行测数学运算解析

1、鸡兔同笼问题“鸡兔同笼”是一类有名的古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解. 因此很有必要学会它的解法和思路.例 1 有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是“金鸡”，一只脚站着；而每只兔子两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只）.在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数 122-88=34，有 34 只兔子.当然鸡就有 54 只.答：有兔子

2、34 只，鸡 54 只.上面的计算，可以归结为下面算式： 总脚数2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2，4 又是 2 的2 倍. 计算，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是 4 和 2，上面的就行不通.因此，我们对这类问题给出一种解法.还说例 1.如果设想 88 只都是兔子，那么就有 488 只脚，比 244 只脚多了 884-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（884-244）（4-2）= 54（只）.说明我们设想的 88 只“兔子”中，有 5

3、4 只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式：鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）当然，我们也可以设想 88 只”，那么共有脚 288=176（只），比 244只脚少了 244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，682=34（只）.说明设想中的“鸡”，有 34 只是兔子，也可以列出公式：兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必另一个数.，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道假设，或者，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅

4、笔共买了 16 支，花了 2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分”作为钱的.我们设想，一种“鸡”有 11 只脚，一种“兔子”有19 只脚，它们共有 16 个头，280 只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有：蓝笔数=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的“脚数”19 与11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中，8 只是“兔子”，8 只是“鸡”，根据这一设想，脚数是 8（11+19）=240.比

5、280 少 40.40（19-11）=5.就知道设想中的 8 只“鸡”5 只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是 3.308 比 1916 或 1116 要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想 16 只中，“兔数”为 10，“鸡数”为 6，就有脚数 1910+116=256.比 280 少 24. 24（19-11）=3，就知道设想 6 只“鸡”，要少 3 只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子.例 3 一份稿件，甲单字需 6 小时完成.乙单字需 10 小时完成，现在甲单若干小，因有事由

6、乙接着打完，共用了 7 小打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成 30 份（30 是 6 和 10 的最小公倍数），甲每小时打甲每小时打 306=5（份），乙每小时打 3010=3（份）.现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是 5，“鸡”的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=（30-37）（5-3）=4.5， “鸡”数=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了 4.5 小时，乙打字用了 2.5 小时.答：甲打字用了 4 小时 30 分.例 4 今年是 1998 年，父母（整数）和是 78 岁，

7、兄弟的和是 17 岁.四的 3 倍.那么年后（2002 年）父的是弟的的 3 倍的 4 倍，母的公元哪一年？是兄的当父的是兄的解：4 年后，两人和都要加 8.此之和是 17+8=25，父母之和是 78+8=86.我们可以把兄的看作“鸡”头数，弟的看作“兔”头数.25是“总头数”.86 是“总脚数”.根据公式，兄的是：（254-86）（4-3）=14（岁）.1998 年，兄14-4=10（岁）.是父是（25-14）4-4=40（岁）.因此，当父的是兄的的 3 倍时，兄的是（40-10）（3-1）=15（岁）. 这是 2003 年.答：公元 2003 年时，父是兄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条

8、腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀.现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8 条腿”与“6 条腿”两种.利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道 6 条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀.再利用一次公式蝉数=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是 13-6=7（只）.答：有 5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉.例 6 某次数学考试考五道题，全班 52 人参

9、加，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 7 人，5 道样多，那么做对 4 道的人数有多少人？的有 6 人，做对 2 道和 3 道的人数一解：对 2 道、3 道、4 道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-17-56=144（道）.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人（2+3）2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.对 4 道题的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）.答：做对 4 道题的有 31 人.习题一1.共有 100 个头，350 只脚.各多少只？

10、2.学校有象棋、跳棋共 26 副，恰好可供 120 个学生同时进行活动.象棋 2 人下一副棋，跳棋 6 人下一副.象棋和跳棋各有几副？3.一些 2 分和 5 分的硬币，共值 2.99 元，其中 2 分硬币个数是 5 分硬币个数的4 倍，问 5 分硬币有多少个？4.领得工资 240 元，有 2 元、5 元、10 元三种，共 50 张，其中 2 元与 5 元的一样多.那么 2 元、5 元、10有多少张？5. 一件工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16 天.甲先做了多少天？6. 摩托车赛全程长 281 千米，全程被

