第18讲　直角三角形与三角函数（可编辑）ppt课件

1、栏目索引第第1818讲讲 直角三角形与三角函数直角三角形与三角函数;栏目索引总纲目录泰安考情分析泰安考情分析根底知识过关根底知识过关泰安考点聚焦泰安考点聚焦总纲目录总纲目录随堂稳定练习随堂稳定练习;栏目索引泰安考情分析泰安考情分析;栏目索引基础知识过关根底知识过关知识点一知识点一 直角三角形的性质和断定直角三角形的性质和断定知识点二知识点二 锐角三角函数锐角三角函数知识点三知识点三 解直角三角形解直角三角形知识点四知识点四 解直角三角形的实践运用解直角三角形的实践运用;栏目索引基础知识过关知识点一知识点一 直角三角形的性质和断定直角三角形的性质和断定1.1.直角三角形的性质直角三角形的性质(1

2、)(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角 互余互余 . .(2)(2)在直角三角形中在直角三角形中,30,30的角所对的直角边等于斜边的的角所对的直角边等于斜边的 一一半半 . .(3)(3)勾股定理勾股定理: :直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边斜边的平的平方方 . .(4)(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半一半 . .;栏目索引基础知识过关2.2.直角三角形的断定直角三角形的断定(1)(1)有两个锐角有两个锐角 互余互余 的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形. .(2)(2)假设三角形的两直角边长为假

3、设三角形的两直角边长为a,b,a,b,斜边长为斜边长为c,c,且满足且满足 a2+b a2+b2=c2 ,2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .温馨提示温馨提示 (1) (1)勾股定实际述的是直角三角形中三边之间的数量勾股定实际述的是直角三角形中三边之间的数量关系关系, ,即在直角三角形中即在直角三角形中, ,知两边长度可以运用勾股定理求第三知两边长度可以运用勾股定理求第三边的长度边的长度;(2);(2)勾股定理逆定理的作用勾股定理逆定理的作用: :可以判别一个三角形是不可以判别一个三角形是不是直角三角形是直角三角形; ;证明两条线段垂直证明两条线段垂直. .;

4、栏目索引基础知识过关知识点二知识点二 锐角三角函数锐角三角函数1.1.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,A、BB、CC的对边分别的对边分别为为a a、b b、c,c,那么那么AA的正弦的正弦sin A=sin A= = ,A,A的余弦的余弦cosA= cosA= = = ,A,A的正切的正切tan A= tan A= = = . .A 的对边斜边acA 的邻边斜边bcAA的对边的邻边ab;栏目索引基础知识过关温馨提示温馨提示 (1)sin A (1)sin A、cos Acos A、tan Atan A表示的是一个整体表示的

5、是一个整体, ,是指两是指两条线段的比条线段的比, ,没有单位没有单位. .(2)(2)锐角三角函数的大小仅与角的大小有关锐角三角函数的大小仅与角的大小有关, ,与该角所处的直角三与该角所处的直角三角形的大小无关角形的大小无关. .;栏目索引基础知识过关2.2.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值三角函数 304560sin cos tan 1122232322212333;栏目索引基础知识过关温馨提示温馨提示 30 30、4545、6060角的正弦值的分母都是角的正弦值的分母都是2,2,分子分分子分别是别是1 1、, ,由此可知由此可知, ,随着角随着角的度数的增大的度数的增大, ,正弦值逐

6、渐增正弦值逐渐增大大; ;同理可得同理可得, ,随着角随着角的度数的增大的度数的增大, ,余弦值逐渐减小余弦值逐渐减小. .3.3.三角函数之间的关系三角函数之间的关系(1)(1)同角三角函数之间的关系同角三角函数之间的关系:sin2+cos2=1,tan =:sin2+cos2=1,tan =. .(2)(2)互余两角的三角函数之间的关系互余两角的三角函数之间的关系: :假设假设A +B=90A +B=90, ,那么那么sin sin A =cosB,sin B=cos A.A =cosB,sin B=cos A.sincos23;栏目索引基础知识过关知识点三知识点三 解直角三角形解直角三角

7、形1.1.解直角三角形的定义解直角三角形的定义: :由直角三角形中除直角外的知元素由直角三角形中除直角外的知元素, ,求求出一切未知元素的过程出一切未知元素的过程, ,叫做解直角三角形叫做解直角三角形. .;栏目索引基础知识过关2.2.直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,A、BB、CC的对边分别为的对边分别为a a、b b、c.c.(1)(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2+b2=c2;:a2+b2=c2;(2)(2)两个锐角之间的关系两个锐角之间的关系:A+B=:A+B= 90 90 ; ;(3)(3)边角之间的关系边角之间的关系

