电磁场与电磁波试题及答案

1、1 1 . .写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义2 2 .答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJ,E,B0,D, ,（3 3tt分）（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。1 1 . .写出时变电磁场在 1 1 为理想导体与 2 2 为理想介质分界面时的边界条件。2 2 .时变场的一般边界条件D2n、E2t0、H2tJs、B2n0。（或矢量式 n n D2、nE20、snH2Js、nB20）1 1 . .写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式，并简要说明库仑规范与洛仑兹规范

2、的意义。.一_-A.-AA.-A2 2 . .答矢量位BA,A0;动态矢量位E或E。库仑规范与洛仑兹规tt范的作用都是限制A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。1 1 . .简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2 2 . .OAds是矢量A穿过闭合曲面 S S 的通量或发散量。若中0,0,流出 S S 面的通量大于流入的通量，即通量由 S S 面内向外扩散，说明 S S 面内有正源若中0,0,则流入 S S 面的通量大于流出的通量，即通量向 S S 面内汇集，说明 S S 面内有负源。若中=0,=0,则流入 S S 面的通量等于流出的通量，说明 S S 面

3、内无源。1 1 . .证明位置矢量反xeyyezz的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。2 2 . .证明在直角坐标系里计算，则有r(r)exjQ(exxQz)xyz士上二3xyz若在球坐标系里计算，则12133由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。r（r）2一（rr）l（r）rrrr1,1,在直角坐标系证明A02.2.A，一-(AA、-/Ax、一(AAx、(q0ez)ex()0()ez()xyzyzzxxy(2上)(A马(XA0 xyzyzxzxy1,1,简述亥姆霍兹定理并举例说明。2.2.亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质ODdsq。D0

4、有源sR1 1,已知Rrr,证明RReRR2.2.证明R-RRxxyyRex一eyeze0 xyzRR1 1 .试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式，恒定电流的呢?2 2,一般电流DJdSdq/dt0,J/t;恒定电流-JdS0,J02 2 . .电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢？3 3 . .电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使电偶极子中心发生平动，移向电场强的方向1 1 .试写出静电场基本方程的积分与微分形式。2 2 . .答静电场基本方程的1,积分形式OEdsq,。Edl0s0l例静电场OE

5、dl0lE0无旋ez微分形式D,E01 1 .试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义2 2 . .静电场基本方程微分形式D,E0,说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的源是是电荷的分布）。1 1 .试说明导体处于静电平衡时特性。2 2 . .答导体处于静电平衡时特性有导体内E0；导体是等位体（导体表面是等位面）；导体内无电荷，电荷分布在导体的表面（孤立导体，曲率）；导体表面附近电场强度垂直于表面，且En/0 0o o1 1 . .试写出两种介质分界面静电场的边界条件。2 2 .答在界面上 D D 的法向量连续D1n1nD2n2n或（n nD2 2n1 1D2 2）；）；

6、E E 的切向分量连续E1t1tE2t2t或（耳EnE2 2）1 1 .试写出 1 1 为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。2 2 . .在界面上D的法向量D2n2n或（n1n1D2 2）；）；E的切向分量E2t2t0或（n1n1E2 20 0）1 1 . .试写出电位函数#表示的两种介质分界面静电场的边界条件。2 2 . .答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为 1 12 2,1,11 12 2一2nn1 1 .试推导静电场的泊松方程。2 2 . .解由D，其中DE,E,DE为常数2一泊松方程1 1 . .简述唯一性定理，并说明其物理意义2 2 . .对于某一空间区域

7、V,V,边界面为 s,s,巾满足/旦或vV=o,台（对导体给定q）则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。1 1 .试写出恒定电场的边界条件。2 2 . .答恒定电场的边界条件为嬴（工-工）=口，-（瓦-瓦）二口1 1.分离变量法的基本步骤有哪些？2 2 . .答具体步骤是 1 1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2 2、把假定的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常

8、微分方程。解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。1 1 . .叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？2 2 . .答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定理。7 7、试题关键字恒定磁场的基本方程1 1 .试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义2 2 . .答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为口Bds0sHdIi说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。1 1 .试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。2 2 .答:恒定磁场的边界条

