2021版高考文科数学一轮复习第二章第2讲第3课时函数性质的综合问题

1、第3课时函数性质的综合问题明考向，a击考例考法总聚度前洞考点函数的奇偶性与单调性(师生共研)例n 已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对任意xi, X2C (0, 十°°),都有(xi X2)f(xi)f(X2)<0.设 a= ln；, b = (ln 3)2, c= lny3,则()3B. f(b)>f(a)>f(c)A. f(a)>f(b)>f(c)C. f(c)>f(a)>f(b)D. f(c)>f(b)>f(a)【解析】由题意易知f(x)在(0, + 8)上是减函数，又因为 |a|=ln 3>1 , b=(

2、ln 3)2>|a|, 0<c=ln23<|a|, 所以 f(c)>f(|a|)>f(b).又由题意知f(a) = f(|a|),所以 f(c)>f(a)>f(b).故选 C.函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同 的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(xi)>f(x2)或f(xi)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影

3、响.已知定义域为(一1, 1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a3)+f(9 a2)<0,则实数a的取值范围是B. (3, Vi0)D. (-2, 3)A. (2颇，3)C. (22, 4)解析：选 A.由 f(a3)+f(9a2)<0 得 f(a3)< f(9a2).又由奇函数性质得 f(a3)<f(a2-1<a- 3<1,-9).因为f(x)是定义域为(一1, 1)的减函数，所以 一1<a29<1,解得272<a<3.a 3>a2 9，考点口函数的奇偶性与周期性(典例迁移)例旦(一题多解)(2020河南调研考试)已知f(x)

4、是定义域为R的奇函数，且函数 y=f(x51)为偶函数，当 0WxWl 时，f(x)=x3,则 f 2 =.【解析】 法一：因为f(x)是R上的奇函数，y=f(x 1)为偶函数，所以f(x1) = f(x-1) = - f(x+1),所以 f(x+2) = -f(x), f(x+ 4)=f(x),即 f(x)的周期 T= 4,因为 0WxW1 时,355 ,33f(x) = x3,所以 f 2 = f 2-4 = f 2 = - f -法二：因为f(x)是R上的奇函数，y=f(x1)为偶函数，所以f(x 1)= f(x1) = f(x+ 1),所以 f(x+2)= f(x),由题意知，当一1W

5、x<0 时，f(x) = x3,故当一1WxW 1 时，f(x)= x3,当 1<xW3 时，一1<x2W1, f(x)=(x 2)3,所以 f5= 12 =-1. 228【迁移探究】(变条件)本例变为：已知f(x)是定义域为 R的偶函数，且函数y=f(x +51)为奇函数，当0Wx<1时，f(x)=x2,则f 2 =解析：因为f(x)是R上的偶函数，y=f(x+ 1)为奇函数，所以 f(x+ 1)=- f(-x+1) = -f(x-1),所以 f(x+ 2)=- f(x), f(x+4) = f(x),即 f(x)的周期 T=4,因为 0Wx<1 时，f(x)=

6、x2,所, 3,11=f 2 =f 1+2 =- f 214.周期性与奇偶性结合,此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换， 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.电邙(2020广东六校第一次联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2x)及1,、f(x) = f( x),且在0 , 1上有 f(x) = x2,则 f 2 0192=()A.4B.；D.C.解析：选D.函数f(x)的定义域是 R, f(x)= - f(-x),所以函数f(x)是奇函数.又f(x) = f(2x),所以 f(-x) = f(2 + x) = -f(x),所以 f(4+x)= f(2

7、 + x) = f(x),故函数 f(x)是以 4 为周期1-1 一 1 一 1的奇函数，所以 f 2 0192= f2 020-2= f - 2=-f 2.1 1 2 1因为在0, 1上有f(x) = x2,所以f 2 = 2 =4,11故 f 2 0192 =- 4,故选 D.老占O函数的综合性应用(师生共研)例区(1)(2020石家庄市模拟(一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)=f(2 x),当 xC0, 1时，f(x)=4x1,则在(1, 3)上，f(x)< 1 的解集是()3 5B3 2D. 2, 3)C. |，3(2)(2020陕西榆林一中模拟)已知偶函数f(

8、x)满足f(x) + f(2 x)=0,现给出下列命题： 函数f(x)是以2为周期的周期函数；函数 f(x)是以4为周期的周期函数；函数 f(x 1)为 奇函数；函数f(x3)为偶函数，其中真命题的个数是 ()A. 1B. 2C. 3D. 4(1)因为 0WxW1 时，f(x) = 4x-1,所以f(x)在区间0, 1上是增函数，又函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间1, 1上是增函数，因为f(x) = f(2 x),所以函数f(x)1 一 3的图象关于直线x= 1对称，所以函数f(x)在区间(1, 3)上是减函数，又f 2 = 1,所以f 2 =.31,所以在区间(1, 3)上不等式

