2019北京市12区高三一模(3、4月)数学理分类汇编--立体几何

1、2019 二匕京市12区高三一模（3、4月）数学理分类汇编立体几何、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为i）,则该三棱锥的体积8A . 4 B. 2C. 83D. 43正（主）视图2 / 272、（东城区2019届高三一模）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A）等腰三角形（B）直角三角形 （C）平行四边形（D）梯形正视倒第，左）福酊他祝周3、（丰台区2019届高三一模）已知 a和P是两个不同平面，apiP =1 , 11, %是与1不同的两条直线，且11仁口，12仁P , 1J/ 12 ,那

2、么下列命题正确的是（B）1与11,12都相交（A） l与11,12都不相交（C） 1恰与11,12中的一条相交（D） 1至少与1，12中的一条相交4、（怀柔区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为偌肥图作观图AB左视图则在这四个正方体中例4左）在图UA. 2B. 6A, B为正方体的两个顶点AB与平面MNQT垂直的是N, Q为所在棱的某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为2 / 27一个体积为 12 J3的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积6、（门头沟区如图，在下列四个正方体中5、（门头沟区8 CC. 10 D.248 百D , 12C.A

3、. 12 B. 2正住观目,蚓左视图僧视图乜,则该几何体的表面积是8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模）某几何体的三视图如下图所示2+12 D. 3+ .2模）某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为5 / 2710、（延庆区2019届高三一模）已知一个正四面体的底面积为3J3,那么它的正视图（如右图）的面积为(A) 4,2(B) 3 3(C) 2 6(D) 3 211、（房山区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1,俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A)(B)当2(C)132(D) 1俯视图12、（平

4、谷区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3 D. 4£ 规的1w（a）一卧数学试题答案1、6、11D2、A3、A4、C5、AD7、B8、D9、410、3C12、D6 / 27二、解答题1、(朝阳区2019届高三一模)如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF _L平面ABCD .四边形ADEF为正方形,四边形 ABCD为梯形，且 AD/BC, /BAD=90- AB =AD =1 , BC=3.(I )求证：AF 1CD ;(n)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；(m)线段BD上是否存在点 M ,使得直线CE/平

5、面AFM ?若存在，求.BM-的值；若不存在，请说明理由.BD2、(东城区2019届高三一模)如图，在棱长均为2的三棱柱 ABCAiBiCi中，点C在平面AABB1内的射影O为ABi与AiB的交点，E,F分别为BC,AiCi的中点.(I)求证：四边形 AABB1为正方形;(II)求直线EF与平面AACC1所成角的正弦值;AD 一(出)在线段 ABi上存在一点D ,使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求 的值.DBi由M3、(丰台区2019届高三一模)如图，四棱柱ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD为直角梯形， AB/CD,AB _LBC ,平面 ABCD_L平面 ABBA , NBA

6、A=601 AB=AAi =2BC=2CD = 2 .(I )求证：BC _LAA ;(n )求二面角 D -AA -B的余弦值;(出)在线段 DBi上是否存在点 M ,使得CM /平面DAA1 ?若存在，求DM db1的值；若不存在，请说明理由.BiCi4、(海淀区2019届高三一模)如图，在直三棱柱ABCAB1cl中，AC _L BC, AC = BC =CC1 = 2 ,点D,E,F分别为棱ACi,BiCi, BB,的中点.(n)求证：AC1/平面DEF(n)求证：平面ACB1 _L平面DEF ;(n)在线段AA1上是否存在一点P,使得直线DP与平面ACB1所成的角为300被口果存在，求

7、出线段 AP的长；如 果不存在，说明理由.12 / 271,5、(怀柔区 2019届局二一模)已知二棱锥 P- ABC中，PL平面 ABC AEJ±AC PA=AC= AB=2 N为AB上一点,2AB=4AN M S分别为PB, BC的中点.(I )证明：CM_ SN(n)求直线SN与平面CMNf成角的大小;(m)求二面角 B -NC -M大小的余弦值6、(门头沟区2019届高三一模)在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为6的菱形，且/ABC =60°,PA 面ABCD , PA =6, F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点.(D 求证：BD _CF(n)若 A