9、件为：n（H1H2）JSn（B,B2）0,说明磁场在不同的边界条件下磁场, ,强度的切向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。1 1 . .一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明垂直于平面的z轴上zZ0处的电场强度E中,有一半是有平面上半径为z0的圆内的电荷产生的。2 2 . .证明半径为r、电荷线密度为1dr的带电细圆环在z轴上zZ0处的电场强度为2232dEezrz0dr22、3220(rz0)故整个导电带电面在z轴上zz。处的电场强度为rz0dr而半径为“3z。的圆内的电荷产生在z轴上zZ0处的电场强度为ez01ez20(r2z2)12靠rzdrz1,41Eeo2o(

10、r2zTyF。勺2E1.1.由矢量位的表水式证明磁感应强度的积分公式B(r)3d4R3并证明B2.2.答B(r)A(r)/与d4R,JdJ(r)(-)d4R4RRJ(r)(/dJ(r)R3BA(r)01 1. .由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。2 2. .解点电荷 q q 产生的电场满足麦克斯韦方程E0和D由D得Ddd据散度定理，上式即为DdSqs利用球对称性，得Der-q-24r故得点电荷的电场表示式er-4由于E0,可取E，则得即得泊松方程1 1 . .写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。2 2 . .解空气和理想导体分界面的边界条件为nE0nHJs根

11、据电磁对偶原理，采用以下对偶形式EHHEJsJms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件nH0nEJms式中，J Jms为表面磁流密度。1 1 . .写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形式2 2 . .一一一-DQHdl（J）dS1st_一B_iEdl-dSlstBdS0s二）DdSqs试写媒质 1 1 为理想介质 2 2 为理想导体分界面时变场的边界条件 2.2.答边界条件为1.1.E1tE2t0或n0-I-I-HH1tJs或nH1JsB1nB2n0或nB0-1-D1ns或nD11 1 .试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。2 2 . .答HjEEjHB0D

12、01 1 .试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。2 2 . .答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。圆极化的特点ExmEym,且Exm,Eym的相位差为一，2直线极化的特点Exm，Eym的相位差为相位相差0,椭圆极化的特点ExmEym,且Exm，Eym的相位差为万或0,1 1 . .能流密度矢量(坡印廷矢量)S是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？2 2 . .答能流密度矢量(坡印廷矢量)S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印d，、廷定理的表达式为(EH)dS(WeWm)P或sdtd1i10（EH）dS（-E-H）dEd,反映了电磁场中

13、能量的守怛和转换关系。sdt1 1 .试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？（设媒质无限大）2 2 . .答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减；电场和磁场不同相；以平面波形式传播。3 3 . .时变场的一般边界条件D1nD2n、E1tE2t、H1tH2tJs、B1nB2n。（写成矢量式n-（DiD2）、n（E1E2）0、n（H1H2）Js、n何B2）0一样给 5 5分）1 1 . .写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。D-B-D-B-一2 2 . .答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJ,E,B0,Dtt（表明了电磁场和它们的源

14、之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。1 1 . .写出时变电磁场在 1 1 为理想导体与 2 2 为理想介质分界面时的边界条件2 2 . .时变场的一般边界条件D2n、E2t0、H2tJs、B2n0。（写成矢量式nD2、nE20、nH2Js、宗口20一日给 5 5分）1.1.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式，并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。2.2.答矢量位BA,A0；动态矢量位E-A或E/。库仑规范与洛仑兹tt规范的作用都是限制A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。1 1 .

15、描述天线特性的参数有哪些?2 2 . .答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。1 1 . .天线辐射的远区场有什么特点？2 2 . .答天线的远区场的电场与磁场都是与 1/r1/r 成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒质的本征阻抗，有能量向外辐射。1 1 . .真空中有一导体球 A A 内有两个介质为空气的球形空腔 B B 和 G G 其中心处分别放置点电荷附和 G,试求空间的电场分布2 2 . .对于 A A 球内除 BCBC 空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。对 A A 球之外，由于在 A A 球表面均匀分布 H+MaH+Ma 的电荷，所

16、以 A A 球以外区域”4+公4 4 落格/（方向均沿球的径向）对于 A A 内的 RCRC 空腔内，由于导体的屏蔽作用则 ”1.1.4瓯f（可为 B B 内的点到 B B 球心的距离）（专为 C C 内的点到 C C 球心白距离）1 1 . .如图所示，有一线密度&=跖邑的无限大电流薄片置于平面上，周围媒质为空气。试求场中2 2 .根据安培环路定律，在面电流两侧作一对称的环路。则各点的磁感应强度。才d=/h1 1 . .在附图所示媒质中，有一载流为/的长直导线，导线到媒质分界面的距离为方。试求载流导线单位长度受到的作用力。j均尸皿均 F2 2 . .镜像电流外+9 为5镜像电流在导线

