小学奥数-几何五大模型蝴蝶模型分解

1、模型三任意四边形、梯形与相似模型蝴蝶模型（任意四边形模型）Si：S2$4：0或者818382s4AO:OCSS2：S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线ACBD分成四个部分，AOB1积为1平方千米，BOO积为2平方千米，4COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】根据蝴蝶定理求得SAaod3121.5平

2、方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,求：三角形BGC的面积；AG:GC?【解析】根据蝴蝶定理，Sbgc123,那么Sbgc6；根据蝴蝶定理，AG:GC12:361:3.(?)【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1,且A02,DO3,那么C0的长度是DO的长度的倍。在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型

3、靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S,abd:S.BCD1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已造这个"不良四边形”知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：:AO:OCSABD:SBDC1:3,0C236,.OC:OD6:3解法二：作AHBD于H

4、,CGBD于G.SABDAHSAODA00C1sSBCD,31CG,31sSDOC,31-CO,3236,OC:OD6:3【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于0点，4CEF、A0EF>A0DF>ABOE的面积依次是2、4、4和6。求：求OCF的面积；求4GCE的面积。根据题意可知，ABCD的面积为244616,那么ABCO和CDO的面积都是1628,6,所以40CE的面积为1:2,所以SGCE:SGCF862,EG:FG1:2,所以OCF的面积为844;由于ABCO的面积为8,BOE的面积为根据蝴蝶定理，EG:FGSCOE:SCOF2:4一1一12那么SGCESCEF-2一

5、1233例4【解析】【例5】67在&ABE,&CDE中有AEBCED,所以&ABE,&CDE的面积比为（AEEB）:（CEDE）。同理有&ADE,BCE的面积比为（AEDE）:（BEEC）。所以有SabeXScde=SadeXSbce,也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、卜部分的面积之积等于左右部分的面积之积。比为7:6,Sabe=3967显然，最大的三角形的面积为（2008年清华附中入学测试题O即SiABE6=Saade7,所以有ABE与ADE的面积21公顷，Sde=6-3918公顷。6721公顷

6、。）如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？连接AD、CD、BC。则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为:2,ACD的面积为:4ABD的面积为：212所以BO:ODSABC:SACD2:3.54:7,所以SaboSABD4111211例6【巩固】因为1,求三角形ABC的面积。BD:CE2:5,且BD/CE,所以DA:AC2:5,SABCSDBC107（2007年人大附中考题）如图，边长为1的正方形ABCD中，BE2EC,CFF

7、D,求三角形AEG的面积.【解析】连接因为BE2EC,CFFD所以SDEF1(2)S_ABCD因为Saed2s-ABCD,根据蝴蝶定理,AG:GF【例71【例8】【解析】所以所以12SAGDSAGE6SGDF6sSADF7LABCDABCDSAEDSagdS,ABCD23sS_ABCD14S_ABCD7112SABCD.r12即三角形AEG的面积是-7如图，长方形ABCD中,方形ABCD的面积.【解析】BE:EC2:3,DF:FC1:2三角形DFG的面积为2平方厘米，求长因为BE:EC2:3,DF:FC所以S工DEF(1内长万形ABCD2SiiT形ABCD101一因为S.AEDS长方形ABCD

8、,AG:GF221015:1所以SAGD5sGDF10平方厘米，所以Safd12平1万厘米.因为SAFD一乞:方形ABCD?所以长方形6如图，已知正方形ABCD的边长为形BDG的面积.设BD与CE的交点为O,连接10厘米,ABCD的面积是72平方厘米.E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角BE、DF.由蝴蝶定理可知EO:OCSBED:SBCD,而SBED1ssABCD)4SBCD1ssABCD,21所以EO：OCS.bedSbcd1:2,故EOEC.31 由于F为CE中点，所以EFEC,故EO:EF2:3,FO:EO1:2.211由蝴蝶定理可知S.bfd:S,bedFO：EO1：2,

9、所以Sbfd-S.bed-Sabcd,-2-8_1 11那AS±bgdS=bfdSabcd10106.25（千方厘米）.2 16-16【例9】如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1,则MNC的面积是【解析】这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.根据蝴蝶定理得SMONSAOMSBONSaob设SMONx,根据共边定理我们可以得SANMSABMSMNCSMBCx22.5.【例10】（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形AA2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别

10、是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.【解析】如图，设B6A2与BAb的交点为O,则图中空白部分由6个与A2O人一样大小的三角形组成，只要求出了A20A3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接AAb、B6B1、B6A3.设AiBiB6的面积为”1“，则B1A2B6面积为"1“，AA2B6面积为"2“，那么A6A3B6面积为AA2B6的2倍，为"4"，梯形AlA2A3A6的面积为224212,A2B6A3的面积为"6“，BiA2A3的面积为2.612根据蝴蝶定理，BOA3OSB1A2B6,SA3A2B61:

11、6,SA20A3,SBA2A3,163712113一一、.6所以阴影部分面积为147所以S4oa3：G弟形AA2AA了：12：1：7,即A20A3的面积为梯形AA2AA面积的-,故为K边形1一一，AA2AA4A5A面积的,那么空白部分的面积为正六边形面积的143200911148（平万厘米）.7板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:2,2,a:b:ab:ab；2ab. S1:0a2:b2 Si:S3:S2:S4S的对应份数为梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用

12、将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）【例11如图，S22,S34,求梯形的面积.【解析】设G为a2份，G为b2份，根据梯形蝴蝶定理，S34b2,所以b2；又因为S22ab,所以a1;那么S,a21,S4ab2,所以梯形面积SSiS2s3s412429,或者根22据梯形蝴蝶定理，Sab129.【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知4AOB与BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.【解析】根据梯形蝴蝶定理，S,aobSboca2:ab25:35,可得a:b5:7,再根据梯形蝴蝶定理，S-AO

13、B:SDOCa2:b252:7225:49,所以Sdoc49（平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为25353549144（平方厘米）.【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角2形BOC面积的-,求二角形AOD与二角形BOC的面积之比.3【解析】根据梯形蝴蝶定理，S,aob：S.bocab:b22:3,可以求出a:b2:3,2222再根据梯形蝴蝶定理，S.aod：S.boca:b2:34:9.通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.【例

14、13】AC和BD交于O点，已知AO1,并且（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线手篮窝5，那么0c的长是多少？根据蝴蝶定理,三角形ABD的面积三角形CBD的面积AOAO,所以COCO3一5,又AO1,所以CO53【例14】三角形OBC的面积是29cm2,向三角形AOD的面积是多少?根据梯形蝴蝶定理，a:b1:1.5所以Saod4cm2.2:3,Saod:Sboc22_2_2a2:b222:324:9,COD的面积分别为【巩固】【解析】1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.2Siaod:Saobab:ab:a3:2522a:b4:9,所以a:b2:3,一一3SaodScob1.21.8

15、,2弟形abcd1.21.81.82.77.5.【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH的面积.【解析】如图，连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是112334.【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等

16、于三角形1和三角45形3,所以1的面积就是3616,3的面积就是3620.4545【例16如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道S*AAMG:SAABG:SAMCG:SABCG12：（12）：（12）:221:2:2：4,设SAAGM1份，则SAMCD123份,所以正方形的面积为1224312份，随影224份，所以随影：S正方形1:3,所以随影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABC

17、D面积是平方厘米.【解析】连接DE,根据题意可知BE:AD1:2,根据蝴蝶定理得S梯形（12）29（平方厘米），Scd3（平方厘米），那么Sabcd12（平方厘米）.【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.因为E,F是DC边上的三等分点，所以EF:ABSAAOESAOFB3份，SAAOB9份，SAADESABCF1:3,设Saoef1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道2（13）份，因此正万形的面积为44（13）246,所以S阴影：S正方形6:241:4,所以务影3平方厘米.【例18】ABCD中，AB6厘米，AD2厘米，AEEFFB,求阴影部分

18、的面积.如图，在长方形【解析】方法一：如图，连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为26322平方厘米.由于EF:DC1:3,根据梯形蝴蝶定理,SDEO:SEFO3:1,所以SDEO3一ssDEF，而SDEF4SADE2平方厘米，所以S.DEO方法二：如图，连接3).4DE,21.5平方厘米，阴影部分的面积为FC,由于EF:DC1:3,设SaOEF份,Sw2S梯形EFCD(13)437份，而16份，SAADES长方形ABCD62Sabcf134份，因此12平方厘米，所以&o21.53.5平方厘米.1份，根据梯形蝴蝶定理,Se方形ABCD43.5平方厘米Sao

19、ed316424份,【例19】（2008年“奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形,面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.BC:CE3:2,三角形ODE的【解析】连接AC.由于ABCD是平行四边形，BC:CE3:2,所以CE:AD2:3,22.、根据梯形蝴蝶定理，S-coe:S-aoc:S-doe:S.aod2:23:23:34:6:6:9,所以SAOC6（平方厘米），SAOD9（平方厘米），又SABCSACD6915（平方厘米），阴影部分面积为61521（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是

20、平方厘米.【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SdSoae.根据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD4936,故SOCD36,所以SOCD6（平方厘米）.【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SocdSoae.根据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD2816,故SOCD16,所以SOCD4（平方厘米）.11另解：在平行四边形ABED中，Sade-Seabed-16812（平万厘