11、划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3 千米）、一段平路（4 千米）、一段下坡路（2 千米）和一段平路（4 千米）组成的；有的是由一段上坡路（3 千米）、一段下坡路（2 千米） 和一段平路（4 千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了 25 段上坡路. 全程中包含这两种阶段各几段？7. 用 1 元钱买 4 分、8 分、1 角的邮票共 15 张，问最多可以买 1 角的邮票多少张？二、“两数之差”的问题鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票，共花 6 元 8 角.已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多40

12、 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出 40 张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的就一样多.（680-840）（8+4）=30（张），这就知道，余下的邮票中，8 分和 4分的各有 30 张.因此 8 分邮票有 40+30=70（张）.答：买了 8 分的邮票 70 张，4 分的邮票 30 张.也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有 20 张 4 分，根据条件“8 分比 4 分多 40 张”，那么应有 60张 8 分.以“分”作为计算，此时邮票总值是 420+860=560.比 680 少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是 40，每增加 1 张 4 分，就要增加

13、1 张 8 分，每种要增加的是：（680-420-860）（4+8）=10（张）.因此 4 分有 20+10=30（张），8 分有 60+10=70（张）.例 8 一项工程，如果全是晴天，15 天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：类似于例 3，我们设工程的全部工作量是 150 份，晴天每天完成 10 份，雨天每天完成 8 份.用上一例题解一的（150-83）（10+8）= 7（天）.，晴天有雨天是 7+3=10 天，总共 7+10=17（天）.答：这项工程 17 天完成.请注意，如果把“雨天比晴天多 3 天”去掉，而换成已知工程是 17 天完成，由此又回到的问题.差是 3，

14、与和是 17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例 7、例 8 与基本问题之间的.总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚28.问鸡与兔各几只？解一：假如再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 282=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 42=2（倍），的只数是兔的只数的 2 倍.兔的只数是：（100+282）（2+1）=38（只）.鸡是：100-38=62（只）.答：鸡 62 只，兔 38 只.当然也可以去掉兔 284=7（只）.兔的只数是（100-284）（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假设一个数的办

15、法.解二：假设有 50 只鸡，就有兔 100-50=50（只）.此时脚数之差是： 450-250=100，比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了（鸡了）.为了保持总数是 100，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6 只（千万注意，不是 2）.因此要减少的兔数是：（100-28）（4+2）=12（只）. 兔只数是：50-12=38（只）.另外，还下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了20 个字.

16、问两种诗各多少首.解一：如果去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差1354+20=280（字）.每首字数相差：74-54=8（字）.因此，七言绝句有：28（28-20）=35（首）. 五言绝句有：35+13=48（首）.答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首.解二：假设五言绝句是 23 首，那么根据相差 13 首，七言绝句是 10 首.字数分别是 2023=460（字），2810=280（字），五言绝句的字数，反而多了： 460-280=180（字）.与题目中“少 20 字”相差：180+20=200（字）.说明假设诗的首了.为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增

17、一首七言绝句，而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者，对于例 7、例9 和例 10 三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.例 7，假设都是 8 分邮票，4 分邮票是（680-840）（8+4）=30（张）.例 9，假设都是兔，鸡的只数是（1004-28）（4+2）=62（只）.例 10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（2013+20）（28-20）=35（首）.首先

18、，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例 11有一辆货车2000 只瓶，运费按到达时完瓶子数目计算，每只 2 角，破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是 400 元.但破损一只要减少 1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）.答：这次搬运中破损了 17 只瓶.请你想，这

19、是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？例 12 有两次自然测验，第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错（包含不答）1题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对 1 题 8 分，答错或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验 24 题，得 524=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是：86-2（15-6）=30（分）. 两次相差：120-30=90（分）.比题目中条件相差 10 分，多了 80 分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，5+1

20、=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分，还可得 8 分，因此增加 8+2=10 分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）（6+10）=5（题）.因此，第一次答对题数要比假设（19 题，第二次答对：30-19=11（题）.）减少 5 题，也就是第一次答对第一次得分：519-1（24- 9）=90.第二次得分：811-2（15-11）=80. 答：第一次得 90 分，第二次得 80 分.解二：答对 30 题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去 5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去 8+2=10（分）.答错题互换一下，