17、处产生的5值为=2对27?单位长度导线受到的作用力y0y2(2向的平行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷量分别为+T+T 和-丁，若忽略端部的边缘效应，试求(1)(1)圆柱导体外任意点 p p 的电场强度的电位锣的表达式；(2)(2)圆柱导体面上的电荷面密度，3 与 4 4ELUELU 值。2.2.Q)/二-,A2贰=ff2瓶耳必鼻以 y y 轴为电位参考点，则(2)(7rmI=Da=鸟E.H=rm.smxurmx-uJig1.1.图示球形电容器的内导体半径片二lcir,外导体内径场=6Gm,其间充有广二诙-LX巴，?ih3+h-ji占+十 m11/)-A+a9+/?一再=9乂1十4=2

18、,邑？=1=1。求此球形电容器的电容C。4就隼2.解民-7(1r3)q我q/$-弓(3r0其方向为 a/2a/2 增加的方向，且垂直于介质端面。1 1 . .长直导线中载有电流丁，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互位置如图所示。设修。时，线框与直导线共面公 0 0 时，线框以均匀角速度卬绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势。得合成波为右旋圆极化波4=弓/eg0c廿历)一弓4fir0才什生)(5-1)2 2 . .长直载流导线产生的磁场强度f f 时刻穿过线框的磁通中=d5 二也当。如h2 咫也 f2H2H二md+()!+sdcosojt例n2d+,-adcosent2感应电动势&

19、;drr0UT+dhigf_氏1独勿2z z 用i-y+r-cosi-y+r-cos2参考方向，二 0 0 时为顺时针方向。1 1 . .无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为H。0二00.上口皿5皿)号iH6用xlOAZm试求(1)(1)内的值；(2)(2)电场强度瞬时矢量百依S和复矢量(即相量卢 32 2 . .(1)(1)4J4二(8 解其(?)?0V=号+刍+Q5用目界二邑 9 菰*iiiL5c 口鼠 6 落乂 104t-5日感)-e-r37JTCOSO.5sir6仄x10。t-5-MJTF)V/IDE 亩=q9 侬 irO.5 嬴)巳-方-q3jT 后二口如 5 幻/亮 6

20、 氾11证明任一沿 6 6 传播的线极化波可分解为两个振幅相等，旋转方向相反的圆极化波的叠加。证明设线极化波其中: :耳二0-鸿九一株鸟和玛分别是振幅为 2 2 的右旋和左旋圆极化波。1.1.图示由两个半径分别为川和国的同心导体球壳组成的球形电容器， 在球壳间以半径丁=鸟为分界面的内、外填有两种不同的介质，其介电常数分别为故得EGt)=jvxdf；%g+qW)KW(ST&1.1.2.2.5=和鼻=4?南，试证明此球形电容器的电容r_4北务-)2.证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q则&10尺兄4万马 k两导体球壳间的电压为U_1(证毕)1.已知人K狷-2f次+21以皿穿过面积=

21、3,2工尸工333.8三05.2彳(2)在上述面积中心处电流密度的模；(3)在上述面上工的平均值。2.(1)1=JJ!?=JJdr由6二J二J：5/6.2、=399A11/11.+一()鱼心冗R&曰小?求E弓方向的总电流1。,曲池?-3,必)12682-2，)2(2)面积中心,P=2.5孑=4.5J=2gL251一45专+Z16J=J2gL2口+度田=26.121A/m的平均值1_399(5.2-3.0)(3-2)1.4总285A/mJ1 1 . .两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其佗y,m上。略去端部效应,试求两线圈间的互感。2 2 . .设线框1带有电流 f,f

22、,线框的回路方向为顺时针。线框产生的犷为-丹工_A丁2k2/rfr-区=1n(5+4+)5I2宿(s+4)(s+4)1 1 . .用有限差分法计算场域中电位，试列出图示正方形网格中内点丁的拉普拉斯方程的差分格式和内点9的泊松方程的差分格式。二旦工,户4+4_1消+&)2帝5+&S2 2 . .科二：（仍十瞿日十佻十仍J+程+取 3+01 口+%4=力 21)1.1.已知，=w/ew/em m 式/A A/ /若)，今将边长为日的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿 G G、应电动势。2.2.(1)(1)线框的法线沿巳时由得线框的法线沿 6 6 时yn=线框的法线