8、F =2 ,(i)求PC与平面BDF所成角的正弦值；(ii )侧面PAD内是否存在过点 E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线,都满足CM /平面BDF ,若存在，求出此直线被直线 PA, PD所截线段的长度，若不存在，请明理由7、(石景山区2019届高三一模)如图，在四棱锥 EABCD中，平面ABCD _L平面AEB ,且四边形 ABCD为矩形，ZBAE= 120°, AE= AB= 4, AD= 2, F ,G分别为BE, AE的中点，H在线段BC上(不包括端点).(I )求证：CD /平面FGH ;(n)求证：平面 DAF 面CEB ;(ID)是否存在点H ,使得二面角H

9、 -GF -B的大小为若存在，求BH ;若不存在，说明理由.8、(顺义区2019届高三第二次统练(一模)如图，在四棱锥 P-ABCD中，等边三角形 PCD所在的平面垂直1于底面 ABCD, AB=AD=CD=1, /BAD =/ADC = 90 , M 是棱 PD 的中点. 2(l)求证：AD _L平面PCD；(n)求二面角 M -BC -D的余弦值；(m)判断直线 CM与平面PAB的是否平行，并说明理由.9、(西城区2019届高三一模)如图，在多面体 ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形 ABCD所在平面互相垂1-直， AFDE, DE _L AD , AD _L BE , AF=AD=

10、DE=1, AB =R2(I )求证：BF平面CDE ;(n )求二面角 B -EF -D的余弦值；(m)判断线段 BE上是否存在点Q,使得平面CDQ_L平面BEF?若存在，求出BQ的值，若不存在，说明理由.BE10、(延庆区2019届高三一模)如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是平行四边形，/BCD=135,侧面PAB _L底面 ABCD , PA1AB, AB=AC=PA=2, E,F 分别为 BC, AD 的中点，点 M 在线段 PD上.(I )求证：直线 EF _L平面PAC ;(H)若M为PD的中点，求平面MEF与平面PBC所成锐二面角的余弦值;(出)设PM二九，当入为何值时

11、，直线 ME与平面PBC所成角的正弦值为 随,求人的值. PD15*11、（房山区2019届高三一模）如图1,在矩形 ABCD中，AB=4,AD=2, E,F ,0分别为DC , AE ,BC的中点.以AE为折痕把 ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面 PAE 1平面ABCE （如图2）.（I）求证：BC _L平面POF ;（n）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（出）在线段PE上是否存在点 M，使得AM II平面PBC ?若存在，求工业的值；若不存在，说明理由PE21 / 271、解：（I）证明：因为 ADEF为正方形，所以 AF _L AD .又因为平面 ADEF _L平面ABCD

12、 ,且平面ADEF p|平面ABCD = AD ,所以AF，平面ABCD .所以AF ±CD . 4分（n）由（I）可知， AF，平面 ABCD，所以 AF _L AD , AF _L AB .因为/BAD =90©,所以AB, AD,AF两两垂直.分别以AB, AD, AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）.因为 AB=AD =1 , BC =3,所以 A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,3,0), D(0,1,0), E(0,1,1),F(0,0,1),所以 BF -(-1,0,1),DC = (1,2,0), DE =(0,0,1).设平面CDE的

13、一个法向量为n =（x, y,z）,nDC"即1y=°,n DE =0. z =0.所以 n =(2, 1,0).zD FAED一 .y设直线BF与平面CDE所成角为日，则 sin 二 一| cos n, BF | 二|2 (-1)|10 D5 .25.9分(出)设 BM(九 w(0,1),BD设 M (x1,y1,z1)，则(为 一1,%,乙产九(一1,1,0),所以 x1 =1 一九,y1 = % 乙=0 ,所以 M (1 九,K,0 ),所以 AM =(1 A X,0 ).设平面AFM的一个法向量为m AM =0, m =（xo, yo,。），则 «m AF