21、两次得分要相差 6+10=16（分）.如果答错 9 题都是第一次，要从满分中扣去 69.但两次满分都是 120 分. 比题目中条件“第一次得分多 10 分”，要少了 69+10.因此，第二次答错题数是：（69+10）（6+10）=4（题）第一次答错第一次得分第二次得分9-4=5（题）.5（24-5）-15=90（分）.8（15-4）-24=80（分）.习题二1.买语文书 30 本， 元.每本语文书和24 本共花 83.4 元.每本语文书比每本的价格各是多少？贵 0.442.甲茶叶每千克 132 元，乙茶叶每千克 96 元，共买这两种茶叶 12 千克.甲茶叶所花的茶叶所花钱少 354 元.问每种

22、茶叶各买多少千克？3. 一辆卡车运矿石，晴天每天可运 16 次，雨天每天只能运 11 次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天.其中雨天比晴天多 3 天，但运的次数却比晴天运的次27 次.问一连运了多少天？4. 某次数学测验共 20 道题，做对一题得 5 分，做错一题倒扣 1 分，不做得 0 分.得了 76 分.问做对了几道题？5.甲、射击，若命中，甲得 4 分，5 分；若不中，甲失 2 分，3分.每人各射 10 发，共命中 14 发.结算分数几发？比10 分.问甲、6.甲、地相距 12 千米.小张从甲地到乙地，在停留后，又从乙地返回甲地，小乙地到甲地，在甲地停留 40 分钟后，又从甲地返回乙地.

23、已知两人同时分别从甲、地出发，经过 4 小，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走 1.5 千米，求两人的速度.巧算和与差一天，小明对一些小朋友说：“请你们随意说出 2 个数来，我会一下子算出它们的和减去它们的差的结果来！”“真的吗？”惊奇地问。“那当然，请出题吧！”小明自信地说。于是，写出了两道题：（348256）（348256）（75643125）（75643125）刚写完第 2 题，小明就立刻说出两题的得数分别是 512、6250。得的结果跟小明的一样。起算，小兰想弄明白小明计算的奥秘，又说出下面 4 组数：47 和 23，400 和 278，120与 80，16840

24、与 3020。结果小明总是很快就说出了这时，小明问小兰：“你找出规律了吗？”。“还没找到。不过，我觉得关键在两数中的较上。”小兰回答。“对！你再研究一下得数跟较的就会明白！”兴奋地说。“我知道了，得数是较的 2 倍！”小明给大家解释：当我们从两个数的和中减去这两个数的差时，就是从两个数的和中减去了较大数比较多的一部分，得到的结果是两个较的和，也就是较的 2 倍。”三只船运货西方传入我国学校里的第一本算术教科书是本书中有这样一道题：人编的笔算数学，这甲三艘船共运货 9400 箱，甲船比运 300 箱，丙船比0 箱。求三艘船各运多少箱货？这道题如果思路不对的话，就很难抓住解题的关键。事实上，它代表

25、着一类广泛的问题，其共同特点就是有两个或两个以上的未知量。思考时先假设几个未知量相等，或要求的一未知量是题里的某一已知量；然后按照题里的已知条件推算。所得结果常与题里对应的已知量不符，再加以调整，即可得到正确的。因此，这道题就可以这样来思考：根据已知甲船比运30O 箱，假设甲船同运的一样多，那么甲船就要比原来少运 300 箱，结果三船运的总箱数就要减少 300 箱，变成（9400300）箱。又根据丙船比0 箱，假设丙船也同运的一样多，那么丙船就要比原来多箱。0 箱，结果三船总箱数就要增加 200 箱，变成（9400300200）经过这样调整，三船运的总箱数为（9400300200）。根据假设可