23、沿 6 6 时1 1. .无源真空中，已知时变电磁场的磁场强6 6 和 5 5 方向时，求框中的感入%二 0 0LTLT 二一 4 4cusLuAcusLuA/?/?(-?)+(-?)+3535rlrlccicci 虱=叫- -cos(#rT+)+costercos(#rT+)+coster2 2乙度目出方为；H(T；TJ=erAysiii4.7)cos(a3f-yi)+csiii4.7)cos(a3f-yi)+c 移电流密度为。2.2.因为.7.7 二 0 0由流得人=*”:口削山加如 A/mA/m,其中 W、4 4 为常数，求位jsq/edxdydzAxsii4)cos(Df-jSr)0J

24、2cos(4才)siHcjt-ffy)二一cs(4,)costtuf-#_y)+q44与:&-T)sir(曲正囱)一6月.si44G田J0P)A/IB1.1.利用直角坐标系证明(fG)fG(f)G(Ax)ex.(f)exTAxxxf(Az)HzA(f)ezTzzf(人疽f(Ay)eyxy(f)ey八(乱yAyyyfAAf(Ay)ey(f)eyTAyyy1 1 . .求无限长直线电流的矢量位A和磁感应强度B2 2 . .解直线电流元产生的矢量位为dAez2-/,2,1214r(zz)J2.2.证明左边二(fA)(fAx耳fAyyfAzez)”)0 x(fAy)(AByzf(Az)ez(f

25、)exfJAxzx二右边积分得l2(l2dz2/，2112r(zz)ez-0ln(z4z),(zz)2r2i2l2Hz01I-ln(；z)K；z)2(2z)/z)2r212)r212Hz旦nL4r当l,A.附加一个常数矢量Cezln史4l则Aez-0ln-ez-lnbez-lnb4r4l4r贝1J由B1.1.图示极板面积为 S S 间距为 d d 的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为&厚度为 a a、介电常数为的介质板。设左右两极板上的电荷量分别为Q与Qo若忽略端部的边缘效应，试求(1)(1)此电容器内电位移与电场强度的分布;(2)(2)电容器的电容及储存的静电能量。2.2.解

26、1)1)D2Q-eSQQD1E2D2Q-exS2)2)C1E1(da)C2QU2E2aao1.在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为4j20z4j(20Z2)/Eax10eay10e2(v/m)求(1)平面波的传播方向；(2)频率；(3)波的极化方式；(4)磁场强度；(5)电磁波的平均坡印廷矢量Sav。2.解(1)平面波的传播方向为+z方向(2)频率为fk0H3109Hz2(3)波的极化方式因为ExmEym104,xy0-,故为左旋圆极化.yy22(4)磁场强度HJ0aZE(azax104jazay104)ej20z00(ay104jax104)ej20z0(5)平均功率坡印廷矢量CiC

27、CiC2S0oa(da)1Q22d1oa(da)2Q二1Sav,ReE(ay1040jax104)ej20z0.2651010az(W/m2)1 1 . .利用直角坐标，证明(fA)fAAf(fAx)exx(fAy)eyy(fAz)ef(Ax)exxf(A)HzzAxfxxAz声zf(Ay)eyyf(4)0y(f)eyf(Az)%z人x二右边2 2 . .解1(104)22120吗aaz0108az2,2,证明左边二(fA)(fAxeXfAyCyfAzz)1.1.1 1求矢量AexXeyXezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此

28、回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。OA-dlC2xdx02xdx0222dy020dy80一,1H-Re(ax104jay104)ej20zf(Ax)exxAyAdS(ex2yzez2x)，ezdxdy8S00JAdl8AdSCS1 1 . .同轴线内外半径分别为 a a 和 b,b,填充的介质 0,0,具有漏电现象，同轴线外加电压 U U, ,求(1)(1)漏电介质内的；(2)(2)漏电介质内的 E E、J J; ;(3)(3)单位长度上的漏电电导。2 2 .解(1)(1)电位所满足的拉普拉斯方程为1dd(rdrdr由边界条件ra,U;rb,0所得解为/Ub(r)rlnbrln 一a2

