线性代数模拟试题4套

1、模拟试题一一、判断题：（正确：V,错误：X）（每小题2分，共10分）1、若A,B为n阶方阵，则|AB|AB（）2、可逆方阵A的转置矩阵AT必可逆.（）3、n元非齐次线性方程组Axb有解的充分必要条件R（A）n.,（）4、A为正交矩阵的充分必要条件ATA119、设A012,则当t时，A的行向量组线性无关00t510、方阵A的特征值为，方阵BA24A3E,则B的特征值为三、计算：（每小题8分，共16分）（）5、设A是n阶方阵，且|A|0,则矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合.（）二、填空题：（每空2分，共20分）1、A,B为3阶方阵，如果|A|3,|B|2,那么|2AB1|.2、行列式中元

2、素a。的余子式和代数余子式Mj,Aj的关系是.3、在5阶行列式中，项a13a32a24a41a55所带的正负号是.4、已知A201,B65贝UAB252.5、若A52,则A121101086、设矩阵011013是4元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵，则Axb的通解为7、RABRARB.-*.一.*8、若A是A的伴随矩阵，则AA1、已知4阶行列式D1121011142262121，求2A11A21A313A41.2、设矩阵A和B满足ABA2B,其中A10,求矩阵B.1四、（10分）求齐次线性方程组x1x13x12x1*2*2x22x2*32x32x34x3X4X45x42x40000的基础解系和

3、它的通解.五、（10分）设三元非齐次线性方程组Ax110(11)(2b的增广矩阵为2(1)，2)(1)(1)讨论当取何值时，Ax解.b无解,有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通六、（10分）判断向量组A:a132111223746422的线性相关性,61如果线性相关，求一个最大无关组,七、综合计算：（本题14分）并用它表示其余向量已知二次型f(x1,x2,x3)x22x22x：4x1x3(D(2)(3)(4)求二次型所对应的矩阵A,并写出二次型的矩阵表示；求A的特征值与全部特征向量；求正交变换XPY化二次型为标准形，并写出标准形;判断该二次型的正定性。八、证明题：（每小题5分，共10分）

4、1、已知向重a1，a2,a3线性无关，证明b2a13a2,b2a24a3,b35a3a1线性无关.2、某矿产公司所属的三个采矿厂ai,a2,a3,在2011年所生产的四种矿石bi,b2,b3,b4,b5的数量(单位：吨)及各种矿石的单位价格(万元/吨)如下表：石产量b1b2b3b4b5a110020305020a28020207030a33060106050各矿石单价23654(1)做矩阵A35表示2011年工厂ai产矿石bj的数量(i1,2,3;j1,2,3,4,5)；(2)通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.模拟试题二判断题(正确的打，不正确的打)(每小题2分，共10分)()1

5、、设A,B为n阶方阵，则|AB|A|B|;()2、可逆矩阵A总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E；()3、设矩阵A的秩为r,则A中所有r1阶子式必不是零；()4、若x1,x2是非齐次线性方程组Axb的解，则x12也是该方程组的解.()5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。二、填空题(每小题2分，共16分)1、排歹U7623451的逆序数是;12342、设四阶行列式D4，则A142A243A344A444123其中Aj为元素aj的代数余子式;一143、设A、B均为5阶矩阵，A-,B2,则BA124、3(1)2(2)5(3)，其中1(2,5,1,3):2(10,1,5,10)TT3(4

6、,1,1,1)，贝U5、已知向量组A:时，b可由A线性表示，且表示法唯一;11236、设齐次线性方程组AX0的系数矩阵通过初等行变换化为0102,则0000此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为;7、设向量(1,2,1)T,=2,2T正交，则；8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为三、计算题(每小题8分，共16分)1、设矩阵A,B,求矩阵AB和BA2、已知矩阵A求矩阵方程AX四、计算题(每小题o8分,16分)25x34x1X24x1X38x2X3,12241、设矩阵A=242133求：（1）矩阵A秩；2、求非齐次线性方程组系和此方程组的通解。六、（12

7、分）设矩阵A（2）判断该二次型是否正定二次型，说明理由。五、计算题（每小题10分，共20分）1 022 66023334（2）矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。.x1x2x3x422x13x2x3x41所对应的齐次线性方程组的基础解x12x32x45131011002（1）求矩阵A的特征值和全部的特征向量；（2）求可逆矩阵P,使得P1AP（其中是对角矩阵），并写出对角矩阵。七、（5分）证明题设方阵A满足A1、已知向量组100(1)k取何值时，该向量组线性相关；(2)k取何值时，该向量组线性无关，说明理由。2、已知二次型f(x1,X2,X3)2x25x2(1)写出此二次型对应的矩阵A;AEO

8、,证明：A可逆并求它的逆矩阵。八、（5分）应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：冏店1冏店2苹果橘子梨苹果0.100.15橘子0.150.20梨0.100.10人员15103人员2455设第一个矩阵为A,第二个矩阵为B,而第城镇11000500城镇220001000三个矩阵为Co人员1人员2（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三、判断题：（正确：V,错误：X）（每小题2分，共10分）1、A,B为n阶方阵则|AB|IBA2、设A为mn