26、知，这所运箱数的 3 倍，从而可求出动船运的箱数。正好是运的箱，甲、丙两船运的箱数马上就可得到。微软招聘员工试题1. 有 7 克、2 克砝码各一个，天平一架，如何只用这些物品三次将 140 克的盐分成 50 克、90 克各一份？砝码称重是常见的数学问题。要使称的次数最少需要讲究考按下述步骤操作：（1） 把 2 克重的砝 放在天平左端，分盐技巧。经过思两端直到平衡，此时，左端有盐 69 克，右端有盐 71 克。（2） 取下天平左端的 2 克砝码换上 7 克重的砝码， 端重（69+7）76 克，右端仍重 71 克，从左端取出 5 克盐后， 天平两端平衡，这时左端 余 64 克盐。 在取下天平两端物

27、品。（3） 用刚才称出的 5 克盐当作砝码，与 2 克、7 克砝码14 克砝码。从 64 克盐 取出 14 克，恰好剩下 50 克盐。则其余盐的重量就是 90 克。2. 有两个房间，其中一间房里有三盏灯，另一间房里有这三盏灯的开；三盏灯与三个关。这两间房是相对开关也没有顺序上的必然、相对封闭的，没有空 上的直接。现在只的你分别进入这两个房间一次，然后判断三盏灯分别是由哪个开关对于这个问题，我们虑的可能是灯与线之间怎样连结及如何开关等，这样就步入了解题的歧途。利用灯亮的发热特性操作如下：（1） 先走进有开关的房间，将三个开关编号为 A、B、C。（2） 将开关 A 打开数分钟后关闭，再打开 B。（

28、3） 立即进入有灯的房间，此时亮着的灯则由开关 B。用手摸另外两盏灯：发热的由开关 A，不热的由开关 C。3. U2 合唱团赶往演唱会场，途中必需经过一座桥，天色很暗，而他们只有一只手电筒。一次 时最多 以有两人一起过桥，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，来回的两端。手电筒是不能用丢的方式来传递的。四个人的步行速度各不同，若两人则以较慢者的速度为准。Bono需花 1 分钟过桥，Edge 需花 2 分钟过桥，Adam 需花 5 分钟过桥，Larry 需花 10分钟过桥，他们如何在 17过桥？此题属于策略优化问题。从题中我们知道，两人的过桥时间应该尽量接近，且来回传递电筒者

29、应尽量选用速度快的人。根据以上分析，作如下安排：（1）Bono 和 Edge 两人先行过桥后，Bono 带手电 回，共用时 3 分钟。 2） Adam 和Larry 两人同时过桥，Edge 带手电返回。共用时 12 分钟。（3） Bono 和 Edge 两人再次过桥，用时 2 分钟。至此，四人全部过桥，一共用时 3+12+2=17（分钟）。4. 有一列火车以每小时 140 千米的速度离开洛杉矶直奔纽约，同时，另一列火车以每小时 160 千米的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟以每小时 30 千米的速度和两列 车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一列车后返回，往返在两列火车间，直到两列火车相遇为止。

30、已知洛杉矶到纽约的铁请问，这只小鸟飞行了多远路程？4500 千米，小鸟在两列火车之间往返飞行，思维也很容易随着跑起来。如果我们试图算出那些越来越短的路程，问题就会十分复杂。其实大可不必，因为这只直在两列火车间一刻不停地飞，所以，火车的相遇时间就是小鸟的飞行时间。这样，小鸟的飞行路程为：304500（140+160）=450（千米）。5. 对一批编号为 1-100，全部开关朝上（开）的灯进行以下操作：凡是 1 的倍数反方向拨一次开关；2 的倍数 方向又拨一次开关；3 的倍数反方向又拨一次开关问：最后为关熄状态的灯的编 是哪些？若实际操作求解会相当繁琐。我们知道，就某个亮着的灯而言，如果拨其开关的

31、次数是奇数次，那么，结果它一定是关着的。根据题意可知，号码为 N 的灯， 拨开关的次数等于 N 的约数的个数，约数个数是奇数，则 N 一定是平方数。因为10=100，可知 100 以内共有 10 个平方数，即，最后关熄状态的灯共有 10 盏，编号为 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。6. 一个大院子里住了 50 户人家，每家都养了一条狗。有一天他们接到通知说院子里有狗生病了，并要求 所有主人在知道自家狗生病的当天应立即把杀掉。所有主人和他们的狗都不得离开自家的房子，主人与主人之间也进行任何，他们能看到其他 49 条狗，且能准确是否生病，但看不到自家的狗。院中第一天、第二天