9、f(x)< 1的解集为2, 3 ,故选C.(2)偶函数 f(x)满足 f(x)+f(2-x)=0,所以 f(-x)=f(x) = -f(2-x), f(x+2)=f(x),f(x + 4) = -f(x+ 2)=f(x),可得f(x)的最小正周期为4,故错误，正确;由 f(x+ 2)=f(x),可得 f(x+ 1) = - f(x-1).又 f( x 1)=f(x+1),所以 f(-x- 1)=-f(x-1),故 f(x1)为奇函数，正确;若 f(x 3)为偶函数，则 f(x3) = f(x 3),又 f( x 3)=f(x+3),所以f(x+ 3)=f(x-3),即f(x+6) = f

10、(x),可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故错误，故选B.(2)B求解函数的综合性应用的策略函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一.特别注意“奇函数若在 x=0处有定义, 则一定有f(0) = 0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区 间，再利用奇偶性和单调性求解.1 .函数f(x)是定义在R上的偶函数，且则 f(x)()A.在区间2, 1上是增函数，在区间B.在区间2, 1上是增函数，在区间C.在区间2, 1上是减函数，在区间D.在区间-2, 1上是减函数，在区间f(x)=f(2-x)

11、.若f(x)在区间1 , 2上是减函数,3, 4上是增函数3, 4上是减函数3, 4上是增函数3, 4上是减函数解析：选B.由f(x) = f(2 x)得f(x)的图象关于直线 x= 1对称.又f(x)是偶函数，故函数 f(x)的周期是2, f(x)在区间2, 1上是增函数，在区间3, 4上是减函数.2. (2020甘肃甘谷一中第一次质检)已知定义在R上的函数f(x)满足条件：对任意的 xCR,都有 f(x+4) = f(x);对任意的 x1, x2C0, 2且 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2)；函数 f(x + 2)的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是 ()A. f(7

12、)<f(6.5)<f(4.5)B. f<f(4.5)<f(6.5)C. f(4.5)<f(7)<f(6.5)D. f(4.5)<f(6.5)<f(7)解析：选C.因为对任意的xC R,都有f(x+4) = f(x),所以函数是以4为周期的周期函因为函数f(x + 2)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于x=2对称，因为 x1, x2 0 , 2且 x1 <x2 ,都有 f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在0, 2上为增函数，所以函数f(x)在2, 4上为减函数.易知 f(7) = f(3) , f(6.5) = f(2

13、.5) , f(4.5) = f(0.5) = f(3.5),则 f(3.5)<f(3)<f(2.5),即 f(4.5)<f(7)<f(6.5).齿功素养,助砥培优核心素养系列4数学抽象活用函数性质中“三个二级”结论函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.一、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间 D上的奇函数，则对任意的xC D,都有f(x)+f( x) = 0.特别 地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f

14、(x)min = 0,且若0CD,则f(0)=0.(x+ 1) 2+ sin x例H 设函数f(x) =2;的取大值为 M,取小值为 m,则M+m=.x 1【解析】函数f(x)的定义域为 R,f(x) =(x+1) 2+sin xx2+ 12x+sin xx2+ 12x+ sin x设 g(x) = -2,则 g(x) = g(x),x2+ 1所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max+ g(x) min = 0 ,所以 M + m=g(x)+ 1max+g(x)+1min = 2 + g(x)max+ g(x)min = 2.【答案】2二、抽象函数的周期性(1)如果f(x+a

15、) = f(x)(aw0),那么f(x)是周期函数，其中的一个周期 T=2a.,-1(2)如果f(x+a) = 7T(aw0),那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.f(3)如果f(x+a) + f(x)=c(aw0),那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T= 2a.例2 已知定义在 R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+ 4)=-f(x)+2V2,若函数f(x1)的图象关于直线 x= 1对称，f(1)=2,则f(17)=.【解析】由函数y=f(x1)的图象关于直线x= 1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴 对称，故f(x)为偶函数.由 f(x+ 4)=- f(x)+272,

16、得 f(x+ 4+4)=f(x+4) + 2j2 = f(x),所以 f(x)是最小正周期为 8 的偶函数,所以 f(17) = f(1 + 2X8)=f(1) = 2.【答案】2三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.a+ b ,(1)若f(a + x)=f(b x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线 x= 2对称，特另J地，右f(a+ x) = f(a x)恒成立，则y= f(x)的图象关于直线 x= a对称.(2)若函数 y=f(x)满足 f(a+x) + f(a x) = 0,即 f(x)= f(2a x),则 f(x)的图象关于点(a, 0)对称.例叵(2020黑龙