29、U-丁 eln-a所以exeyezex2yzez2x故有(2)电场强度变量为E(r)_derd则漏电媒质的电流密度为JE(r)U 一rlnaU_下erlna(3)(3)单位长度的漏电流为 I I0UbrlnaJ2单位长度的漏电导为Go火20-bdrc2robImcost,caIn线框中的感应电动势ddtobImsint,caIn2c参考方向为顺时针方向。1.空气中传播的均匀平面波电场为E莅Eejkr,已知电磁波沿z轴传播，频率为f。求(2)(2)波长;(3)(3)能流密度S和平均能流密度Sav；U1nba_1_一*_12Sav-Re(EH)0.一EO2201212(4)W10E210H2221

30、. .平行板电容器的长、 宽分别为a和b,极板间距离为d。 电容器的一半厚度( (0_d/2) )用介电常数为的电介质填充，(1)板上外加电压UO,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2)若已知板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷；(3)求电容器的电容量。2 .(1)设介质中的电场为EezE,空气中的电场为EOezE。由DD。，有E0E0又由于(4)(4)能量密度W2.2.解(1)jkrexE0eeyEoejkr2jkrcos2(2ftkz)2oUo(o)d故下极板的自由电荷面密度为上极板的自由电荷面密度为上 0E02oUo(o)d电介质中的极化强度故下表面上的束缚电荷面密度为由

31、以上两式解得EoUo2Eo2Uo(o)d2oUo(o)dP(o)E2o(o)Uoo)dp 下ez-P2o(o)Uo(o)d上表面上的束缚电荷面密度为p 上ezP2o(o)Uoo)d得到QabUo)do)dQoab(o)Qab(3)(3)电容器的电容为2ab(0)d1 1 . .频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿(z)z)方向传播，介质的特1 1性参数为r4、r1,0。设电场沿x方向，即EexEx；当t0,zm时，电场等8于其振幅值104V/m。试求H(z,t)和E(z,t);(2)(2)波的传播速度；(3)(3)平均波印廷矢量。2 2 . .解以余弦形式写出电场强度

32、表示式E(z,t)exEx(z,t)exEmcos(tkzXE)把数据代入Em104V/m一rad6一2f.4T；4-一rad/m3xEE(z,t)4ex10cos(2108tH(z,t)ExeyHyeyey4-z-)V/m1=104cos(2108t:6)-1ey一y60104cos(2108t4-z-)A/m31088,1.510m/s21*(3)平均坡印廷矢量为SavReEH2,41_4j(fZ)_SavReex10e36ey2y1.(104)2-Re260,1082ezW/m120A21.1.在由r5、z0和z4围成的圆柱形区域，对矢量Aerrez2z验证散度定理。2,2,解在圆柱坐标

33、系中所以故有4410J(Tze360A2-(rr2)(2z)3r*Ad5(3r2)rdr012002A*dSO(errez2z)*(erdSrdSezdSz)525d52dz2004rdrd12001.1.求积分;*Ad1200APSS*2矢量AexX2eyXy-22ez24xy3z的散度;(2)(2)求*A*A 对中心在原点的一个单位立方体的求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。1 1 . .计算矢量r对一个球心在原点、半径为 a a 的球表面的积分，并求对球体积的积分2 2 . .解2Or*dSOr-erdSdaa2sind4a3SS00又在球坐标系中12*r2(rr)3rr所以故有,2

34、22223、A(x)(xy)(24xyz).22”222A-y-2x2xy72xyzxyz(2)(2) A A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为12121222221Ad(2x2xy72xyz)dxdydz12121224(3)A(3)A 对此立方体表面的积分A*dSS1212(：)2dydz121221212(g)2dydz12122121212_2122x2()2dxdz21212L121212c22z13,24xy()dxdy1212212_2122x2()2dxdz212以1212c22,13,24xy(-)dxdy*Ad124124OA*dSS*rd3r2sindrdd4a321

35、.1.求矢事Aexxeyx2ezyz沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合再求A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。2 2. .OAdlC2xdx02xdx0222d020dy0所以AdSS故有JA,dlC1.1.证明R3;2.2.解(1(1) )RAexAxeyezex2yzez2x(ex2yz00ez2x)*ezdxdyAdSezR0；(3)(A，R)其中RexxeyyezZ,A为一常矢eyAyezAzARAxXAyyAzZ(AR)ex(AxAyyAzZ)2%yAzZ)ez(AxXAyyAzZ)zexAeyAyezAzA1.1.两点电荷