32、都没有枪声，第三天传出了一阵枪声，问有多少条病狗被枪杀。这是一道逻辑推理趣题。分析如下：（1） 如果 50 条狗中只有 1 条病狗。比如说张家的狗有病，那么，张看到的另 49 条狗 是正常的，从而自家的狗一定病了，把自家的杀掉，但第 1 天没有枪声，说明病狗多于 1 条。（2如李果 50 条狗中只有 2 条病狗，比如说以外，其余的人都看到了 2 条病狗，而狗，已经知道病狗数量多于 1，所以李家的狗是病狗，那么，除了李只能看到 1 条病狗和 48 条正常的李可以出自家的狗一定是病狗，按照规定应该枪杀，但第 2 天没有枪声，说明病狗又多于 2 条。（3） 如果有 4 条或 4 条以上病狗，那么每个

33、病狗的主人至少看到了 3 条病狗，由于病狗数量是不是 3 条无法确定，故每个人也就不能自家的狗是否有病，第 3 天也就有枪声，这与已知综上可以判定，病狗的数量是 3 条“和倍问题”怎样思考？【典型问题】1. 四年级有 4 个班，不算余三个班的总人数是 134 人；人，问这四个班共有多少人？其余三个班的总人数是 131 人；不算其1两班的总人数比两班的总人解答：用 131+134=265，这是 1 个和 2 个的总和，因为两班的总人数比两班的总人1 人，所以用 265-1=264 就刚好是 3 个乙、丙的和，2643=88，就是说班的和是 88+89=177 人.的和是 88，那么和是 88+1

34、=89，所以四个2. 有四个数，其中每三个数的和分别是 45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？解答：大家想想，我如果把 4 个数全加起来是什么？实际上是每个数都加了3 遍！定要记住这种思想！（45+46+49+52）3=64 就是这四个数的和，题目要求最小的数，我就用 64 减去 52（某三个数和最大的）就是最小的数，等于 12.3. 在一个两位数之间一个数字，就变成一个三位数。例如：在 72 中间数字 6，就变成了 762。有些两位数中间两位数的 9 倍，求出所有这样的两位数。数字后所得到的三位数是原来解答：对于这个题来说，首先要个位是多少，这个数的个位乘以 9 以后的个

35、位还等于原来的个位，说明个位只能是 0 或 5！先看 0，很快发现不行，因为 209=180，309=270，409=360 等等，不管是几十乘以 9，结果百位总比十位小，所以各位只能是 5。略作计算，不难发现：15，25，35，45 是满足要求的数你会解答下面的题目吗？1. 某班买来单价为 0.5 元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得 15 本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得 10 本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?2. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第

36、三群，则每只猴子可得 20 粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？“还原问题”怎样思考？【典型问题】1. 某数加上 6，乘以 6，减去 6，除以 6，其结果等于 6，则这个数是多少？解答：（66+6）6-6=1，这个数是 1.2.有砖 26 块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块。问最初弟弟准备挑多少块？解答：先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）2=14，弟弟是26-14=12，然后来还原：1. 哥哥还给弟弟 5 块：哥哥是 14-5

37、=9，弟弟是 12+5=17；2. 弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是 9+9=18，弟弟是 17-9=8；3. 哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是 8+8=16 块.3. 甲、三人各不相同，甲最多，他拿出一些钱给，使乙和丙的都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的都比原来增加了两倍，结果三人一样多了。如果他们三人共有 81 元，那么三人原来的钱分别是多少元？解答：三人最后一样多，所以都是 813=27 元，然后我们开始还原：1. 甲和乙把钱

38、还给丙：每人增加 2 倍，就应该是原来的 3 倍，所以甲和是 273=9， 丙是 81-9-9=63；2. 甲和丙把钱还给乙：甲 93=3，丙 633=21，乙 81-3-21=57；3. 最后是把钱还给甲：乙 573=19，丙 213=7，甲 81-19-7=55 元.你会解答下面的题目吗？1. 甲、加了一倍；接着来一些，也使51 粒糖豆，那么三人各有糖豆若干粒，甲从取来一些，使的糖豆增处取来一些，使的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始开始有多少粒糖豆？有2. 有一筐，把它们三等分后还剩 2 个；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中