8、: :sin A=sin A=,cos A=,cos A=,tan A=,tan A=, ,sin B=sin B=,cos B=,cos B=,tan B=,tan B=. .温馨提示温馨提示 解直角三角形的思绪可概括为解直角三角形的思绪可概括为“有斜有斜( (斜边斜边) )用弦用弦( (正正弦、余弦弦、余弦) )、无斜用切、无斜用切( (正切正切) )、宁乘勿除、取原避中、宁乘勿除、取原避中. .acbcabbcacba;栏目索引基础知识过关知识点四知识点四 解直角三角形的实践运用解直角三角形的实践运用1.1.解直角三角形运用中常见的术语解直角三角形运用中常见的术语;栏目索引基础知识过关仰

9、角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方所形成的角叫仰角,视线在水平线下方所形成的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线所成的锐角叫坡角,i=tan =方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向,其与旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)通常表达成北(南)偏东(西)度,如图,A点位于O点的北偏东30方向,B点位于O点的南偏东60方向,C点位于O点的北偏西45方向(或西北方向)hl;栏目索引基础知识过关2.2.解直角三角形在实践问题中运用的普通步骤解直角三角形在实践问题中运用的普通步骤(1)(1)将实

10、践问题笼统为数学问题将实践问题笼统为数学问题( (画出平面图形画出平面图形, ,转化为解直角三转化为解直角三角形的问题角形的问题););(2)(2)根据条件的特点根据条件的特点, ,适中选用锐角三角函数解直角三角形适中选用锐角三角函数解直角三角形. .;栏目索引泰安考点聚焦泰安考点聚焦考点一考点一 直角三角形的性质和断定直角三角形的性质和断定考点二考点二 锐角三角函数锐角三角函数考点三考点三 解直角三角形解直角三角形;栏目索引泰安考点聚焦考点一考点一 直角三角形的性质和断定直角三角形的性质和断定例例1 1如图如图, ,在直角在直角O O的内部有一滑动杆的内部有一滑动杆AB,AB,当端点当端点A

11、 A沿直线沿直线AOAO向向下滑动时下滑动时, ,端点端点B B会随之自动地沿直线会随之自动地沿直线OBOB向左滑动向左滑动, ,假设滑动杆假设滑动杆从从图中图中ABAB处滑动到处滑动到ABAB处处, ,那么滑动杆的中点那么滑动杆的中点C C所经过的途径是所经过的途径是( B )( B )A.A.直线的一部分直线的一部分 B.B.圆的一部分圆的一部分C.C.双曲线的一部分双曲线的一部分 D.D.抛物线的一部分抛物线的一部分;栏目索引泰安考点聚焦解析衔接解析衔接OCOC、OC,OC,如图如图, ,AOB=90AOB=90,C,C为为ABAB中点中点, ,OC=OC=AB=AB=AB=OC,AB=

12、OC,当端点当端点A A沿直线沿直线AOAO向下滑动时向下滑动时,AB,AB的中点的中点C C到到O O的间隔一直为的间隔一直为定长定长, ,滑动杆的中点滑动杆的中点C C所经过的途径是一段圆弧所经过的途径是一段圆弧. .应选应选B.B.1212;栏目索引泰安考点聚焦考点二考点二 锐角三角函数锐角三角函数例例2 2如图如图, ,在在ABCABC中中,C=90,C=90,AB=5,BC=3,AB=5,BC=3,那么那么cos Acos A的值的值是是( D )( D )A.A. B.B. C.C. D.D. 34433545;栏目索引泰安考点聚焦解析根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可解析根据锐

13、角的余弦等于邻边比斜边求解即可, ,AB=5,BC=3,AC=4,cos A= AB=5,BC=3,AC=4,cos A= = = . .应选应选D.D.ACAB45;栏目索引泰安考点聚焦变式变式2-12-1在在ABC ABC 中中, ,假设角假设角A,BA,B满足满足 +(1-tan B)2= 0,+(1-tan B)2= 0,那么那么C C 的大小是的大小是( D )( D )A.45A.45B.60B.60 C.75C.75D.105D.1053cos2A;栏目索引泰安考点聚焦解析由题意得解析由题意得,cos A=,cos A=,tan B=1,tan B=1,那么那么A=30A=30,

14、B=45,B=45, ,那么那么C=180C=180-30-30-45-45=105=105. .应选应选D.D.32;栏目索引泰安考点聚焦考点三考点三 解直角三角形解直角三角形例例3 3 (2021(2021泰安泰安) )如图如图, ,轮船沿正南方向以轮船沿正南方向以3030海里海里/ /时的速度时的速度匀速匀速航行航行, ,在在M M处观测到灯塔处观测到灯塔P P在西偏南在西偏南6868方向上方向上, ,航行航行2 2小时后到小时后到达达N N处处, ,观测灯塔观测灯塔P P在西偏南在西偏南4646方向上方向上, ,假设该船继续向南航行至假设该船继续向南航行至离灯塔离灯塔最近位置最近位置,