36、q8c位于z轴上z4处，q24c位于y轴上y4处，求（4，）处的电场强度。2,2,解电荷qi在（4，）处产生的电场为Eqirri2e*4ez44rr130（4V2）3电荷q2在（4，。，。）处产生的电场为故（4，）处的电场为1.1.两平行无限长直线电流I1和I2,相距为d,求每根导线单位长度受到的安培力Fm2,2,解无限长直线电流I1产生的磁场为B1直线电流I2每单位长度受到的安培力为式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为E2q2r231ex4ey4(4,2)3EiE2exeyez23220Fm12I2ezB1dze12I1I22d1. .一

37、个半径为a的导体球带电荷量为Q,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度2. .解球面上的电荷面密度为Q4a2绕一个直径旋转时，球面上位置矢量era点处的电流面密度为3rezeraQ.sin4a将球面划分为无数个宽度为dlad的细圆环，则球面上任一个宽度为dlad细圆环的电流为则该细圆环电流在球心处产生的磁场为0Qsin3dez8a故整个球面电流在球心处产生的磁场为30QsinBezd08a当球体以均匀角速度asinedIJSdlQsind4细圆环的半径为basin，圆环平面到球心的距离dacos,利用电流圆环的轴线上的磁场公式,dBez20b2d2I32ez-2(b2d2)32

38、82.3,0Qasind/22(asin2232acos)ez1.1.半径为a的球体中充满密度(r)的体电荷,已知电位移分布为3rD5DraAr2Aa42r(r(ra)a)其中A为常数，试求电荷密度（r）2 2.解由 D D，有1d2(r)*D-(rDr)rdr故在ra区域1d23(r)0-r(rAr)(5r4Ar)rdr在ra区域541d2(aAa)0r2J0rdrr1 1 . .一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为Ee.（r/a）4,设球内介质为真空。计算（1）球内的电荷分布；（2 2）球壳外表面的电荷面

39、密度。2 2 . .解（1 1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为（2 2）球体内的总电量 Q Q 为a3r,22Qd604rdr40a0a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q,而且在球壳外表面上还要感应电荷Q,所以球壳外表面上的总电荷为2Q,故球壳外表面上的电荷面密度为1.1.中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为PP0(exxeyyezz)。（1 1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2 2）证明总的束缚电荷为零。(r)E二：(r2E)rdr。二)rdra3r0a2.2.解(1)(1)P3Po/L、p(x-)n*P2L20*P同理p(x-L)n*P2P（yL）e

40、x，PL）p(zi.i.一半径为R。的介质球，介电常数为2.2.解由OD-dSqS可得到r2DiD2DiDiD2R3r2Di故中心点的电位为3_2L_3P0L6L-Po02r0,其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为R)R)r一(rR)(r030r%(0)Edr0R0rdr03r0与drR330rR2301 1 . .一个半径为 R R 的介质球，介电常数为，球内的极化强度PeK/rK/r, ,其中K为一常数。（1 1）计算束缚电荷体密度和面密度；（2 2）计算自由电荷密度；（3 3）计算球内、外的电场和电位分布。2 2 . .解（1 1）介质球内的束缚电荷体密度为在 rRrR 的球面上，束

41、缚电荷面密度为n*PrRePr(2)由于DEP,所以由此可得到介质球内的自由电荷体密度为K(0)r2总的自由电荷量E?dr*1d/p，P一（K2r*D0*E*P0，DP(1)*DPDRK2dr（3 3）介质球内、 外的电场强度分别为EiKer(0)r(rR)E2er/40r介质球内、外的电位分别为RK(rR)0(0)r1 1 . .如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零,上边盖板的电位为U0,求槽内的电位函数。2 2 . .解根据题意，电位（x,y）满足的边界条件为（0,y）（a,y）0（x,0）0（x,b）U0根据条件和，电位（x,y）的通解

42、应取为(x,y)Asinh(3)sin(3)n1aa由条件，有U0Ansinh(nb)sin(-x)niaa两边同乘以sin（nx/a）,并从 0 0 到a对x积分，得到1E，dlrRE1drrE2drRdrRK.drR0(0)rJnR0rK0(0)(rR)2E2drrRK2drr0(0)r0,n2,4,6,故得到槽内的电位分布1 1 . .两平行无限大导体平面，距离为b,其间有一极薄的导体片由yd到yb(z)。上板和薄片保持电位U0,下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y0到yd,电位线性变化，(0,y)Uy/d。2 2 . .解应用叠加原理，设板间的电位为(x,y)I(X,y

