非稳态导热习题

1、第三章非稳态导热习题例3.1 一腾空置于室地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室。电热器外表和周围空气的平均对流换热系数为h,且为常数，室的空气温度和四壁、天花板与地板的温度相同，均为t f。电热器假定为均质的固体，密度为p，比热为c,体积为V,外表积为A,外表假定为黑体，因其导热系数足够大，部温度均布。通电 时其温度为t。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。解根据题意，电热器部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。电热器以辐射换热方式散失的热量为：r A(T4 Tf4)( 1)以对流换热方式的热量为：c hA(T TJ(2)散失的热量应等于电热器

2、能量的减少。假设只电热器断电后无热源， 根据能量守恒定律, 考虑电热器的热力学能因此，相应的微分方程式为:cvdT44A(TTf ) hA(T Tf)cvdT初始条件为：T =0, t =to(3)(4)(5)上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。例3.2电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱 体，电流的热效应可视为均匀的热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝外表和温度为tf的周围空气之间的平均对流换热系数为h,且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。解根据题意，保险丝部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。保险丝外表以对流换热方式散

3、失的热量为：c hA(T Tf)(1)保险丝的热源为：Q0=IR2(2)式中：I 保险丝通过的电流，(A); R保险丝的电阻，Q。根据能量守恒，散失的热量与热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。假设只考虑保险丝的热力学能c Q0cV(3)dcvdT(4)(5)因此，相应的微分方程式为：2hA(T TJ I R初始条件为：T =0, t =tf上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。令t tfI 2rhA，那么上述微分方程改写为cV d(6)该微分方程的解为hA d0(hA 、exp()cV0 exp( BiFo)(7)以温度t表示该解ttfI2R (tthA (t0 tfI

4、 2r)( hA ZhAcV)(8)由初始条件T =0,to= tf，该式可与为ttfI 2rm(1 exp(hA)( 9)上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出热源对保险丝的温度变化的作用。例3.3 块厚10 mm勺纯铝板置于温度为 10 C的空气中，铝板和空气之间的平均对流 换热系数h=10 W/(m2 K)，且为常数。求该铝板从100 C降到20 C所需时间与当时的热流密度。解求解瞬态导热问题，应先计算比渥准那么 Bi的数值，确定是否能采用简单的集总参数法。查取铝的物性参数，密度3p =2702 kg/m，比热容 c=903 J/kg，导热系数 入=237W/(m K)

5、。°hV100.01 A'4Bi2.1110 4(1)A2372A'Bi<0.1,可用集总参数法计算。hA0 exp()(2)102A'2010(10010)exp()(3)27029030.01 A't=2680 s(4)铝板从100 C降到20 C时，铝板的外表温度，空气温度，铝板和空气之间的平均对流 换热系数h均为，因此热流密度可用牛顿冷却公式计算。2 q=h( t- t f)=10 x (20 -10)=100 W/m(5)例3.4用球形热电偶接点作动态温度测量时，对热电偶的响应速度有一定要求。现要 求一个初温为to的球形热电偶与温度为t

6、 f的被测流体接触后，在1 s所指示的过余温度比95%°现有一铜-康铜球形热电偶接点，它与被测流体之间的对流换热表面传热系数h=50 W/(m2 K)，且为常数。试求该球形热电偶接点的最大允许半径°。解求解瞬态导热问题，应先计算比渥准那么Bi。查取铜的物性参数，密度p =8954kg/m3,比热容c=384 J/kg ,导热系数 入=398 W/(mK);查取康铜的物性参数，密度p =89223Bihr。50r。210(1)因半径r0未知，比渥准那么Bi的数值无法计算。 然后进行较核。但可假定Bi<0.1 ,先用集总参数法计算,0.95°exp(504 r；

7、exp(8938397hAeVexp()(3)0kg/m，比热容c=410 J/kg，导热系数 入=22 W/(m K)。球形热电偶接点是这两种材料的熔 化物，因此取平均值， 密度p =8938 kg/m ,比热容c=397 J/kg ,导热系数 入=210 W/(m- K)。-4"=8.2 x 10校核r0,Bi叫空冬0.1210(5)因为比渥准那么Bi<<0.1 ,上述分析计算合理。Bi，一旦Bi<0.1 ,就可以用简单的集总讨论：求解瞬态导热问题，应先计算比渥准那么参数法计算，但是 Bi数值确实定需要先知道定型尺寸的数值。此题中定型尺寸的数值是所求对象，因此只

8、能先假定Bi<0.1 ,能用集总参数法计算，计算完后需要根据算出的定型尺寸校核集总参数法的应用条件Bi<0.1是满足的。例3.5某种电路中所用的保险丝的直径为0.5 mm长20 mm导热系数 入=20 W/(mr K),热扩散率a=5X 10-5m/s,电阻为0.8 Q ,熔点为900 C。如果仅考虑由于对流换热的散热量， 保险丝外表和温度为20 C的周围空气之间的平均对流换热系数为10 W/(m2 - K),且为常数。试确定该保险丝通过2 A的电流后多少时间会熔断。解该保险丝因其导热系数较大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热 效应可视为均匀的热源。瞬态导热问题先计算比