17、江牡丹江一中期末)设f(x)是(一8, +oo )上的奇函数，且 f(x+2) = f(x),下面关于f(x)的判定，其中正确命题的个数为() f(4) = 0;f(x)是以4为周期的函数；f(x)的图象关于x=1对称；f(x)的图象关于x = 2对称.A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】因为f(x)是(一8,十8)上的奇函数，所以f(x)= f(x), f(0) = 0,因为 f(x+ 2)=- f(x),所以 f(x+4) = f(x+2) = f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数，f(4) = f(0) = 0,因为 f(x+ 2)=f(x),所以 f(x+1)+1 = f(-

18、x),令 t=x+1,则 f(t+1)=f(1t),所以 f(x+ 1) = f(1 -x),所以f(x)的图象关于x= 1对称，而f(2+ x)= f(2 x)显然不成立.故正确的命题是，故选C.【答案】 C1 .对于函数f(x) = asin x+bx+c(其中a, bC R, cCZ),选取a, b, c的一组值计算 f(1)和f(1),所得出的正确结果一定不可能是()8. 3 和 1C. 2 和 4D. 1 和 2解析：选D.设g(x)=asin x+bx,则f(x)= g(x) + c,且函数g(x)为奇函数.注意到 cC Z,所以f(1) + f(1)=2c为偶数.故选 D.2,若

19、偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x>0),则f(x2)>0的条件为 .解析：由f(x)=x38(x0),知f(x)在0, +oo)上是增加的，且f(2)=0.所以，由已知条件可知 f(x 2)>0? f(|x-2|)>f(2).所以 |x2|>2,解得 x<0 或 x>4.答案：x|x<0 或 x>43fc蚯h题朵破百分版葡.基础题组练1.已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x+4) = f(x),当 xC (0, 2)时，f(x)=2x2,则 f(2 019)=()A. 2B. 2C. - 98D. 98解析：选 A.由

20、f(x+4)=f(x)知，f(x)是周期为 4 的周期函数，f(2 019)=f(504X4+3)=f(3)= f(-1).由 f(1)=2X 12=2 得 f(1) = f(1) = 2,所以 f(2 019) = 2.故选 A.2.已知偶函数f(x)在区间0, +8)上是增加的，则满足f(2x-1)<f 1的x的取值范围3是()1 2A. 3? 31 2BY'D. 2,解析：选A.因为f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称,1又 f(x)在0, +8)上是增加的，f(2x- 1)<f -,3所以 |2x1|<3,所以 1Vx<2.3333.若f(x)是定义

21、在( 8, +°° )上的偶函数，对任意的x1 , x2 0 , +8)(x1Wx2),有f (x2) f (x1)x2 x1A. f(3)<f(1)<f(2)B. f(1)<f(2)<f(3)C. f(2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f( 2)<f(1)f (x2) f ( x1)解析：选D.因为对任意的 x1，x2 0 , +8)(x#x2),有<0,所以当x> 0x2 x1时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(8, +8)上的偶函数，所以f(3)<f(2)<f(1),即 f(3)

22、<f(2)<f(1).4. (2020江西景德镇二模)已知函数f(x)是偶函数，定义域为R,增区间为0, +8),且 f(1)= 0,则(x- 1)f(x- 1)< 0 的解集为()A. -2, 0B, -1, 1C.(巴 0 U 1 , 2D.(巴 1U0, 1解析：选C.由题意可知，函数f(x)在(8, 0上是减少的，且f(1)=0,令 x1 = t，则 tf(t)W0,当 t>0 时，f(t)W0,解得 0WtW1;当 t<0 时，f(t)>0,解得 tw-1,所以 0Wx1W1 或 x1w 1,所以 x< 0 或 1w xw 2.故选 C.5.