39、两份，又将这两份三等分后还剩 2 个。问：这筐至少有几个？巧用工程法解题有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换，轮胎在前轮位置可以行驶5000 千米，在后轮位置可以行驶 3000 千米，问使用两个新轮胎，这辆自行车最多可以行多远？如果我们考虑在中途某个时刻将车轮调换，则非常麻烦。如果将这个问题转化成工程问题：把一个车轮的使用看作“1”，则每行 1 千米，前轮被使用了 1/5000 ， 后轮被使用了 1/3000 ， 这样用两个(1/5000+1/3000)=3750(千米)，很容易就求出使用这两个的2 最多可以行 3750千米，就不用考虑何时调换这个恼人的问题。时间问题转化为行程问题，

40、某同学离家外出时看了看钟，2 个多小回到家又看了看钟，发现时针和分针恰好互换位置。请计算，该同学离家外出多少小时？这看上去是个时间问题，但如果我们仅仅局限于钟面上的时间问题去思考， 很难找到解题思路。可以将这个问题转化成行程问题，这样想：在这两个多小时中，分钟转两圈多(红线表示)，时针走了两个多大格(绿线表示)，两针交换了位置，如下图，两针这段时间里正好走了三圈，相当于这段时间内时针和分针合走了三圈，这样就将钟面的时间问题转化成了行程中的相遇问题。用总路程 3(3 圈)除以速度和(1+1/12)【想：分针 1 小时走 1 圈，时间 1 小时走 1 大格，即 1/12】，列式为 3(1+1/12

41、)=2 又 13 分之 10(小时)。一笔糊涂帐一个男子到一家手杖店去买了一根 30 元的手杖，付出一张 50 元的钞票。店主找不出零钱，就到隔壁小店去竞零票。零票兑来，付给顾客 20 元的找头，顾客就离去了。隔了一会，隔壁店主慌张地过来说，那张 50 元的钞票是伪钞，手杖店的店主不得不赔了 50 元。事后，店主觉得很伤心。他算了一下找给顾客 20 元，又赔给隔壁的店主 50 元，一共损失了 70 元。但又，顾客只占了 50 元的便宜，隔壁店主没有损失，也没有占便宜。这相差的 20 元咋回事呢？其实，当手杖店主与隔壁小店没有发生往来。手杖店主与顾客的往来是，顾客给小店 50 元伪钞，而小店给顾

42、客一根手杖（30 元）和 20 元找头，计 50 元。所以，手杖店主损失 50 元，而不是 70 元。巧用假设法同学们，我们在学习过分数乘、除法和倒数的知识后，会遇到这样的问题：甲的2/5 和乙的 3/4 相等与乙的比是什么？这样的问题不少同学觉得很难下手，实际上只要用假设法，首先列出等式：甲2/5=乙3/4，然后假设等式的结果都是 1，利用倒数的知识，可知甲是 5/2， 8。4/3，则可求出甲与乙的比是 15又如，“有两根同样长的绳子(长于 1 米)，第一根剪去 1/2 米，第二根剪去1/2，剩下的相比较，哪一根长？”这样的问题用假设法解决起来也很容易，设这两根分别长 10 米，第一根还剩

43、9.5 米，第二根还剩 5 米，很容第一根剩下的长。同学们，你还能假设其他数来解决这个问题吗？如果两根绳子的长度都等于1都小于1 米，结果又会如何呢？请你们用假设法来解决这两个问题。换个角度、整体思考题目：一次考试共有五道试题，做对第（原题没有“第”字）1、2、3、4、5 题的分别占考试人数的 84%、88%、72%、80%、56%，如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？解法：假设这次考试有 100 人参加，那么五题分别做对的人数为 84、88、72、80、56 人。全班共做对 84+88+72+80+56=380（题）。要求及格率最少，也就是让不及格人尽量的多，即仅做