9、渥准那么Bi的数值。hV 10d2l / 4Bi0.1(1)根据解析题3.2,t tf代入具体数值9002020dl2r1 exp(I "hAhA"CV)-吗1 exp(10 dl10 dl “)20 2 5 d2l / 4510 54880=1.019 x 10 1-exp(-0.2 t )t =0.4516 s例3.6将直径为30 mm初温为20 C的生红肠放入温度为180 C的烘箱中烤熟。假定生红肠的密度 p =960 kg/m 3，比热容c=5000 J/kg，导热系数于对流换热的加热量，红肠和烘箱中空气之间的平均对流换热系数为入=0.9 W/(m - K)，仅考虑

10、由30 W/(m2 - K)，且为常数。试求生红肠放入烘箱中10 min时红肠的中心温度。解红肠可视为细长圆柱体。瞬态导热问题先计算比渥准那么Bi的数值。BihV 300.03 2 / 4 lA 0.90.03 l0.1 (1)BihR300.0150.5 (2)0.9Fo0.96000.5 (3)cR296050000.0152因此此题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图(海斯勒图)的方法。查计算线图(海斯勒图)得J 180C201800.56 (4)解得生红肠放入烘箱中10 min时的中心温度t 济90.4 C (5)例3.7直径为400 mm初温为20 C的钢棒放入温度为600 C的炉

11、中加热。钢棒的密3度p =7833 kg/m，比热容c=465 J/kg，导热系数 入=54 W/(mK)，仅考虑由于对流换热的 加热量，钢棒与炉中气体之间的平均对流换热系数为130 W/(m2 - K)，且为常数。试求钢棒中心温度到达400 C时所需的时间，并确定此时钢棒的外表温度。解钢棒可视为细长圆柱体。瞬态导热问题先计算比渥准那么Bi的数值。(1)Bi hV 竺 1。4 2 / 40.1A 540.4 l因此此题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图(海斯勒图)的方法。BihR 1300.254_0.4814钢棒中心温度到达400 C时，m4006000.3448 020 600Fo 1

12、.354cR27833 465 0.223.706104 (4)解得钢棒中心温度到达400 C时所需的时间t =3508 stR 6004006000.79 (6)查计算线图(海斯勒图)得 Fo准那么的数值为解得此时钢棒的外表温度t r=442 C例3.8截面为1 mx 1 m的耐火砖方形长柱体，初温为 20 C，与600 C的高温烟气接触，仅考虑由于对流换热的加热量，柱体与燃气之间的平均对流换热系数为20 W/(m2 - K),且为常数。耐火砖的密度 p =2000 kg/m，比热容c=960 J/kg，导热系数 入=1.07 W/(m- K), 试求耐火砖柱体与烟气接触 120小时时方柱体

13、的中心温度。解瞬态导热问题先计算比渥准那么Bi的数值。0.1(1)° hV 2011 lBiA 1.0741 l因此此题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图(海斯勒图)的方法。方形长柱体的导热是二维导热问题，可用两个壁厚相同的无限大平壁的解的乘积求得。Bi200.51.079.346(2)Fo1.0743200020009600.520.963 (3)再查计算线图(海斯勒图)得0.18 0因此，方形长柱体中心的过余温度比tm tf to tftm 600206000.180.18(5)最后解得120小时时方形长柱体的中心温度tn=581.2 °CO3例3.9 一块厚300

14、 mm的无限大钢板密度p =7753 kg/m，比热容c=486 J/kg，导热系 数入=36 W/(m - K)初温为900 C,突然置于20 C的空气气流中，空气和钢板间的对流换 热系数为400 W/(m2 K)。求钢板外表温度到达200 C时所需时间。解瞬态导热问题先计算比渥准那么Bi的数值。BihV 4000.3 AA36_2A_0.1(1)因此不能用集总参数法，只能用查计算线图 由于中心温度未知，不能用含有傅立叶数 定中心温度。(海斯勒图)的方法。Fo的第图直接查时间，只能先用第二图确Bi4000.15361.667200 20tm 200.54 (3)解得中心温度tn=353.3

15、C接下来用第一图，Bi -1=0.6 ,中心处的过余温度比353.3 20900 200.3788，查得傅立叶数Fo 1.0FO=3677534860.152 最后解得钢板外表温度到达200 C时所需时间 t =22553 例3.10 一钢锭加热到400 C,浸在100 C的水中冷却。钢锭的密度p =7753 kg/m ,比热容c=486 J/kg，导热系数 入=36 W/(m K)。试求3 min后深度为5 cm处的温度。解水沸腾时对流换热系数很大，假设忽略钢锭外表的对流换热热阻，此题可视为半无限大物体在恒温边界条件下的温度分布问题。相应的温度表达式为t(x,)t。tw(1)-6。热扩散率

16、a=x / pc =36/(7753 X 486)=9.554 X 100.05(x,)A exp(Tc3.140.05 1.54'900-24008403.379(1)50.243.37946.81 =2682.02ef(0.6029)=0.6061t(X，)100 ef(°.°504001002 ； 9.55410 6180最后解得3min后深度为5cm处的温度t= 281.8°C.例3.11假设将一以余弦函数形式的周期性温度变化加在一块很大的钢筋混凝土外表，使其温度由35 C变化到90 C的一个完整循环需要15 min。钢筋混凝土的密度p =2400 kg/m3,比热容c=840 J/kg，导热系数 入=1.54 W/(m K) 试求温度波动2小时后，距外表 5cm处的温度。解此题可视为半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度分布问题。根据条 件，温度波动幅度A=(90-35)/2=27.5C温度波动周期T=60X 15=900 s相应的温度表达式为温度波动