14、 = 0.因为”,1 ?以仁0）X0+九yo =。.令xo =九，则yo =九一1 ,所以m =（九九-1,0）.在线段BD上存在点M ,使得CE/平面AFM等价于存在九w0,1,使得m CE = 0 .因为 CE =（1,2,1）,由 m CE所以九2（%1）=0,2解得九=_乞0,1, 3所以线段BD上存在点M ,使得CE 平面AFM ,且BM 2BD 3.14分2、解：（I ）连结CO .所以CO _L平面A1ABB1 .因为C在平面A ABBi内的射影。为ABi与A1B的交点,所以AC =BC ,且AABB1为菱形.由已知三棱柱 ABC - A1 B1cl各棱长均相等,由勾股定理得OA

15、=OB,即ABi =AiB.所以四边形AiABBi为正方形.（n）由（I）知 CO_L平面 A1ABB1, CO .LOA,CO 1OA1.在正方形 A1ABB1中，OA1 _L OA .如图建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得 o（o,o,o）, a（T2,o,o）, a（o,72,o）, b（-V2,o,o）, c（o,o, V2）,Ci（V2, -V2, V2）,E（-：22,0,72）,F（ ,-）所以 AA = (-2, J2,0), AC =(0,- .2, .2).设平面A1ACC1的法向量为 m =(x,y, z),m AA1 =0,匚J2x、2y =0,则 T 即V 广 l

16、m AC =0.-、,2y 、2z =0.令 x =1,则 y =1,z =1.于是 m = (1,1,1).z又因为EF,0),设直线EF与平面AACC1所成角为9,则sin 二 一1 cos m ,EF | =15所以直线EF与平面A1AC所成角的正弦值为301510（出）直线EF与平面ACD没有公共点，即EF /平面 ACD .设D点坐标为（0, y0,0） , D与O重合时不合题意，所以y0 # 0 .一 一因为 AD=（夜,y°,0） , AC=（一四,0,衣）.设n =（x1，y1,z1）为平面ACD的法向量,n AD =0,-、.2xi y。 =0,i T 即厂 rn

17、AC =0.-、.2x1, 2z1 = 0.xB日2于是n=(1, ，1).V。若 EF /平面 A1CD , n EF =0.又 EF =(3:2.2 八、，,0)，223 2.2.2 八左/口2所以x.= 0 解得 丫0 =.22V03此时EF a平面ACD ,所以ad二晅,DB1 =逑. 33AD 1八所以=.14分DB123、解：(I)因为 平面 ABCD _L 平面 ABB1A，平面 ABCD。平面 ABB1A1 =AB, AB _L BC ,BC u 平面 ABCD , 所以BC _L平面ABB1A1.因为AA,二平面ABB1A , 所以BC _ AA .(n)取AB的中点N ,连

18、结BN .平行四边形 ABB1A1 中 AB =AA1 , /BAA, =60* 易证 BN _L AB.由(I )知BC _L平面ABBA .故以为B原点，BA, BN, BC所在直线为坐标轴, 建立如图所示空间直角坐标系B -xyz.依题意，A(2,0,0), A(1,石0), D(1,0,1),设平面DAA的一个法向量为n =(x,y,z)则京=(1,石,0) , AD =(1,0,1)n AA1 = 0则 一 ,n AD =0即一X3二0X z = 0令 y = 1 ,得 n = (*3,1,志).易知平面ABB1A的一个法向量为 m = (0,0,1),设二面角 D -AA1 -B的

19、平面角为 a,可知a为锐角，ntt 门n m73V2T则 cos 豆=cos < n, m > =； = j =n jmJ3 + 1 +37即二面角D _AA -B的余弦值为.217M (x, y,z).（出）解：设 DM = zDB1 ,九wo,i,因为 D(1,0,1), Bi(,iJ3,0) , C(0,0,1),y,z-1)t - l r 所以 DB1K-2, J3,-1),DM =(x-1,所以 x =1 - 2'L., y = 3 , z =1-'.M (1 一2 ,，、.3 ' ,1 - )CM =(1 2 , 3, ')因为CM II

