平面向量的线性运算及练习试题

1、平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法(1)定义已知非零向量a，b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量ACH叫做a与b的和，记作ab,即ab=AB+BC=AC.求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.说明：运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为和向量.两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.(2)向量加法的平行四边形法则以点O为起点作向量0Aa,OBb,以OA

2、,OB为邻边作UOACB,则以0为起点的对角线所在向量OC就TTT、是a,b的和，记作ab=OC。说明：三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.iTTT，对于零向量与任一向量a,a00aa(3)特殊位置关系的两向量的和当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|；1Mh,a*t，i*itt当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若1a|>|b|,则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a

3、|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.(4)向量加法的运算律11l-1向量加法的交换律：a+b=b+a-<HT-»-»向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+C)知识点二：向量的减法(1)相反向量：与a长度相同、方向相反的向量.记作a。i-i-I-(2)向量a和-a互为相反向量，即-(-a).零向量的相反向量仍是零向量.I-I-I-I-t任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0.hTTTTTtt如果向量a，b互为相反向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0.TTTT(3)向量减法的定义：

4、向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.TTTT即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.(4)向量减法的几何作法hThr节T_Tf在平面内任取一点CU0Aa，OBbiBAab.即ab可以表示为从向量TTb的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.I.T-说明：AB表示ab.强调：差向量“箭头”指向被减数rhrf用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b),显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义h(1)定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，h记作a,它的长度与方向规定如下：hh|入a|=|入|a|Thhh当

5、0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反.hh当0时，入a=0(2)向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设、为实数，那么TT入(na)=(入p)a；II(入+p)a=a+hNa;brr入(a+b)=入a+入b.知识点四：向量共线的条件TTT向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a.学习结论(1)两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定，这两种法则本质上是一致的.共线向量加法的几何意义，为共线向量首尾相连接，第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量.*hh(2)ab

6、可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量(3)实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加.hhhhhh(4)向量a(a°)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a。练习!I-r>HTi-f*例1.已知任意两个非零向量a，b,作OAab,OBa2b，0Ca3b，试判断AB、C三点之间的位置关系.解：AB=OB-0A=a+2b(a+b)=b,1'IMl且AC=0c0A=a+3b(a+b)=2b,hAC=2AB.所以，A、B、C三点共线.例2.如图，平行四边形ABCD勺两条对角线相交于卜_h工-h-h-h，国»JAB二

7、3，AD=b，试用a,b表示向量MA,MB,MC,MD解析：AMMC=1(ab),所以:1,；-21一一1；MA-(ab),DMMBMAAB-(ab)所以MD(ba)222例3.一艘船从长江南岸A点出发以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的流速为向东2km/h.试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)；求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度).分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解析：如图，设AD表示船向垂直于对岸行驶的速度，AB表示水流的速度，以AQAB作邻边作平彳T四边形AB

8、CD则AC就是船实际航行的速度.在RtABC中，|AB|=2,|BC|=5,-aC|AC|=AB2BC-252府5.4/5_:tan/CA氏，.CAB682答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为约为68°.1.(2006上海理)如图，在平彳T四边形ABCD,下列结论中错误的是()(A)AB=DC；(C)AB-AD=BD；2.(2007湖南文)若。E、(B)AD+AB=AC；(D)AD+CB=0.F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EFOFOEB.EFC.EFOFOED.EF3. (2003辽宁)已知四边形ABCD菱形,()A.(ABAD),

9、(0,1)C. (ABAD),(0,1)OFOEOFOE点P在对角线AC上(不包才端点A、C),则AP2B.(ABBC),(0,看)_.2、D. (ABBC),(0,)2CB0,4.(2008辽宁理)已知O,AB是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2AC则OC()a.20AObb.Oa2Obc.2oa1OBd.-oa-ob33335. (2003江苏；天津文、理)O是平面上一定点，ABC是平面上不共线的三个点，ABAC动点P满足OPOA(?B7AC),0,，则P的轨迹一定通过ABC的1ABAC()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心6. (2005全国卷n理、文)已知点A(J3,1)

10、,B(0,0),C(>/3,0).设BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BCCE,其中等于()11(A)2(B)-(C)-3(D)237 .设a,b是两个不共线的非零向量，若向量ka2b与8akb的方向相反，则k=.8 .(2007江西理).如图，在ABC中，点0是BC的中点，过点0的直线分别交直线ARAC于不同的两点MN,若AB=mAM*,AC=nAN,则m+n的值为.9 .(2005全国卷I理)ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,OHm(0AOBOC),则实数m=10 .(2007陕西文、理)如图，平面内有三个向量oA、oB、oC,其中oa与0B的夹角为120。，0

11、A与0C的夹角为30。，且|oa|=0B=1,OC=2<2.若OC=OA0B(,R),则的值为例1.B.例2.A.例3.B.(三)基础训练：1. C;2.B.3.A.4.A.5.B6.C;7.4_;8.2.9.J10.26.(四)拓展与探究：-1311、D.;12.(,0),(,).22平面向量的线性运算（复习课）复习目标：?1、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义?2、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义?3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重,点：向量加、减、数乘运算及其几何意义难点：应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题一、学案导学自主建构复习

12、1:向量的加法复习2:向量的减法已知向量a和向量b,作向量a+b.已知向量a和向量b,作向量a-b.复习3:向量的数乘已知向量a,作向量3a和-3a.复习4:平面向量共线定理二、合作共享交流提升(2)ABCBDJ-(3)ABACBDCD自I测回扣目1、填空：（1）ADCA(4)在平行四边形ABCD中，若AB'AD,iABAD；则BAD2、判断题：(1)相反向量就是方向相反的向量(2) aBbA0(3) ABOAOB(4) 在abc中，必'有ABBCCA0(5)若ABBCCA0,则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。3、若OA3OB2OC,则A,B,C三点是否共线三、案例剖析总结规律例1:根据条件判断下列四边形的形状ADBC(2)AD1BC(3)ADBC,且IXB.AD.3(4)0aOcObOD；(o是四边形所在平面内一点)(5)ACabad(6)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,并且AOOC,DOOB例2、如图，在OAB中，延长BA到C,使AC=BA在OB上取点D,使BD=OB.DCWOA交于E,设OAa,OBb,请用a,b表示向量OC,DC例3、设？ABCD-边AB的四等分点中最靠近B的一点为E,对角线BD的五等分点中靠近B的一点为F,求证：E、F、C三点在一条直线上.四、反馈