热传导方程的求解

1、应用物理软件训练MATLAB是美国MathWork公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLABSimulink两大部分。MATLAB矩阵实验室(MatrixLaboratory)的简称，和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLA国以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识

2、进行MATLA数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB值实现可视化。题目：热传导方程的求解目录一、参数说明.1二、基本原理.1三、MATLAB程序流程图3四、源程序.3五、程序调试情况6六、仿真中遇到的问题9七、结束语9八、参考文献10参数说明U=zeros(21,101)返回一个21*101的零矩阵x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量meshz(u)绘制矩阵打的三维图axis(0210

3、1);横坐标从0到21,纵坐标从0到1eps是MATLAB认的最小浮点数精度X,Y=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同waterfall(RR,TT,wn)瀑布图基本原理1、一维热传导问题(1)无限长细杆的热传导定解问题It=()=W(N)利用傅里叶变换求得问题的解是:(0<<1)(a:<0?a?>1)这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得、f11(-一.产一产e4必然Jo2aVTvt(2)有限长细杆的热传导定解问题2口力一Qu岔x其中0WxW20,即L=20,取a=1Cfltita2uxx=buT(0<</,f20)“(a:=0)

4、=0?(£=/)=0u(t0)(x1/2)22、二维热传导问题定解问题Ut=kA2(Uxx+Uyy)(0MxMa,0<y<b)得的解是解析解是与“显UK如4/e2a2sExU(x=0,y,t)=0,u(x=a,y,t)=sin苴bU(x,y=0,t)=0,u(x,y=b,t)=二xsin一cos一aa2"勺,“2f77TTsinx2010?7T89嬴n=1(3)非齐次方程定解问题是IhZTTCOS20&L727T2/sin-U(x,y,t=0)=03、三维热传导问题球体内的热传导令u=w+Uo则W勺定解问题是Wt=wwW(r=ro)=0W(t=to)=u

5、o-Uo解为n二rrow/Uo"F-2osin二rnJnr为空间变量，并用x,y表示。三、MATLAB序流程图四、源程序1、一维有限长细杆的热传导x=0:20;t=0:0.01:1;a2=10;r=a2*0.01;u=zeros(21,101);u(10:11,1)=1;是把上述矩阵中的第10行，11行的第一列全部设成1forj=1:100u(2:20,j+1)=(1-2*r)*u(2:20,j)+r*(u(1:19,j)+u(3:21,j);Plot(u(:,j);axis(02101);横坐标0到21,纵坐标0到1pause(0.1)暂停0.1秒endmeshz(u)2、非齐次方

6、程的定解问题a2=50;b=5;L=1;x,t=meshgrid(0:0.01:1,0:0.000001:0.0005);Anfun=inline('2/L*(x-L/2).A2.*exp(-b*x/2/a2).*sin(n*pi*x/L)','x','n','L','b','a2');%定义内联函数u=0;forn=1:30An=quad(Anfun,0,1,n,L,b,a2);%inline函数中定义x为向量，其它为标量un=An*exp(-(n*n*pi*pi*a2/L/L+b*b/4/a2/

7、a2).*t).*exp(b/2/a2.*x).*sin(n*pi*x/L);u=u+un;size(u);mesh(x,t,u);%x,t,u都为501行101列的矩阵figuresubplot(2,1,1)plot(u(1,:)subplot(2,1,2)plot(u(end,:)end差分法dx=0.01;dt=0.000001;a2=50;b=5;c=a2*dt/dx/dx;x=linspace(0,1,100);%将变量设成列向量uu(1:100,1)=(x-0.5)A2;%初温度为零figuresubplot(1,2,1)%初始状态plot(x,uu(:,1),'linew