44、对两题的人尽量的多；要让及格的人尽量的少， 也就是说共做对 5 题和共做对 4 题的人要尽量的多。我们可以先假设所有人都只做对两题，那么共做对 1002=200（题）。由于共做对 5 题的最多有 56 人，他们一共多做了 563=168（题），这时还剩下 380（200+168）=12（题）。因为做对 4 题的人要尽量的多，所以每 2 题分给一个人，可以分给 122=6（人），即最多 6 个人做对 4 题。加上做对 5 题的 56 人，那么及格的人最少有 56+6=62（人），也就是及格率至少为 62%。骑驴找驴一次师生座谈会，看学生，人数一样多，学生看，的人数是学生的3 倍，问分析：和学生各

45、有多少人？（一）设:= X ,学生=Y;看学生，人数一样多(在看的不在内)即可以列为方程:X1=Y；学生看方程:，的人数是学生的 3 倍（在看的学生不在内）即可列为3（Y1）X；所以: 分析：Y2，X3（3 个二），当其中一位看学生的时候，把忽略了，2 个学生。2 个老师一样多；2 学生中的一个看的时候也是把给忽略了，所以就剩一个学生了，还是 3 个。“凑比法”解题例谈在小学数学竞赛中，常常遇到这样一类题目：已知两个量的和（差），以及它们的某种，而这种又无法转化成其中一个量是另一个量的几分之几（统一“1”），也无法求出这两个量的比。因此，常规解法极为繁杂。若将其中的一个量增加（减少）一个特定数

46、量后，则常很容易“凑”出它们的比，从而使问题化繁为简，化难为易。生1999 年第十五届迎春杯决赛题）还多 10 个”得：从而知，师傅零件个数是 3 份，（徒弟零件个数+40 个）是 4 份，也就是（师徒二人共零件个数+40 个）（3+4=）7 份，即（170+40）弟零件个数为（170-90=）80（个）。11 人参加数学竞赛。这个、女生各多少人？从而知，男生人数是 3 份，（44 人-女生）是 2 份，也就是（男生-女生+44人 ）（ 3+2= ） 5 份。又因“男生比女生多 6 人 ”， 故（ 6+44 ）人是 5例 3 甲桶油比乙桶油多 3.6 千克， 如果从两桶中各取出 1 千克后，

47、甲（1999 年小奥预赛 B 卷）从而知，（甲桶油-1 千克）是 3 份，（乙桶油-1 千克）是 2 份，即（甲桶油-1 千克）比（乙桶油-1 千克）多（3-2）份，也就是甲桶油比乙桶油多（3-2） 份，而甲桶油比乙桶油多 3.6 千克，因此，每份重为 3.6（3-2）=3.6（千克），（甲桶油-1 千克）为 3.63=10.8（千克），甲桶原有油 10.8+1=11.8（千克）。例 4 大小球共 100 个，取出大球的 75，取出小球的 50，则大小球共剩 30 个。问原有大小球各多少个？（见贵刊 1998 年第 1、2 期第 22 页注意求异思维训练中的例 1，这里用“凑比法”解较容易）分

48、析与解 依题意“取出大球的 75，取出小球的 50，则大小球共剩 30 个” 得：大球个数（1-75）+小球个数（1-50）=30 大球个数25=30-小球个数50大球个数25=（60-小球个数）50即，大球个数（60-小球个数）=5025=21从而知，大球个数是 2 份，（60-小球个数）是 1 份，大球个数比（60-小球个数）多（2-1）份，即大球个数-（60-小球个数）为（2-1）份，也就是（大球个数+小球个数-60）为（2-1）份，又知大小球共 100 个，故（100-60）个为（2-1）份，又知大小球共 100 个，故（100-60）个为（2-1）份，即 40 个是 1份。因此，大球

49、个数有（402=）80（个），小球个数有（100-80=）20（个）。巧分数字和题目 将 1 至 9 九个数字写在一条纸带上，如下图：将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被段的数是。77 整除，那么这是 1997 年小学数学决赛中的一道整除的问题。将纸带剪成三段，要剪两刀，共有 28 种不同的剪法，逐一去试，分别计算出结果，再去试除，这样做太繁琐，不可取。可以结合整除的有关知识，从这九个数字的数字和去考虑。分析与解答 由于 77=711，（7、11）=1，所以能被 77 整除的数，必能分别被 7 和 11 整除。先考虑能被 11 整除。一个数若能被 11 整除，其奇