20、平面DAA 所以CM n=即 J3(1 2K)+J3九一J3人=0,所以 F2.所以存在点M,使得CM /平面DAA1 ,此时DM 1=二.DB124、解：（I）方法一：连结BC1因为D,E分别为AG, 又因为AB/AB ,所以因为E,F分别为B1C1, 又因为DE P1EF =EB1C1中点，所以DE/A3DE /ABBB中点，所以EF/BC1DE U平面DEF , EF匚平面DEFAB u平面ABC1 , BG仁平面ABg所以平面 ABC1二平面DEF又AC1二平面ABC1 ,所以AG平面DEF方法二：取AA中点为G ,连结FG由 AA L! BB1 且 AA1 = BB1又点F为BB中点

21、，所以FGL AB又因为D,E分别为AG, B1C1中点，所以DE：；AiBi所以DE FG所以D,E,F,G共面于平面DEF因为D , G分别为ACi, AA中点,所以ACi日DGACi电平面DEFDG U平面DEF所以ACi平面DEF方法三：在直三棱柱 ABCAiBCi中，CCi_L平面ABC又因为AC _ BC以C为原点，分别以 CA,CB,CCi为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz由题意得 A(2,0,0), Ci(0,0,2), D(1,0,2), E(0,1,2), F (0,2,1).所以 DE =(-1,1,0), EF =(0,1,-1)设平面DEF的法向量为n

22、=(x1,y1, z1),则n DE =0« -tn EF =0，即一x1 2°J y - Z1 - 0令 X1 =1 ,得 y1 =1,z =1于是 n =(1,1,1)又因为 AC1 *2,0,2)所以 AC1 n - -2 0 2 =0又因为AG辽平面def ,所以AG 平面DEF(n )方法一：在直棱柱 ABC AB1C1中，CG，平面ABC因为 AC U ABC ,所以 CC1 _L AC又因为AC，BC ,且 CC1 n BC =C所以AC _L平面BBiCiCEF U平面 BBGC,所以 AC _LEF又BC =Cg ,四边形BBC。为正方形所以BCi _ B

23、C又 BCi /./ EF ,所以 BiC _L EF又 AC _L EF ,且 AC A BiC =C所以EF _L平面ACBi又EF u平面DEF所以平面ACBi _L平面DEF方法二：设平面ACBi的法向量为m =(X2,y2,Z2), CA = (2,0,0), CBi =(0,2,2)m CA =02x2 =0a ，即42m CBi =02y2 2Z2 = 0令 y2 =i ,得 X2 =0,Z2 =T于是 m =(0,i,-i)n m =(i,i,i)(0,i,-i尸0即n_Lm ,所以平面 ACBi _L平面DEF(出)设直线DP与平面ACBi所成角为9 ,则8=30*T T设

24、AP=/.AA(0<?.<i),则 AP =(0,0,2 九)DP =(i,0,2>2)i7 / 27所以cos-=2 -2.1:sin30 =-2 . 1 (2 , 一2)2231 / 27分()CN =(1,-2,0)则二02x -2y z =0,令 y =1 ,则 x=2 , z = -2,一 13解得九=或儿=(舍)22所以点P存在，即AAi的中点，AP =15、证明：以A为原点，AB, AC, AP分另1J为x, y, z轴建立空间直角坐标系，则 P (0,0,2 ) , C (0,2,0 ) , B(4,0,0 ) , M (2,0,1 ) , N (1,0,0

25、) , S (2,1,0 )CM =(2, -2,1) , SN =(_1,_1,0)丁 CM SN =2父(一1)+(-2)x(1)+1 M0 =0 ,CML SN设a= (x, y, z)为平面CMN勺一个法向量,a= (2, 1, -2)cos <a,SN > =2M(1) +1X(1)+0，SN与片面CMNf成角为45°。10(出)由(n)知平面 CMN勺一个法向量 a =(2,1,-2),又平面BNC勺法向量为b =(0,0,1),且二面角B NCM为锐角,cos :二 a,b =2 0 1 0( -2)11 3142，二面角 B -NC -M的余弦值为 36、

