2010年复旦千分考数学试题

1、2010年复旦大学自主招生考试数学试题一.选择题：（每题5分，共155分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分）1.设函数y f x ex 1,则其反函数x f 1 y在坐标系xOy中的大致图像是（）821642 .设f x是区间 a, b上的函数，如果对任意满足a<x yw b的x、y都有f x &f y ,那么称f x是a,b上的递增函数，f x是a,b上的非递增函数应满足（）(A)存在满足x y的x、ye a,b ,使得f x f y ;(B)不存在 x、y e a,b 满足 x y,且 fx&fy；(C)对任意满足x y的x、y e a,b ,都有f x f y ；

2、(D)存在满足x y的x、y e a,b ,使得f x &f y .3 .设 、 e ，一，且满足sin cos sin cos 1,则sin sin的取值范围是()2 2(A) 也& ；(B)1,72 ;(C)0,72 ;(D)1j2 .24.设头数x> 0, y> 0,且满足2x y 5,则函数f x, y x xy 2x 2y的最大值是()(A)97(B)195(C)49(D)255.设一个多面体从前面、1）分别为(B)后面、左面、右面、上面看到的图形（其中正方形边长为则该多面体的体积为（(C)(D)6.在一个底面半径为 1 ,高为1的圆柱内放入一个直径为2心

3、球、圆柱的侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球的个数是1的实心球后，再圆柱内空余的地方放入与实(A)32 个;(B) 30个;(C)28个 l ;(D) 26 个.7.给定平面向量(1 ，1）,那么平面向量L速1是将向量（1, 1）（A）顺时针旋转（C）逆时针旋转60°60°所得;所得;(B)(D)顺时针旋转120°逆时针旋转120°所得;8.在直角坐标系Oxy中，已知点1,0 ,A212, 2,A4A 1:3A 2,万,A6 22,那么在向量i,j 1,2,3,4,5,6, i j中，不同向量的个数有()(A)9 个;(B)15个;

4、(C) 18个;(D) 30对函数f : 0,10,1f1 x f,fnf fn1,2,3,，满足x x的点x£ 0,1称为f的一个n-周期点.现设> > 1 2x,0& x0 ;21 / /2 2x-<x< 1,2f的一个n-周期点的个数是（）(A) 2n 个；(B)- 22n个;(C)2n 个;(D)2 2n1个.10.已知复数乙1 3iz .3内,则复数Z1Z2的一个辐角是（13(A)；12(B)11；12(C)(D)71211 .设复数zcosi sinsini cos(A)虫;(B)吏或(C)(D)1222212 .已知常数ki,k2满足0k

5、1k2kk21 .设 G和C2分别是以yk,x 11和k2 x 11为渐近线且通过原点的双曲线，则Ci和C2的离心率之比包等于() %13.参数方程(B)(C)1(D)k1k2x a t sin ta 0所表示的函数y f x () y a 1 cost(A)图像关于原点对称；(B)(C)是周期为2a的周期函数；(D)图像关于直线x 对称;是周期为2 的周期函数.14.将同时满足不等式x ky 2W0, 2x3y 6>0, x 6y 10<0 k0的点组成的集合D称为可行域，将函数称为目标函数.所谓规划问题就是求解可行域中的点x,y使目标函数达到在可行x域上的最小值，如果这个规划问

6、题有无穷多个解x, y ,那么k的取值为()(A) k>1 ；(B)k< 2;(C) k 2;(D) k 1 .15.某校有一个班级，设变量x是该班同学的女4名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量 是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是()(A)y是x的函数；(B)(C) 是z的函数；(D)16 .对下于原命题“单调函数小不是周期函数”,(A)逆命题为“周期函数不是单调函数” ；(B)否命题为“单调函数是周期函数”；(C)逆否命题为"周期函数是单调函数”；(D)以上三者都不正确.17 .设集合 A x, y loga x loga y 0

