统计学正态分布统计量及其抽样分布

1、第 5-65-6 章统计量及其抽样分布5.15.1 正态分布5.1.15.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。概率密度曲线图例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等某一条件下产品的质量如果随机变量 X X 的概率密度为(x)222则称 X X 服从正态分布5.1.25.1.2正态密度函数 f(x)f(x)的一些特点：f(x)0, ,即整个概率密度曲线都在 x x 轴的上方。曲线f(x)相对于x对称，并在x处达到最大值,f(x)记做X:N(的正态分布其中，的标准差2 2 日),读作：随机变量 X X 服从均值为

2、,是随机变量 X X 的均值，0是是随机变量 X X越小，曲线越陡峭当X趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线标准正态分布N(0,1)为标准正态分布f()o1230,1时,f(x)曲线的陡缓程度由决定：越大，曲线越平缓;(x)2、X设X:N(,)，则Z：N(0,i)2、_o.变量X:N(1,1)与变量Y:N(2，2)相互独立，则有X+Y:N(i i+2 2,；+力5.1.35.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值(x)1(x)例：设X:N(0,1),求以下概率标准正态分布的概率密度函数:(x)标准正态分布的分布函数:任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布(1)(1)P(X1.5

3、)P(X2)(4)(4)P(X2)解：1.5(1)(1)P(X1.5)(t)dtP(X2)1P(X2)1P(1X3)P(X3)P(X1)(3)(1)(3)(1(1)0.9987(10.8413)0.84P(X2)P(2X(2)(1(2)2般，若X:N(0,1),则有P(aXb)(b)(a)P(Xa)2(a)1(1)(1)P(X10)P(2X10)P(2X(1.5)0.9332(2)10.97730.02272)Q)(2)(2)10.9545例设X:N(5,32),求以下概率(5)(5)P(X59)2 2、解：由X:N(5,3),Xy5：N(0,1)（i）X5P(X10)P(1053P(11.6

4、7)1.67(t)dt(1.67)0.9522(3(3) )P(2P(X10)1053(1.67)1.67)1)0.7938P(28)5)P(2(4)(4)120.841310.6826P(2(2)120.9772(5)(5)X5P(X59)P(2(3)120.998710.99742一般，若X：N(,)，则有P(aXb)(b-)(a-)5.1.45.1.4 3 3 准则若X:N(0,1),则有P(|X1)2(1)10.6826P(X|2)2(2)10.9545P(X|3)2(3)10.9973即，X X 的取值几乎全部集中在3,3区间内，超出这个范围的可能不到2至一般正态总体，即X：N(,)

5、，有P(X56)P(2)10.95443)0.3%0.3%P(X)0.6826P(|XI2)0.9545P(X|3)0.99733)的概率很小，因此可以认为X的值几乎一定落在区间(3,3)内一一统计学的“3 3 准则”5.1.55.1.5 正态分布函数的一个重要性质22、设变量X-N(1,1),YN(2,21X X 与 Y Y 相互独立，则有X+Y：N(1+2,：+力X-Y:N(1-2,12+2)5.1.65.1.6 求分位数Z设X:N0,1P(XZ)Z(x)dxZ=-ZI-显然P(XZ0.95-1.64,ZO.975-1.96常用的几个 Z Z 分位数：Z0.051.64,ZO.0251.9

6、65.25.2 由正态分布导出的几个重要分布2 25.2.15.2.1 分布 1 1 定义：设随机变量Xi,X2,L,Xn相互独立，且Xi：N(0,1)(i1,2,L,n),则它们的平方和服从自由度为2n n 的X分布。2.2 2X分布的密度函数图形图形特点：2(DX分布的变量值始终为正2(2)(2)X分布的形状取决于其自由度 n n 的大小，通常为不对称的右偏分布，随着自由度的增大逐渐趋于对称。三大分布:2,t,F分布记做,X2：2(n)(3)X(3)X2 2分布的期望为E(2)n,方差为D(2)2n为自由度)2(4)X分布具有可加性。若X与Y是相互独立的随机变量，Xx2(n1),YX2(n

7、2),则它2们的和服从于自由度为nn2的X分布，即XYx2(ni%)。w223 3X分布临界值表的使用，求得X分布的分位数22P(X2X2)2f(X)dXX5.2.2t5.2.2t 分布(studentstudent 分布)2X分布临界值表中给出的是概率为时,2X的取值，k k 是自由度。例如，若随机变量X:2(10),2则查表可行0.05(10)3-94,2-2-20.950.95(10)18.307设随机变量X,Y互相独立，2/、XN(0,1),Yx(n),则随机变量Xt:t(n)Ynt t 分布概率密度函数图特点：关于 y y 轴对称，与标准正态分布的密度函数的图像非常相似。厚尾：当X时