26、解：(I)由题意可知，PA_L平面ABCD，则BD_LPA ,又底面ABCD是菱形,BDAC,所以，BD_L 平面 PAC, BD -LCFP(n)(i)由(i)可知，OB_LOC,过。作OZ/PA,建立如图所示的坐标系，则B(0, -3 -3,0), D(0,3 ',3,0), F(-3,0,2), P(-3,0,6), C(3,0,0)PC = (6,0, -6),FB = (3,-3.3, -2), FD = (3,3,3,-2)T设平面bdf的法向量为n=(x, y,z)3x - 3.3y -2z =0_ 3x 3 3y -2z =0n =(2,0,3)设PC与平面BDF所成角

27、为日，则 sin 口,2626(ii )设G是PF的中点，连结 EG,CG,OF ,皿EG/FD 丁入 丁工则«二 平面CEG/平面FBDCG/OF所以直线EG上任一点M与C的连线CM，都满足CM /平面BDF ,直线EG被直线PA, PD所截线段EG的长度为：由(i)可知，G(0, 3,4) , E(空，3,3)= EG =J10 227、 (I)证明：在矩形 ABCD中，CD/AB,. F ,G分别为BE , AE的中点，FG / AB,且 FG = 1 AB2，CD / FG ,. CD0平面FGH , FG u平面FGH ,CD /平面 FGH .(n)证明：在矩形 ABCD

28、中，AD_LAB, .矩形ABCD _L平面AEB ,且平面ABCD I平面AEB= AB ,AD _L 平面 AEB ,又BEu平面AEB ,AD_L BE,AE= AB , F 为 BE 的中点，AF _L BE,又 AD I AF = A ,BE_L 平面 ADF , BEu 平面 CEB , 平面DAF_L平面CEB .(m)在平面ABE内作AB的垂线，如图建立空间直角坐标系 A- xyz ,.一/BAE = 120°, AE= AB= 4, AD= 2, A(0,0, 0), B(0,4,0), C(0,4,2),E(2Q,_2,0), G(石，1,0), F(T3,1,0

29、),BHuur uuu设=九，BH = KBC =九(0,0, 2) =(0,0, 2K), BCH(0 ,4, 2人),uuuuuir_GF=(0,2, 0) , FH =(掷，3, 2Q ,r设平面FGH的法向量为n = (x , y, z), r uuu.n GF =0,日口 |2y =0, , . < r uuu 即 « 广n FH =0,I-J3x+3y+2Kz =0，令 x = 2 ,则 z = J3 ,rn = (2儿，0, J3)是平面FGH的一个法向量， AD _L 平面 AEB ,uuu 平面AEB的法向量为AD =(0,0, 2),nr 二面角H -GF

30、B的大小- 6r uuu2J3J31 cos < n , AD >|= ,=-=,解得九=土一 ,J(2Z)十 3 2221 H 在 BC 上，. .九=. 28、( I )证明：平面PCD，平面ABCD平面PCD门平面ABCD = CDAD仁平面ABCDAD CDAD _L平面 PCD 4分(n)取CD的中点O ,连结OB , OP. PC = PDOP - CD1 ABCD2AB =OD又. BAD =/ADC =90，四边形ABOD是平行四边形. OB/ADOB _OC. AD _L平面 PCDAD _OPOB _OPz*建立如图所示空间直角坐标系Oxyz, 5则 A(1,-

31、1,0), B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0,V3),1 .3 M(0，-2，l-).3 .3CM =(0,-2,-), CB = (1,-1,0)m CM -033得r2y tz=0令x=1,得y =1 , z = V3 ,所以 m = (1,1, J3)、x y = 0因为z轴垂直于平面BCD,所以取平面BCD的一个法向量n= (0,0,1)cos m,n 二.3J5所以二面角M-BC-D的余弦值为1510(m)解：直线CM与平面PAB不平行,11设m = (x, y, z)为平面MBC的一个法向量，由理由如下:AB =(0,1,0) PB =(1,0,h 3)-,、v

