

46、角线以 1cm/s的相同速度运动，过 E作EH垂直AC交RtAACD的 直角边于 H;过F作FG垂直AC交RtAACD的直角边于 G,连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S 1, AE、EB、BA围成的图形面积为 S 2(这里规定：线段的面积为 0).E到达C , F到 达A停止.若E的运动时间为x(s),解答下列问题：当0<X(2)若y是S 1与S 2的和，求y与x之间的函数关系式； (图10为备用图)求y的最大值.解(1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形 ABCD的边长为82,所以AC=16 ,过B 作 BOX AC 于。，则 OB=89，因为 A

47、E=x，所以 S 2=4x，因为 HE=AE=x ,EF=16-2x，所以 S 1=x(16-2x), 当 S 1=S 2 时，4x=x(16-2x),解得 xi=0(舍去)，x2=6,所以当 x=6 时，S 1=S 2.(2)当 0Wx<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x,当 8WxW16寸,AE=x , CE=HE=16-x , EF=16-2(16-x)=2x-16 ,所以 S 1=(16-x)(2x-16), 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.当 0Wx<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50,所以当 x=5

48、时，y 的最大值为 50.当 8WxW16寸,y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,所以当x=13时，y的最大值为82.综上可得，y的最大值为82.评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画 出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式.本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的 思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1,已知抛物线的顶点为 A (

49、2, 1),且经过原点 O,与x轴的另一个交点为 Bo12y x x求抛物线的解析式；(用顶点式求得抛物线的解析式为4)若点C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以 O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四 边形，求D点的坐标；连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得OBF与4OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。分析：1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个

50、顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。2一 5,3练习1、已知抛物线y ax bx c经过P(，3,3) E -,0及原点O(0,0).(1)求抛物线的解析式.(由一般式 得抛物线的解析式为 y -x2 巫 x) . 33(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线P

51、C下方的抛物线上，任取一点 Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形 OABC .是否存在点 Q ,使得 AOPC与 PQB相似？若存在，求出 Q点 的坐标；若不存在，说明理由.(3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结 OQ ,矩形OABC内的四个三角形(1)判断zOCD与4ADE是否相似？请说明理由；(2)求直线CE与x轴交点P的坐标；(3)是否存在过点 D的直线1,使直线1、直线CE与x轴所围成的三角形和直线 1、直线CE与y轴 所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练习3、

52、在平面直角坐标系xOy2y ax bx c(a 0)的图象与x轴父于 A左边)，与 y轴交于点C ,其顶点的横坐标为(3, 12).(1)求此二次函数的表达式；(由一般式2y x 2x 3)(2)若直线l : y kx(k 0)与线段BC交于点D (不与点B, C重合)，则是否存在这样的直线l ,使得以B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 D的坐标；若不存在，请说明理由；A( 1,0), B(3 Q),C(0,3)PCO与P的横坐标xp的取值范围.y练习4 (2008广东湛江市)如图所示，已知抛物线2y x 1与x轴交于a、B两点，与y轴交于点C.(3)若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角最新课件(1)求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP/CB交抛物线于点 P,求四边形 ACBP的面积.(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似.若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由.练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中, ABC是直角三角形,ACB 90；,点A, C的坐标分_ _3别为 A( 3,0),