21、米），22所以SAOESADESAOD1284（平方厘米），根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244（平方厘米）.【例20】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米,CED的面积是10平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米?【分析】连接BF,根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为1010520（平方厘米），所以长方形的面积为201060（平方厘米）.四边形ABEF的面积为605102025（平方厘米）.【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4

22、平方厘米，CED的面积是6平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【解析】（法1）连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6649（平方厘米），所以长方形的面积为96230（平方厘米）.四边形ABEF的面积为3046911（平方厘米）.（法2）由题意可知，EF42,根据相似三角形性质，空空2,所以三角形BCE的面积为：EC63EBEC326-9（平方厘米）.则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15230（平方厘米）.四3边形ABEF的面积为3046911（平方厘米）

23、.【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？【解析】因为连接ED知道ABO和AEDO的面积相等即为54,又因为OD：OB=16：9,所以4AOD的面积为5491696,根据四边形的对角线性质知道：BEO的面积为：54549630.375,所以四边形OECD的面积为：549630.375119.625（平方厘米）.【例21】（2007年“迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.【解析】连

24、接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以SEODSFOC,又根据蝴蝶定理，SEODSFOCSEOFSCOD,所以SEODSFOCSEOFSCOD2816,所以SEOD4（平方厘米），Secd4812（平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289（平方厘米）.【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是.i9AO【解析】解法一：连接DE,依题意Saob-BOAO254,所以AO12,【例23】则SAOD1八八1-DOAO-161296.221又因为S.A

25、OBSDOE54-16OE,所以OE21133付S,boeBOEO9630,2248所以SoECDS.BDCS.BOES,ABDS.BOE5496解法二：由于SAOD:SAOBOD：OB16:9,所以6r3038SAOD1654一96,而SDOESAOB54,根据蝴蝶定理，S工BOESAODSdAOBSDOE,所以SBOE545496所以SoecdS.bdcS.BOES.ABDS,BOE35549630-119.88308如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG的面积48,AK:KB1:3,则DEFG是正方形，线段BKD的面积是多少？AB与CD相交于K点.已知正方形【解析】由于DEFG是正方形，

26、所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和11一.ACK的面积是相等的.而AK:KB1:3,所以ACK的面积是ABC面积的，那么BDK134一一一，1的面积也是ABC面积的-.4由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE,可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.1那么BDK的面积为48-12.4【例24如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8,ABF的面积是9,BCF的面积是27.那么阴影AEC面积是多少？【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到SA

27、FBSDFCSAFDSBFC,而SAFBSDFC（等积变换），所以可得【例26】SAFDSAFBSCDF99并且SAEF所以阴影SBFC273,SADFSAEDAEC的面积是:【例25】6,那么阴影部分面积为多少?1.81.2,而SAFB：SbfcAF:FC9:271:3,SAECSAEF41.244.8.连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质,六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积18和梯形蝴蝶定理把如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点.三角形ABC的面积是多少平方厘米?ABC由这6部分【解析】因为E是DC中点，F为AC中点

28、，有AD2FE且平行于AD,则四边形ADEF为梯形.在梯形22ADEF中有=，乂=X，：二AD:FE=4.又已知-=6,所以=6(41)2,二48,所以乂=X=16,而=，所以=4,梯形ADEF的面积为、四块图形的面积和，为844218.有以CEF与dADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1:4.所以dADC面积为梯形ADEF面积的上一=弓，即为18乡24.因为D是BC中点，所以4-133ABD与&ADC的面积相等，而&ABC的面积为&ABD、&ADC的面积和，即为242448平方厘米.三角形ABC的面积为48平方厘米.【例27如图，在一个边长为6的正方形

29、中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为.【解析】本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5,因此空白处的总面积为61.5242222,阴影部分的面积为662214.解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为2:61:3,根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面

30、积之9比为12：13:13:321:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的一，阴影部分的面16积占该梯形面积的工，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的,那么阴影部分的面积为1616722(62)14.16【例28如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE2BE,CF2DF,连接BF、DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为S1,正方形PCNG的面积为S2,则&:S2连接BD、EF.设正方形ABCD边长为3,则CECF2,BEDF1,所以，EF22222222.222BD3318.因为EFBD81814412,所以EFBD12.由梯形蝴蝶定理，得8,SaGEF:SaGBD:SaDGF:SnBGE22_EF:BD:EFBD:EFBD8:18:12:124:9:6:6,所以，SABGE所以S弟形BDFES®形BDFE&弟形BDFE-因为SABCD34966259一32-,SAcef2222,2SabcdSacef一，所以，SABGE225由于BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CNND22所以AM:CNDN:CN3:2,则S:S2AM:CN9:4.【例29】如下图，在梯形ABC