第8讲费马点最值模型原卷版

1、中考数学几何模型8:费马点最值模型拨开云雾开门见山名师点睛费马尔问题思考：PA+PB+PCM小？如何找一点P使它到ABC三个顶点的距离之和BPAPCP=BPPQQEBE当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1 .如果三角形有一个内角大于或等于120。，这个内角的顶点就是费马点；2 .如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：1 .费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2 .费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120

2、76;。费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.秘诀：以4ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究启迪思维探究重点例题1.已知：4ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。/AGC=/AGB=/BGC=120.求证：GA+GB+GC的值最小.变式练习>>>1 .如图，P是边长为1的等边ABC内的任意一点，求tPAPBPC的取值范围.例题2.已知正方形ABCD内一动点E至ijA、B、C三点的距离之和的最小值为衣娓,求正方形的边长.变式练习>>>2 .若P为锐

3、角4ABC的费马点，且/ABC=60°,PA=3,PC=4,求PB的值.例题3.如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为1,求l的最小值.A1000md变式练习>>>3 .如图，某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米，AD=800米，顶点A,D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上(含B,C两点)开一个货物入口M,并修建三条专用车道PA,PD,PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M,P建

4、在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留整数)例题4.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为A(-6,0),B(6,0),C(0,4>/3),延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE/AB交BC的延长线于点E.(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连接DF、EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；(3)在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确

5、定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求：简述确定G点位置的方法，不要求证明)例题5.如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C.(1)求b、c的值；(2)如图1,点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为4ACG内一点，连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边4APR,等边AACQ,连接QR求证：PG=RQ;求PA+PC

6、+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.领悟提升强化落实达标检测1.如图，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为.AB=2,贝UAP+BP+CP的最小值为(4D.3/23 .如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且/ABC=/ABE=60°,M为对角线BD(不含B点)上任意点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,则AM+BM+CM的最小值为4 .WABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上,/ABC=30°

7、;,点P为平面内一点.(1)/ACB=度；(2)如图，将4APC绕点C顺时针旋转60。，画出旋转后的图形(尺规作图，保留痕迹)；(3)AP+BP+CP的最/、值为.*-1WS3H-in尸'V!'、VI：1RV1Il*I.1.-j1IIL.r-!W!l!L*卜耳a*i'Bra*(1>111|i!ibiic:：L|HIL.Illi!IlinH<KHI111l)!iiili11i1l>1|1|lL-4一一.L-I-jiirk_l>Jl*1w3,lL.-1号用国3C6.已知，在4ABC中，/ACB=30°(1)如图1,当AB=AC=2,求BC的

8、值；(2)如图2,当AB=AC,点P是4ABC内一点，且PA=2,PB=J(3)如图3,当AC=4,AB=V7(CB>CA),点P是4ABC内一动点，国1图2,PC=3,求/APC的度数；贝UPA+PB+PC的最小值为胪图35.如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB=10公里，BC=15公里，现在要设立两个车站E,F,贝UEA+EB+EF+FC+FD的最小值为公里.7.如图1,在4ABC中，/ACB=90°,点P为4ABC内一点.(1)连接PB,PC,将4BCP沿射线CA方向平移，得到ADAE,点B,C,P的对应点分别为点E,连接CE.D、A、依题意，请在图2中补全

9、图形；如果BPXCE,BP=3,AB=6,求CE的长(2)如图3,以点A为旋转中心，将4ABP顺时针旋转60°得到AAMN,连接PA、PB、PC,当AC=3,AB=6时，根据此图求FA+PB+PC的最小值.38.（1）阅读证明P为AABC的如图1,在ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点费马点，此时PA+PB+PC的值为4ABC的费马距离.如图2,已知点P为等边ABC外接圆的京上任意一点.求证：PB+PC=PA.（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻4ABC（其中/A,ZB,/C均小于120°）的费马点和费马距离的方法:第一步：如图3,在ABC的外部以BC为边长作等边4BCD及其外接圆；PoA+P0B+PoC=PoA+(P0B+P0C)=P0A+;第二步：在一而上取一点Po,连接PoA,P0B,P0C,P0D.易知第三