8、idth',1);axis(0,1,0,0.25);subplot(1,2,2)%演化图h=plot(x,uu(:,1),'linewidth',1);set(h,'EraseMode,xor,)forj=2:200uu(2:99,2)=(1-2*c)*uu(2:99,1)+c*(uu(1:98,1)+uu(3:100,1)-.b*dt/dx*(uu(3:100,1)-uu(2:99,1);uu(1,2)=0;uu(100,2)=0;%边界条件uu(:,1)=uu(:,2);uu(:,1)set(h,'YData',uu(:,1);drawnow

9、;pause(0.01)end三维热传导问题U0=2;u0=0;a2=2;N=10;r=eps:0.05:1;theta=linspace(0,2*pi,100);t=0.1:0.001:0.2;RR,TT=meshgrid(r,t);figure(1)R,TH=meshgrid(theta,r);X,Y=pol2cart(R,TH);fortt=1:100un=0;fork=1:Nunn=2*(U0-u0)*(-1)Ak.*sin(k.*pi.*(XA2+YA2)A0.5).*.exp(-kA2*piA2*a2*t(tt)./(pi.*(XA2+YA2)A0.5);un=unn+un;end

10、mesh(X,Y,un);axis(-11-11-0.40);pause(0.1)endfigure(2)wn=0;fork=1:Nwnn=2*(U0-u0)*(-1)Ak.*sin(k.*pi.*RR).*.exp(-kA2*piA2*a2*TT)./(pi*k.*RR);wn=wnn+wn;endwaterfall(RR,TT,wn)xlabel('r')ylabel('t')五、程序调试情况1、有限长细杆的热传导开始时段时间后2、（1）非齐次方程的解析解（港）整体图（b）初始状态（c）最后状态（2）非齐次方程的数值解（差分法）（也）初始状态.（b）最后状态

11、.3、二维热传导问题4、三维热传导问题解析解的动画图解析解的瀑布图六、仿真中遇到的问题几乎所有的工程问题都能转化成数学模型来解，而且借助MATLAB大多数的模型的数值解的精确度均能满足要求。但是，存在的问题也不少。首先，数值解法存在许多局限性，一个解只能适用于一个或几个模型，或者一个或几个方程。而解析解的得到能使我们得出所有同类问题的通解，并且精确度高于数值解。这是由于数学的发展程度还不足以满足自然科学的发展要求，数值解法只是一个权宜之计。其次，MATLA阻然能处理大量的数学问题，但其命令繁多，再加上各种工具箱，要完全学会和很好的使用MATLA即是一件容易的事情，在编辑和阅读程序时通常要借助工

12、具书查询相关命令，这样就增加了使用难度，使彳#MATLAB不能广泛的普及。再者，要合理的使用MATLA来解决数学问题，必需是建立在良好的数学基础之上的，这就势必要求MATLAB勺使用者有扎实的数学功底，这又给MATLAB勺普及带来了挑战。最后，由于工程中的导热问题的数学模型并不一者B能很顺利的建立，这就给使用MATLABS决导热问题增加了难度。七、结束语在这短短的一周内从开始的一头雾水，到自己看书学习，到同学讨论，再进行整个题目的理论分析和计算，参考课程上的代码，写出自己的代码。我们也明白了学无止尽的道理，在我们所查的很多参考书中，很多知识是我们从没有接触过的，我们对它的了解还仅限于皮毛，对它的很多功能以及函数还不是很了解，所以在这个学习的过程中我们穿越在知识的海洋中，一点一点吸取着它的知识。在MATLA踹程中需要很多的参考书，要尽量多的熟悉matlab自带的函数及其作用，因为matlab的自带函数特别多，基本上能够满足一般的数据和矩阵的计算，所以基本上不用你自己编函数。这一点对程序非常有帮助，可以使程序简单，运行效率高，可以节省很多时间。本次课设中用了很多MATLAB带的函数，使程序变得很简单。把基本的知识看过之后，就需要找一个实际的程序来动手编一下，不要等所有的知识都学好之后再去编程，你要在编程的过程中学习，程序需要什么知识再去补充，编程是一点一点积