50、位数字之和与偶位数字之和的差必能被 11 整除。对于这一性质，可以得到这样的推论：如果几个加数的和能被 11 整除，那么这几个加数所有奇位数字之和与偶位数字之和的差必能被11 整除。对于这条纸带上的九个数字，不管怎样剪，奇位数字和总大于偶位数字和。由于 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45=39+6=28+17，39-6=113，28-17=11，所以奇数、偶数的所有数字和分别是 39 和 6 或 28 和 17。（一）当奇位数字之和是 39，偶位数字之和是 6 时，因为 6=1+2+3=5+1=4+2，只剪两刀，使另外的 6 个或 7 个数字位上，这显然是办不到的。（二）当奇位数字

51、之和是 28，偶位数字之和是 17 时，因为? （?）?（?）（?）（?）（?）（?）（?）（1） 如果 9、8、7、3、1 在奇位上，无法使相邻的三个数字 4、5、6 都在偶位上。（2） 如果 9、8、6、3、2 在奇位上，无法使相邻的两个数字 4、5 都在偶位上。（3） 如果 9、8、6、4、1 在奇位上，无法使相邻的两个（4） 如果 9、8、5、4、2 在奇位上，无法使相邻的两个数字 6、7 都在偶位上。（5） 如果 9、7、6、5、1 在奇位上，无法使相邻的三个数字 2、3、4 都在偶位上。（6）如果 9、7、6、4、2 在奇位上，相邻的两个数字 6、7此必在 6、7 之间剪一刀，另一

52、刀的剪法有三种：位上，因第一种剪法得到的三个数的和：12+789=4257，42577=6081第二种剪法得到的三个数的和：1234+56+789=2079，20797=297，由此可知，剪后段的数是 56。第三种剪法得到的三个数的和：123456+7+89=123552，1235527=176502。（7）如果 9、7、5、4、3 在奇位上，无法使相邻的两个数字 1、2 都在偶位上。让静止的图形动起来以静变动，让静止的图形动起来，这是一种动态的思想，这种思想在求解几何图形面积一、旋转的思想常常用到的。现举例如下：将所给图形中的某一部分绕一个固定点旋转一定（或适当）的角度，变为较明显的简单而又

53、直观的图形。例 1 如图 1 中的两个三角形都是正三角形，大三角形的面积是积的多少倍？角形面分析与解 观察图 1 可见，只需将角形绕圆心旋转 60，得到如图 2 所示的图形。角形将大三角形分别割成面积相等的四块。因此大三角形的面积是角形面积的 4 倍。例 2 求图 3 中阴影部分的面积。（取 3）（：厘米）分析与解 观察图 3 发现，只要将图中右边的阴影部分绕圆心逆时针方向旋转 90就得到图 4 所示的形状。所求的阴影部分的面积就是大扇形的面积与空白部分（三角形）面积的差。即二、移动的思想1.点的移动：将图中的某一点看作一个“动点”沿直线移动，使原来分着的空白部分合并在一起变成一个简单明了的图

54、形。例 3 如图 5，已知长方形的长是 8 厘米，宽是 4 厘米，图中阴影部分面积是10 平方厘米，求 OD 长多少厘米？分析与解 观察图 5，把图中的阴影部分看作两个三角形（即ABO 和CBO），将这两个三角形中的 A 点和 C 点分别看作“动点”平移到如图 6 所示的 A点和C点（等底等高，面积相等），等积变形为一个简单的三角形 ACO。因为阴影部分面积是 10 平方厘米，AC的长为 4 厘米，所以 OB 的长度为（1024=）5（厘米），因此 OD 的长度是（8-5=）3（厘米）。2.面的移动：将所给图形中的某个图形沿直线上下左右移动，把复杂的图形转化成简单的图形，使原来面积不等变。例 4 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合（如图 7），已知露在外面的部分中，红色面积是 20，黄色