8、，t t 分布的密度函数趋于 0 0 的速度要比标准正态分布密度函数慢， 所以 t t 分布的密度函数的尾部要比N(0,1)密度的尾部厚些。当自由度 n n 无限增大时，t t 分布将趋近于标准正态分布。所以，当 n n 很大时，t t 分布可以用标准正态分布近似。记t(n)为分布t(n)的分位数。在实际使用中，当n30就近似有t(n)Z由于 t t 分布密度曲线的对称性，可得自由度为 n n 的 t t 分布t(n)ti(n)例如，若随机变量T:t(15),查表可得，to.05(15)1.7531,而to.95(15)to.o5(15)1.76531Zo.951.645可见随着自由度n的增大

9、，t t 分位数与 z z 分位数越来越接近5.2.3F5.2.3F 分布设随机变量 X X 与 Y Y 相互独立且分别服从自由度为m和n的则随机变量F*服从第一自由度为m第二自由度为n的F分布F F 分布的概率密度函数的图to.o5(40)1.6839, ,to.o5(45)1.67942 2分布。记为FF(m,n)F(m,n),F(m,n)表示分布F(m,n)的分位数,可以证明例如查表得%95(8,9)=3.23,F_(98)=1=1-则F0.95(8,9)3.235.65.6 小概率原理指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎不可能出现6.16.1 统计量定义：设X1,X2,L,Xn是从

10、总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个不依赖于任何未知参数的函数T（X1，X2，L,Xn）,则称函数T（X1，X2，L,Xn）是一个统计量。F(m,n)Fi(n,m)0.31特点：由样本构造而得，是样本的函数不含任何未知的参数当获得样本的一组具体观测值(X1,X2,L,XJ,带入T，计算出T(X1,X2,L,Xn)的数值，称为统计量的值2 2常用的统计量X,S6.26.2 抽样分布抽样分布：统计量的分布随机变量 X XXI，X2，L,XnXx1111,X1212,L,X1n1nX1X21,X22,L,X2nX2LL-Xm1，Xm2，L，XmnXm精确分布：可以得到分布的数学表达

11、式渐近分布：难以得到精确分布时，借助于极限工具，求得抽样分布的近似分布,称为渐近分布。定理 1:1:设XI,X2,L,Xn是取自总体X的一个样本，记E(Xi)D(X。E(s2)22,E(sn)当nlimP(|Xn当n定理 2:2:2 2、设XI,X2,L,Xn是取自正态总体N(,)的一个样本22XX:N(不)或等价地)：*。，1)X与s2相互独立E(X)2，D(X)一时,时,2Sn(n1)s2ns2 2为22222 2(Xi iX)22 2-2(n1)设X1,X2，LX一,n是取自正态总体N(2）口小）的一个样本，那么Xs/t(n1)简要证明:X:N(2)N(0,1)(n1)s2.2(n1)X

12、/n(n1)s22/(n:t(n1)1)独立（t t 分布的定义）1)推论 2 2设X1，X2，L,Xrn是取自正态总体N(2）1）的一个样本,Y，Y2，L，Yn是取自正态总体N（2）的一个样本,X与Y相互独立，那么(X,：N(0,1)、；12mmn简要证明：_2X:N(1,12)X：N(1,力_2Y:N(2,；)Y:N(2,力_22XY：N(12,二上)独立，mn(XY)(12)：N(0,1)22J12mn推论3:设X1,X2,L,Xm是取自正态总体N(1,X与Y相互独立，那么2)的一个样本,Y,Y2 2,LX是取自正态总体N(2,2)的一个样本,(XY)(1 1J1S SPAPAmn,、2,、22(m1)s(n1局Sp苴中(mn2)/、I?I?简要证明：_2_2X:N(1,2)X:N(1)/m22Y:N(2,2)Y：N(2,-)(m1)s22,A2:(m1)(n1)s222(n1),2(m1)&(n可加性22)独立，XY:N(11)sf.2:2(mn2)(XY)(1 12 2)整理得(XY)(1力：t(mn2)(m1)s2(n1)s211mmn2mn2(m1)s2(n1)s2Sp,c、(mn2)推论4:XZXZIXZKI/2设X1,X2,L,Xm是取自正态总体N（1，1）的一个样本,2Y，Y2,L,Yn是取自正态总体N（2，2）的一个样本,X与Y相