32、AB = 0设v = （x, y,z）为平面PAB的一个法向量，由 Jv PB =0得Jy =0一令z=i,得 x = J3,所以 V =（J3,0,i）x - a/3z =0CM v = （0, ）*3,0,1）=-0 0 13分2 22所以CM与V不垂直，又因为CM0平面PAB所以直线 CM与平面PAB不平行.14分或法2：（反证法）假设 CM /面PAB ,因为CD /面PAB ,且CM e CD =C所以 面PCD / /面PAB ,又 面PCD面PAB=P （矛盾）所以假设不成立，故直线 CM与平面PAB不平行.9、解：（I）由底面 ABCD为平行四边形，知 AB/CD ,又因为AB

33、0平面CDE, CDu平面CDE,所以AB/平面CDE . 2分同理AF 平面CDE ,又因为ABflAF =A,所以平面 ABF/平面CDE . 3分又因为BF二平面ABF ,所以BF/平面CDE. 4分（n ）连接BD ,因为平面 ADEF _L平面 ABCD,平面 ADEF D 平面 ABCD = AD , DE _L AD ,所以 DE _L平面 ABCD.则 DE _L DB .又因为 DE _L AD , AD .L BE , DE 门 BE = E ,所以AD _L平面BDE，则AD _L BD .故DA, DB, DE两两垂直，所以以 DA, DB, DE所在的直线分别为 x轴

34、、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系,F(1,0,1),则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0) , C(1,1,0), E(0,0,2), 所以 BE=(0,1,2), EF=(1,0,-1), n = (0,1,0)为平面 DEF设平面BEF的一个法向量为m =(x, y, z),由 m BE =0, m EF =0 ,得 -y 2z=°,x z = 0,令 z=1,得 m =(1,2,1).所以 cos : m, n = m n| m | n |3如图可得二面角 B -EF -D为锐角,所以二面角B-EF-D的余弦值为3的一个法向量.11分(出)结论：线段B

35、E上存在点Q ,使得平面 CDQ _L平面BEF .BQ 133 / 27证明如下:设 BQ=kBE =(0,%2 浦(儿勺0,1),所以 DQ =DB BQ =(0,1 - ,2 ).设平面CDQ的法向量为u =(a,b,c),又因为DC =(1,1,0),T T(1 -)b 2 c=0,12分13分所以 u DQ =0 , u DC =0 ,即 4(),-a b = 0,若平面 CDQ _L平面 BEF ,则 m u =0 ,即 a+2b+c = 0,1 解得，=-0,1.所以线段BE上存在点Q ,使得平面CDQ _L平面BEF ,且此时BE 714分10、(1) 证明：在平行四边形 AB

36、CD中，因为 AB = AC, /BCD =1350 ,所以AB _L AC .由E,F分别为BC, AD的中点，得 EF/AB,所以 EF _|_AC . 1 分因为侧面 PAB_L底面ABCD ,且PA1AB,面PAB。面ABCD=AB且PA匚面PAB所以PA_L底面ABCD. 3分又因为EF U底面ABCD ,所以PA_LEF . 4分又因为 PAp|AC = A, PAU平面 PAC , ACu平面 PAC ,所以EF _L平面PAC. 5分(n)解：因为PA_L底面ABCD, AB_LAC ,所以AP, AB, AC两两垂直，故以 AB, AC, AP 分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(T,2,0), E(1,1,0), 6 分设平面PBC的法向量为n =(x,y,z),由 n BC=0, n PB=0,得卜2x+2y =0, 2x -2z =0,令 x=1,得 n =(1,1,1). 7 分M为PD的中点，由(1)知，AC_L平面MEF且"AC =(0,2,0) , 8分所以 |cos<AC