7、, B围是()(A);(B)a(C) 0 a02,且 a 1；(D)118.设集合x是实数集R的子集，如果点x0 e r满Jz是y的函数；是x的函数.F列陈述正确的是 ()x, y x y a ,如果A n B ,那么a的取值范0 ,且 a 1;a< 2.：对任意a 0 ,都存在x e x,使得0 xx0a ,那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则在下列集合n _ 一1_ . |n Z,n>0 ,(2)R 0,(3) -|n Z, n>0 , (4)整数集Z中，以。为聚点的集合有() n 1n(A)(2)、(3) ;(B)(1)、(4);(C)(1)、(3) ;(D)(

8、1)、(2)、(4).19.已知点A 2,0 ,B 1,0 ,C 0,1 ,如果直线y kx将 ABC分割为两个部分，那么当k等于多少时,这两个部分的面积之积最大?(A) I；(B)20.已知f42(C)- ；(D)3322x ,定义域D f-7,sin xcosx 3cos12 12,则其反函数f 1 x (A)1 arccos212(B)1 arccos2(C)1arcsin2、/312(D)1. arcsin 2 21 .设11 , 12是两条异面直线，则直线 l与l-I2都垂直的必要非充分条件是 ()(A) l是过点RC 11和点P2C 12的直线，这里 RF2等于直线11和12间的距

9、离;(B) l上每一点到11和12的距离都相等;(C)垂直于l的平面平行|1和|2;(D)存在与l1和l2都相交的直线与l平行或重合.1, P是侧面ABBA的中心点，则 P到侧面22.设ABC ABC是正三棱柱，其底面边长和高都为ACCA的对角线的距离是()(B)、3(C)148(D)3-2823 .在一个球面上回一组三个互不相交的圆，称为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和 缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，那么称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系,球面上具有不同的位置关系的三圆组有(A)2 种； (B)3 种；,(C)4

10、 种;24.设非零向量 a a1,a2,a3 ,bb. ,b2,b3 ,c(D)5 种.Cl,C2,C3为共面向量,IX()是未知向量,0的向量X的个数为()(A)1个； (B) 无穷多个； (C)0 个； (D) 不能确定.25.在坐标平面上 Oxy给定点A 1,2 ,B 2,3 ,C 2,1 ,矩阵 2 k将向量oA , oB , OC分别变1 1换成向量如果联结它们的终点B、C构成直角三角形，且斜边为 BC ,那么k ()(D)0,2 .,An cw ,则下列选项中正确的是()(A) 2;(B)2;(C)0;26.设集合A、B、C D是全集X的子集，AA Bw (A)若 D B或% C.

11、贝U DA Aw(B)若D：沪A,贝U，Dn Bw, XDA Cw(C)若D?A,则(X DA B=, (XDC C=(D)上述各项都不正确.27.已知数列 an满足ai2,且同 是公比为2的等比数列，则ak ()nk i(A)n|2n 1 2；(B)n l|2n1 2；(C) n|2n 2 n 1 ；(D)n 1 12n 2n .z 1 后、口28.复平面上圆周 -的圆心是()z 1 i 2(B) 3 i ;(C)1 i ;29 .已知C是以。为圆心、r为半径的圆周，两点P、p在以。为起点的射线上，且满足op|op则称P、P关于圆周C对称，那么，双曲线x2y2 1上的点P x,y关于单位圆周

12、C ： x2 y2 1的1 .答案A对称点P所满足的方程是()2 22442222 2(A) x y x y ；(B) x y x y ；224422c 222(C) x y 2 x y ；(D) x y 2 x y .x xcos vsin2230 .经过坐标变换7 ，将二次曲线3x2j3xy 5y 6 0转化为形如y xsin ycos2 x2 a2 y b21的标准方程，则的值及二次曲线的类型是()(A)k k Z ,椭圆；6(B)k一 一k Z ,椭圆;(C) k k Z ,双曲线；6(D) - k Z ,双曲线.26k有整数解的必要条件是()31 .设k、m、n是整数，不定方程 mx

