2017-2018北京西城35中高二上期中【理】数学真题卷

1、2017-2018北京西城35中高二上期中【理】数学真题卷北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高二数学I卷（必修二模块考试）共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机一、选择题（共10个小题，每题 4分, 读卡相应的题号处）1 .圆（x 1）2 +y2 =1的圆心和半径分别为A. （0,1）, 1【答案】D 【解析】B. （0,），C.(1,0), 1D.(1,0), 113 / 122.棱长都是1的三棱锥的表面积为（B. 2聚C.3. 3D.433 .平行线x2y =0与x2y 5=0之间的距离为A. 5【答案】C 【解析】)C.而D.4 .已知直线l，平面a

2、 ,直线m匚平面P ,下列四个命题中正确的是（(1) a/ P =l，m (2) o(，P=l/m).(4 ) l X mn a / PA. （1）与（2）【答案】D 【解析】B. (3)与(4)C. ( 2)与(4)D.5,圆 C1 : x2 +y2 +4x -4y +7 =0与圆 C2 ：x2 +y24x70 y+13=0的位置关系是（A.外离【答案】C【解析】B.相交C.外切D.内切6 . 一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（B.10c 20C.3D.257 .已知线段 AB的中垂线方程为 xy1=0且A(1,1),则B点坐标为().A . (2,-2)B. (-2,2)C.

3、(-2,-2)D. (2,2)【答案】A【解析】8 .若过点(3,1)总可以作两条直线和圆(x2k)2 +(yk)2=k(k >0)相切，则k的取值范围是().A. (0,2)B. (1,2)C. (2*)D. (0,1)U(2*)【答案】D【解析】9 .正方体的内切球和外接球的半径之比为().A. 73:1B,石：2C. 2:J3D, J3：3【答案】D【解析】10 .如图，设P为正四面体 A-BCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点 P到四个顶点的距离 组成的集合记为 M ,如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有().A. 4个B, 6个C. 10个D. 14个【答案

4、】C【解析】二、填空题(共6个小题，每题4分，共24分.请将正确答案填在答题纸)11 .在y轴上的截距为-1且倾斜角为135口的直线方程为 .【答案】x y 1 =0【解析】12 .已知直线l :2x+y 11 =0 ,若直线ax+yb=0与l垂直，过点A(2,m)和B(m,4)的直线与l平行, 贝U实数a =; m=.【答案】-0.5 , -8【解析】13 .如果一个圆锥的底面半径为3,侧面积为18汽，那么此圆锥的体积等于 【答案】9 3兀【解析】14 .长方体 AG, AB=5, BC=3, BB1 =4 , P为上底面 AB1CQ1上一个动点，则三棱锥 PABC的 正视图与左视图的面积比

5、为 .5【答案】5:3【解析】15 .过点(1,1)的直线与圆(x2)2 +(y-3)2 =9相交于A, B两点，则|AB|的最小值为 【答案】4【解析】16.如图，正方体 ABCD A1B1C1D中，点P在BC1上运动，给出下列四个命题:三棱锥A-DiPC的体积不变;AP/平面ACDi ；其中正确的命题是 DP，BCi ；平面PDBi ±平面ACDi ；【答案】【解析】 三、解答题：(共3个小题，每题12分，共36分.请写明必要的解题过程)17 .已知 AABC 的顶点 A(0,5) , B(1,- 2) , C(3, Y).(1 )求AB边上的高线所在的直线方程.(2)求4ABC

6、的外接圆的方程.【答案】见解析.【解析】解一：(1 ) kAB =5-(口 =：, 0 -11AB边上的局线斜率 k , kAB k=_1,则k=1.AB边上的高线过点 C(4,4).AB边上的高线所在的直线方程为1y-(4)=5(x-。),整理得 x _7y _25=0 .(2)设AB中垂线为由(1)知 kAB =:，li , BC中垂线为% . kl1 71又11过AB中点M -，2 j,li 的方程为 x7y +10 =0 ,-4-(-2)1,12kl2 = -2，又l2过BC中点N(1，1 l2 的方程为 2x +v +5=0 ,x -7y 10=0联立方程组y2x y 5=0x -

7、-3解得I .y =1圆心为(31).由两点间距离公式可知半径AABC的外接圆的方程为r =q(T0)2 +(1-5)2 =5, (x+3)2 +(y1)2=25 ,x2 十y2 +Dx +Ey +F =0 ,即 x2 +y2 +6x -2y -15=0 . 解二：设AABC的外接圆为25 5E - F =04 +4 +D -2E +F =0 ,9 16 -3D -4E F =0解得 D=6, E=2, F=T5,所以AABC的外接圆的方程为x2+y2 +6x2y15=0 .PB的中点.18 .如图，在三棱锥 PABC中，PB=PC, AB = AC. D, E分别是BC , (1 )求证：D