15、 ,那么此时轮船离灯塔的间隔约为那么此时轮船离灯塔的间隔约为( (由科学计算器得由科学计算器得到到sin 6sin 68 80.927 2,sin 460.927 2,sin 460.719 3,sin 220.719 3,sin 220.374 6,sin 0.374 6,sin 44440.694 7)0.694 7)( B )( B )A.22.48A.22.48海里海里 B.41.68B.41.68海里海里C.43.16C.43.16海里海里 D.55.63D.55.63海里海里;栏目索引泰安考点聚焦解析过点解析过点P P作作PGMNPGMN于于G.G.依题意可知依题意可知MN=60M

16、N=60海里海里,PMN=22,PMN=22,PNG=44,PNG=44. .MPN=PMN,MPN=PMN,NP=MN=60NP=MN=60海里海里. .在在RtRtPNGPNG中中,sinPNG= ,sinPNG= , ,PG=PNsinPNG=PNsin 44PG=PNsinPNG=PNsin 4460600.694 741.68(0.694 741.68(海里海里).).此时轮船离灯塔的间隔约为此时轮船离灯塔的间隔约为41.6841.68海里海里, ,应选应选B.B.PGPN;栏目索引泰安考点聚焦变式变式3-13-1如图如图, ,轮船从轮船从B B处以每小时处以每小时6060海里的速度

17、沿南偏东海里的速度沿南偏东2020方向匀速航行方向匀速航行, ,在在B B处观测灯塔处观测灯塔A A位于南偏东位于南偏东5050方向上方向上, ,轮船航行轮船航行4040分钟到达分钟到达C C处处, ,在在C C处观测灯塔处观测灯塔A A位于北偏东位于北偏东1010方向上方向上, ,那么那么C C处处与与灯塔灯塔A A的间隔是的间隔是( D )( D )A.20A.20海里海里 B.40 B.40海里海里C.C.海里海里 D. D.海里海里20 3340 33;栏目索引泰安考点聚焦解析如图解析如图, ,作作AMBCAMBC于于M.M.由题意得由题意得,DBC=20,DBC=20,DBA=50,

18、DBA=50,BC=60,BC=60=40=40海里海里,NCA=10,NCA=10, ,那么那么ABC=DBA-DBC=50ABC=DBA-DBC=50-20-20=30=30. .BDCN,BCN=DBC=20BDCN,BCN=DBC=20, ,ACB=ACN+BCN=10ACB=ACN+BCN=10+20+20=30=30, ,ACB=ABC=30ACB=ABC=30, ,AB=AC,AB=AC,4060;栏目索引泰安考点聚焦AMBC于M,CM=BC=20海里.在RtACM中,AMC=90,ACM=30,AC= = (海里).应选D.12cosCMACM203240 33;栏目索引泰安考

19、点聚焦温馨提示温馨提示 根据例题和变式训练可以发现根据例题和变式训练可以发现, ,普通解直角三角形类普通解直角三角形类标题的处置标题的处置, ,可以看做是可以看做是“割补思想的拓展割补思想的拓展, ,即把原图形经过即把原图形经过“割补割补, ,处置成有处置成有“公共边的两个直角三角形公共边的两个直角三角形, ,详细标题中详细标题中, ,再根据公共边的再根据公共边的“知或知或“未知决议进展直接运算或者设未知决议进展直接运算或者设未知数未知数x.x.;栏目索引随堂巩固训练一、选择题1.(2021浙江温州)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米,知cos = ,那么小车上升的高度是( A )A

20、.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米1213随堂稳定训练;栏目索引随堂巩固训练2.如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E,DE=1,那么BC=( C )A. B.2 C.3 D.+233;栏目索引随堂巩固训练3.(2021泰安)如图,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是M上的恣意一点,PAPB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,假设点A、点B关于原点O对称,那么AB的最小值为( C )A.3 B.4 C.6 D.8;栏目索引随堂巩固训练二、填空题二、填空题4.(20214.(2021泰安泰安) )如图如图, ,在矩形在矩形ABCDA

21、BCD中中,AB=6,BC=10,AB=6,BC=10,将矩形将矩形ABCDABCD沿沿BEBE折叠折叠, ,点点A A落在落在AA处处, ,假设假设EAEA的延伸线恰好过点的延伸线恰好过点C,C,那么那么sinABEsinABE的值的值为为 . .1010;栏目索引随堂巩固训练解析由折叠知解析由折叠知AB=AB=6,AB=AB=6,在在RtRtABCABC中中, ,根据勾股定理得根据勾股定理得AAC=8,C=8,设设AE=x,AE=x,那么那么AE=x,AE=x,在在RtRtDECDEC中中,DE2+DC2=EC2,DE2+DC2=EC2,即即(10-x)2+6(10-x)2+62=(82=(8+x)2,+x)2,解得解得x=2,x=2,即即AEAE的长为的长为2.2.在在RtRtAEBAEB中中, ,求得求得sinABE=