13、 ny(A) m、n 都整除 k ；(B)(C) k、m、n两两互质； (D) m、n的最大公因子整除 k ；k、m、n除1外没有其他公因子.2010年名牌大学自主招生考试试题 (1)详解适用高校：复旦大学选择题(每题5分，共155分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分)y的图像即y f x的图像.解答注意到反函数表达式中x与y没有互换，所以X f解答“任意”的否定是“存在” ，的否定是“ >”.3 .答案D解答依题意，sin1 ,因为 < W ,所以一2又因为-,-.所以 0,-, 2 227.答案C立.2r,解得r 32因为152arcsinsin sin sin cosV2s

14、in一1,V2 -44 .答案C5解答因为y 5 2x>0,所以CKx<22一349349消去y ,得f x x - 竺，当x 3时，/竺.24245 .答案D解答该几何体是一个棱长为1的正方体截去一个角所得.6 .答案B解答如图，图（1）是圆柱的轴截面，图（2）是圆柱的底面. 1设小实心球的半径为r ,则r 12AOB= arcsin所以 AB 3 2 J2 , OA= OB=短 1 ,且解答因为向量8 .答案C4a- 3260 ,结合图像知选(C).解答依题意，A、A、A A、A、A6是正六边形的6个顶点，其中模为1、阴、2的向量各有6个，所以向量AAj(i,j=1,2,3,4

15、,5,6,ij)中，不同向量的个数为18. 解答将x写成二进制小数0aa2an 2,其中10.11 1f x定义知,f x0.a2a3an2若 x0.a1a2an2 是 f x 的 n周期点，则0a2an204自2 a2n 2,即x在二进制下是以n为周期的循环小数，这样的x共有2n个.10 .答案A评注乙的辐角主值为一，z2的辐角主值为 33 一，贝U Z1Z24的辐角主值为一3313412221211 .答案C.解答因为zwsincossin cossinsincos cos i-.32，所以sincossincossinsincoscos因为cos0,所以sin又因为 sin 2 sin

16、2J3,即 sin cos3 . cos一，sin212 .答案C2“ -y 1解答依题意，设C1: y 2 ab222x 1 y 1C2: A2 B2因为C1,C2都过原点，所以1A21口111121 ,即一222B2 a2 B2b2A2又因为k1k2 ai B1,所以一|一Na1,r 11即，所以aB bA1 口 1一，且一13 .答案C解答当X2a2aa t sinta t 2 sin t 2 时，相对应的y a 1 cos tf x ,所以f x是周期为2a的周期函数.14.答案C- y 1 .解答-一表不可行域中一点x,y与点0, 1连线斜率，当规划问题有无数多个解时，点x0,在直线

17、x ky 2 0上，所以k 2.1516 解答当0 a1时，Ax, y0 xy 1, x当a 1时，Ax,y xy1,x0,y 0 .若A n B =，则曲线xy 1与x y a仅有一个交点或无交点，消去ax 10,所以a24<0 ,解得 1 a02.18.答案A一， 一 一， 1解答R 0 与 一|n Z,n>0 n中均存在以0为极限的非零实数列.答案B.答案D解答逆命题：如果一个函数不是周期函数，那么它是单调函数; 否命题：如果一个函数不是单调函数，那么它是周期函数； 逆否命题：如果一个函数是周期函数，那么它不是单调函数.19.答案A解答当且仅当两部分面积相等时,这两部分的面积

18、之积最大,此时直线kx过线段AC上一点D,且 OA AD喙即AD3.5420.答案A解答因为f x1sin2x 2cos2x 1sin2x,32cos2x 6I3且 2x 0,61一 arccos、3x -.答案Dx 1 回1 * 2221 .答案D解答l1,l2的公垂线与l平行或重合.22 .答案C2解答设P在侧面ACCA上的射影为H ,则H到侧面ACCA对角线的距离为 8且PH所以P到侧面ACC A对角线的距离为23 .答案A提示如图，不同的三圆组位置只有两种可能.24 .答案B 1111解答向量x与a、b、c都垂直，只需取25 .答案B4bc所在平面垂直，显然这样的 x有无穷多个.解答依题意，A 2 2k,1 ,B 4 3k,1 ,C 4 k, 1 ,所以因为AC，所以 2k 2k0 0,k2.当k 2时，A&