8、E/平面PAC .(2)求证：平面 ABC，平面PAD .【答案】见解析.【解析】(1)证明：因为D, E分别是BC, PB的中点， 所以 DE / PC ,因为DE值平面PAC , PCu平面PAC ,所以DE II平面PAC .(2)证明：因为 PB=PC, AB = AC, D是BC的中点,所以 PD ± BC , AD ± BC ,因为 PDI AD=D ,所以BC ±平面PAD .因为BC U平面ABC ,所以平面 ABC ±平面PAD .19 .如图，在三棱柱 ABCAiBiCi中，CCi,底面ABC, AC，CB ,点D是AB的中点.(1

9、)求证：AC ± BC1,(2)求证：AC"/ 平面 CDB1 .(3)设AB =2AA1 , AC =BC ,在线段AB1上是否存在点 M ,使得BM，CB ?若存在，确定点 位置；若不存在，说明理由.【答案】见解析.【解析】(1 )在三棱柱ABC A1B1cl中，因为CC1 1底面ABC , AC仁底面ABC , 所以 CC1 ± AC .又 AC, BC , BCI CC1 =C ,所以AC,平面BCC1B1 .而 BC1 仁平面 BCC1B1，则 AC，BC1 .(2)设CB1与C1B的交点为E ,连结DE , 因为D是AB的中点，E是BC1的中点，所以

10、DE / AC1 .因为DE U平面CDB1 , AC1之平面CDB1 , 所以AC1 /平面CDB1 .A(3)在线段AiBi上存在点M ,使得BM，CBi ,且M为线段AR的中点. 证明如下：因为 AA，底面ABC, CD u底面ABC, 所以AA，CD .由已知AC =BC , D为线段AB的中点，所以CD ± AB .又 AA1 I AB =A,所以CD ±平面AA1B1B ,取线段ABi的中点M ,连接BM ,因为BM u平面AA1B1B , 所以CD，BM .由已知AB =2AA ,由平面几何知识可得 BM ± BQ ,又 CD I 0D =D ,所以

11、BM ±平面BCD ,又BiCU平面BiCD ,所以 BM ± CB1 ,II卷一、填空题(共5个小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上.)20 .直线l过点A(1,2),且不过第四象限，则l的斜率的取值范围是 .【答案】0,2【解析】21 .圆柱形容器内部盛有高度为 12cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是 cm.I I22 . P(x,y)是(x4)2+y2 =4上的点，则 ？的范围是 x【解析】23 .已知。M ：x2 4x+y2 =0 .(1 )。M的半径r =.(2)设点A(

12、0,3) , B(2,5),若。M上存在两点C , D ,使得四边形ABCD为平行四边形，则直线CD 的方程为.【答案】2 , xy=0, xy4=0【解析】24 .在如图所示的棱长为 2的正方体ABCD - AB1CQ1中，作与平面 AC)平行的截面，则截得的三角 形中，面积最大的值是 ;截得的平面图形中，面积最大的值是 .【答案】2百,3百【解析】二、解答题(共 3个小题，共30分.请写明必要的解题过程)25 . ( 8 分)已知曲线方程 x2 +my22x4y+n =0 , (m, n£ R).(1 )若此方程表示圆，求 m的值及以的范围.(2)在(1)的条件下，若 n=Y,直

13、线l过A(2,0)且与圆相交于 B, C两点，且| BC |=42 ,求直 线l方程.【答案】见解析.2【解析】解：(1)曲线方程可化为(x -1)2 +my =：_n +1 , ( m , nw R ), m m若此方程表示圆，则 m =1且 g _n+1 >0 ,m即 m =1 且 n <5 .(2)如图，O为圆心，M为BC中点，由(1)知 m =1 ,当n=N时，圆的方程为(x1)2+(y 2)2 =9 ,其中圆心为(1,2),半径r =3.M为BC中点，且|BC|=4E,|BM |=2",且 OM，BC ,在直角三角形OMB中，OB=r=3,OM =1 .当过点A

14、(2,0)的直线斜率不存在时，直线方程为 x=2,此时圆心到直线的距离为 1 ,符合题意；当过点A(2,0)的直线斜率存在时，设斜率为k,则直线方程y=k(x2).由点到直线距离公式知 d -|k-2-2k| =1,解得k =4 ,k2 (-1)24所以直线方程为y =-3(x-2),4整理得 3x +4y 6=0 .因此，过A(2,0)且与圆的交线段长度等于 4J2的直线为x = 2或3x+4y 6=0 .26.(10 分)如图，四边形 ABCD 是菱形，PDL平面 ABCD, PD/BE, AD=PD=2BE=2，/DAB=601 点F为PA的中点.(1)求证：EF/平面 ABCD.(2)