9、(mn)矩阵，则Axb有无穷多解3、向量组人1是向量组A的一部分，向量组A1线性无关，则向量组A一定线性相关；(4、设1,2是方阵A的特征值，则12也是方阵A的特征值。(5、4个3维向量一定线性相关。(二、填空题：(每空2分，共20分)1、已知A为3阶方阵，且A2,则2A;2、八阶仃列式中某项a15a21a36a42a53a64带有的符号为3、设A为n阶方阵，满足a2AE,则A1;4、设1，2是n元非齐次线性方程组Axb的两个解，且A的秩R(A)n1,则Axb的通解x;5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为102-11B=01-300，则k时方程组无解，000(1-k)k1k2当k时方程组有无穷解

10、，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中有个向量。6、二次型f2x24xy6y24z24xz的秩为(请选正定、负定、不定之一)7、方阵A的特征值为，方阵BA22A3E,则B的特征值为三、计算：(每小题8分，共1、已知4阶行列式D112116分）011112012121,求2A11A21A312A412、已知A111121,试判断A是否可逆。若可逆，求A1,若不可逆，求A的113伴随矩阵A*四、计算：(每小题10分，共20分)2x1x2x3x401、求齐次线性方程组x1x24x12x22x3x402x32x40的基础解系和它的通解2、已知线性方程组2x12x24x33x40xyz02x3y

11、3z2有解，求a,并求全部解;2xyza五、(10分)判断向量组11020110，4211的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量六、综合计算：(本题14分)二次型f(x1,x2,x3)x2x2x32x1x2(1)求二次型所对应的矩阵A,并写出二次型的矩阵表示(2)求A的特征值与全部特征向量；(3)求正交矩阵P,使P1AP为对角形矩阵。(4)求正交变换XPY化二次型为标准形(5)写出标准形七、证明题：(每小题5分，共10分)1、设是非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,3是对应的齐次线性方程组Ax0的一个基础解系，证明：0,1,2,3线性无关；2、某石油公司所属

12、的三个炼油厂a1，a2,a3，在2010年所生产的四种油品b1，b2,b3,b4的数量(单位：吨)及各种油品的单位价格(元/吨)如下表：工厂b1b2b3b4a15234a27315a36213各油品单价100150130110(1)做矩阵A34表示2010年工厂ai产油品bj的数量(i1,2,3;j1,2,3,4)(2)计算三个工厂在2010年的生产总值。模拟试题四一、判断题：(正确：V,错误：X)(每小题2分，共10分)1、设A,B均为n阶方阵，则若A或B可逆,则AB必可逆.()2、已知A,B是n阶方阵，k为整数，则(AB)kAkBk.()3、已知向量组1,2,3,4的秩为3,则1,2,3,

13、4中至少有三个向量线性无关.()4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价.()5、设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，P1,P2是对应的特征向量，则P1与P2正交.()二、填空题：(每空2分，共20分)1、4阶行列式det(aj)中含a13,a21的带正号的项为.2、A,B为3阶方阵，如果A2,B3,那么3AB1.3、m个n维向量构成的向量组a1,a2,am线性相关的充分必要条件是矩阵A(a1,a2,am)的秩R(A)于向量个数m.4、若n元非齐次线性方程组AmnXb有解且R(A)r,则当时，方程组有无穷多解.5、行列式D中元素a215的代数余子式A21一，26、已知A77、已知4阶行列

14、式D1111111111111111，则A21A22A23A24的值为中Aij为D的第i行第j列元素的代数余子式.8、矩阵A对应的二次型是9、矩阵A20的列向量组的秩为210、已知三、计算:2是A特征值，且A可逆，则（每小题8分，共16分）是A1的特征值.10011、已知矩阵A001,B0010000，求(1)A2;3(2)A20122BT12、设矩阵A和B满足关系式AB3,求矩阵B.5四、（10分）求齐次线性方程组X1X2X34x43x5X1X23x32x4X52x1X23x35x45x3x1X25X36x47x5500的一个基础解系和它00A2B,其中A的通解.10116、(10分)设有5

15、个向量a112，a23d，a3112，a422，猾31210420140求此向量组中的一个最大线性无关组，并用它表示其余的向量.六、(10分)设非齐次线性方程组AXb的增广矩阵为1021101300B=,0001k1k2000(1k)k1k讨论它的解的情况，何时无解，何时有无穷多个解，并说明理由；有无穷多个解时求出该方程组的通解.七、(本题14分)设二次型一、一丁人,22c2，cf(X1,X2,X3)XAXX1X26x34x1X26x1X36x2X3,(1)求二次型的矩阵A;(2)求矩阵A的特征值及全部特征向量；(3)判断矩阵A是否可以对角化；(4)判断它是否为正定二次型.八、综合题：(每小题5分，共10分)1、证明