23、 (2020河南洛阳一模)函数y=f(x)在0, 2上是增加的，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是()57A. f(1)<f 2 <f 2512f<7一2fo<甲 < 7- 25- 257D. f 2 <f<f 2解析：选C.函数f(x+2)是偶函数，则其图像关于y轴对称，所以函数y=f(x)的图像关537113于x=2对称，则f 2=f 2，f 2=f 2，函数y = f(x)在0,2上是增加的，则有f 2<f(1)<f 2，75所以 f 2 <f(1)<f 2 .故选 C.6 .偶函数y=f(x)的图象关于直线

24、x=2对称，f(3)=3,则f(-1) =解析：因为f(x)为偶函数，所以f(1)=f(1).又f(x)的图象关于直线 x= 2对称，所以 f(1) = f(3).所以 f( 1)=3.答案：37 .设奇函数f(x)在(0, +8)上为增函数，且 f(1)=0,则不等式f(X)JX)<0的 x解集为.解析：因为f(x)为奇函数，且在(0, +8)上是增函数，f(1) = 0,所以f(-1)=-f(1)=0,且在(8, 0)上也是增函数.口、f (x) - f ( - x)f (x)xx 'x>0,x<0,即或f (x) <0 f (x) >0,解得 x (

25、-1 , 0)U (0, 1).答案：(1, 0)U(0, 1),一， x2+x+ 1H 、2 一 、8 .已知函数 f(x)= x2+1 ,右 f(a)=3，则 f(- a) =.x2+x+1x 一x解析：根据题意，f(x)= 1 + ,而h(x) = 是奇函数，故f( a)=1 +x2+1x2+1x2+1h(-a) = 1 -h(a)=2-1 +h(a)= 2-f(a)=2-2= 4. 3 34答案：439 .已知函数 f(x)对任意 xCR 满足 f(x)+f(-x)=0, f(x- 1) = f(x+1),若当 xC0, 1)时,31f(x) = ax+b(a>0 且 aw1),

26、且 f 2 =5.(1)求实数a, b的值；(2)求函数f(x)的值域.解：(1)因为 f(x)+f(-x)=0,所以f( x)= f(x),即f(x)是奇函数.因为 f(x- 1)=f(x+1),所以 f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以 f(0) = 0,即 b=- 1.3.11又 f 2 = f _2 =_f 2 =1_Qa=2，一 1解得a=4.,一V13 c(2)当 xC0, 1)时，f(x)=ax+b= 4 1C 4,。，由f(x)为奇函数知，、一一一一3当 xe( 1, 0)时，f(x)e 0, 4 ,又因为f(x)是周期为2的周期函数，一 .3 3所

27、以当 x C R 时，f(x) £4 .10 . (2020江西赣州五校协作体联考)已知函数f(x)是定义在 R上的偶函数，且当 x<0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.画出函数f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)(xC R)的解析式;(2)若函数 g(x) = f(x)-2ax+2(x 1 , 2),当 a>1 时，求函数 g(x)的最小值.解：(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示.若x>0,则x<0,又函数f(x)是定义在 R上的偶函数，且当x<0时，f(x) = x2 + 2x,所以 f(x) =

28、f(-x)=(-x)2+2X (-x)=x2-2x(x>0),x2+ 2x (x< 0),所以f(x) =x2- 2x (x>0).(2)由(1)知g(x) = x2 2x2ax+2,其图像的对称轴方程为 x=a+1, 当 a>1 时，a+1>2, g(x)=x2-2x- 2ax+ 2 在1 , 2上是减少的，则g(x)在1, 2上的最小值为 g(2) = 2-4a.综合题组练1.已知f(x)是定义在2b, 1 b上的偶函数，且在2b, 0上为增函数，则 f(x 1)wf(2x) 的解集为()A. - 1 , |B. - 1 ,；33C. -1, 1D. 1, 1

29、3解析：选B.因为f(x)是定义在2b, 1 b上的偶函数，所以2b+1 b= 0,所以b= 1,因为f(x)在2b, 0上为增函数，即函数f(x)在2, 0上为增函数，故函数f(x)在(0, 2上为减函数，则由f(x1卢f(2x),可得|x1除|2x|,即(x 1)2>4x2 ,1 2Wx 12, 1WxW3)解得一1WxW；.又因为定义域为 2, 2,所以解得3-2<2x<2,- 1<x<1.综上，所求不等式的解集为1 , 3 .故选B.32 . (2020辽宁沈阳东北育才学校联考(二)函数f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(1)=0,若对任意x，x2C( oo 0),且xwx2,都有x"(x"x2f(x2)<0成立 则不等式x1 x2f(x)<0的解集为()A. ( 8,1)U(1,+8)B.(1, 0) U (0, 1)C.(巴1)U(0,1)D.(-1, 0) U (1 , +8)解析：选 C.令 F(x) = xf(x),因为函数f(x)是定义在 R上的奇函数，所以 F(-x) = - xf(-x)=xf(x)= F(x),所以F(x)是偶函数，因为 f(1)=0,所以 F(1)=0,则 F(1) = 0,x1f ( x1 ) x2f ( x2)因为对任意 x1 , x2C(8, 0),且 xW