15、求证：平面 PAEL平面PAD .(3)求三棱锥P -ADE的体积.【答案】见解析.【解析】(1 )取AD中点G ,连接FG , BG , 因为点F为PA的中点，1 所以 FG / PD 且 FG =一 PD ,21又 BE/ PD ,且 BE=1PD ,2所以 BE/ FG , BE=FG ,所以四边形BGFE为平行四边形.所以 EF II BG ,又EF0平面ABCD, BGU平面ABCD,所以EF /平面ABCD .8(2)连接BD .因为四边形 ABCD为菱形，NDAB=60)所以4ABD为等边三角形.因为G为AD中点，所以BG ± AD ,又因为PDL平面 ABCD, BG

16、C：平面 ABCD,所以PD ± BG ,又 PDI AD =D , PD , AD 仁平面 PAD ,所以BG ±平面PAD .又 EF II BG ,所以EF ±平面PAD ,又EF仁平面PAE ,所以平面 PAE ±平面PAD .法二：因为四边形 ABCD为菱形，NDAB=60二所以4ABD为等边三角形，因为G为AD中点，所以BG ± AD ,又因为PD，平面 ABCD, PD仁平面PAD,所以平面 PAD ±平面ABCD ,又平面PADI平面ABCD =AD , BGu平面ABCD, 所以BG ±平面PAD .又 E

17、F / BG ,所以EF ±平面PAD ,又EF u平面PAE ,所以平面 PAE ±平面PAD .1(3)因为 Sapad =PD AD =2 , 2EF =BG =73 ,所以VpDE_1S- SA PAD3EF2 327. (12分)已知：直线l:3x+4y+1=0, 一个圆与x轴正半轴与y轴正半轴都相切，且圆心 C到直线 l的距离为3 .(1 )求圆的方程.(2) P是直线l上的动点，PE , PF是圆的两条切线，E, F分别为切点，求四边形 PECF的面积的最小值.(3)圆与x轴交点记作 A,过A作一直线1i与圆交于 A, B两点，AB中点为M ,求|OM |最大

18、值.【答案】见解析.【解析】(1)解：圆与x, y轴正半轴都相切，圆的方程可设为 (x -a)2 +(y -a)2 =r2, (a >0),圆心C到直线的距离为3,由点到直线距离公式得 d3a +4a F =3 ,解得a =2 ,、32 42，半径r =2 .，圆的方程为(x-2)2+(y-2)2 =4 .(2)解：PE, PF是圆的两条切线，E, F分别为切点， APCE APCF ,一Sapef _2Sa PCE )PE是圆的切线，且E为切点，PE ±CE ,CE =r =2, 2222PE2 =PC2 -CE2 =PC2 -4 ,，当斜边PC取最小彳1时，PE也最小，即四

19、边形 PECF的面积最小.|PC |min即为C到l的距离，由(1 )知 | PC |min =3 ,' PE' =3-4=5,即 PEmin =店,SApce =1 EC PE =1M2父忑=后，22，四边形PECF面积的最小值为2拜. (3)解：依题，点 A坐标(2,0),如图，取A关于原点的对称点坐标 P(二,0),连接PB, OM , 则OM为4APM的中位线，1所以，|OM|二|PB|,2所以，要使|OM |最大，则|PB|应最大，所以，如图，当B点为PC的延长线与圆C的交点Bi时，|PB|max "PBiRPC | +| CBi |,= J(2 +2)2

20、+(2 0)2 +r =2而 +2 .1| OM |max =2 | PB |max =V5 + 1 ,即|OM |的最大值为：75 +1 .28.选做题：10分(计入总分，但总分不超过 150分)已知点A(0,4),圆O：x2 +y2 =4,点P在圆O上运动.(1 )如果AOAP是等腰三角形，求点 P的坐标.(2)如果直线 AP与圆O的另一个交点为 Q ,且|AP|2 +|AQ|2=36 ,求直线 AP的方程.【答案】见解析.【解析】解：(1)因为圆O:x2+y2=4,所以0(0,0),半径为2 .设点 P(x,y),所以 |OP |=2 .又 A(0,4),所以 |OA|=4, |AP|=Jx2_(y4)2 , 因为4OAP是等腰三角形，所以 | APROA|=4 或 | APROP|=2 .,x2 »y2 =4当 |APRAO|=4