43、)2(X,y)其中，I(X,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U。)的电位，即I(X,y)Uy/b；2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为12(x,0)2(X,b)022(x,y)0(x)U0U00y0y(0yd)32(0,y)(0,y)1(0,y)dbU0U077y(dyb)b根据条件和，可设2(x,y)的通解为nynlx2(X,y)Ansin()ebn1bA2sin(U)dxasinh(nba)0a2Unsinh(nba)(1cosn)4Uonsinh(nba)n1,3,5,(x,y)4U01n1,3,5,.nsinh(nba)nynxsinh

44、()sin()aa两边同乘以sin（ny/b）,并从0到b对y积分，得到2Uob2sin(n)d故得到2bUo1./dnyQ2-2sin()sin()edn1nbb1.如题（a）图所示，在zo的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q。求（1）zo和zo的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q。2 .解（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b）、（c）所示）qoq，位于zhoqoq,位于zh由条件有nyAnS

45、in()n1bUoUo了y8y.UoUoTy(0yd)(dyb)2U0d/11/AnHo(d/SKyny.b)Sin(V)dy(x,y)上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即qq4oR40Rq10140r2(zh)20,r2(zh)2下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即4R2(0)、r2(zh)2（2 2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为0)q1 1 . .一个半径为R的导体球带有电荷量为 Q,Q,在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。 （1 1）求点电荷q与导体球之间的静电力；（2 2）证明当q与 Q Q 同号，且RD3q(D2R2)2D成立时，F表现

46、为吸引力。2 2 . .解（1 1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷q和q的大小和位置分别为（如题图所示）Pn?pP20(EzE2z)z0极化电荷总电量为0(z(0)hq212、322(0)(rh)3qpSpdSP2rdr(0)hqrdr22X321100(rh)RR2q,dDD导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为FqqFqqFQqqqq(Dq)_2_240(Dd)40DqQ(RD)q40D2Rq22DDRD(2)当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F0时，则应有Q(RD)qD1Rq由此可得出

47、_3QRDR2-22-Z-q(D2R2)2D1 1.如题 5.85.8 所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为i和2的两种磁介质的分界面，试求(1)(1)两种磁介质中的磁感应强度B B1和B B2；(2)(2)磁化电流分布。2 2. .解(1)(1)由安培环路定理，可得所以得到BI0H0IB2He2r与螺线管较链的磁链为NSH22.aNI1d(o)I1d/1、八e7d7(rM)ezLr-7d7(r7)0在r0处，巳具有奇异性，所以在磁介质中r0处存在磁化线电流1m。以z轴为中心、r为半径作一个圆形回路C,由安培环路定理，有在磁介质的表面上，磁化电流面密度为(0)Ier20r1 1 . .如

48、题图所示，一环形螺线管的平均半径r015cm,cm,其圆形截面的半径a2cm,cm,跳芯的相对磁导率r1400,环上绕N1000匝线圈，通过电流I0.7A。(1)(1)计算螺旋管的电感；(2)在跳芯上开一个l。0.1cm的空气隙，再计算电感。(假设开口后跳芯的不变)(3)(3)求空气隙和跳芯内的磁场能量的比值。2 2 . .解(1)(1)由于a,可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺线管内的磁场为(2)(2)磁介质在的磁化强度则磁化电流体密度故得到Im1Im一1汩 dl0CH2(P)(1)I0H2(P2)题5.9图JmSMxezz0Hi(Pi)Hi(P

49、2)1故螺线管的电感为714004100.02100020.152.346H(2)当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与跳芯的分界面上，磁B,但空气隙中的磁场强度H。与铁芯中的磁场强度H不同。根据安培环路定律，有H0I0H(2r0I0)NI0rNIrl0(2r0I0)所以螺线管内的磁链为22.0raNIrl0(2r0l0)故螺线管的电感为220raNrl0(2r0l0)27_2241014000.0210000.944H14000.00120.150.001(3)空气隙中的磁场能量为跳芯中的磁场能量为场只有法向分量。根据边界条件，有BB又由于B00H。、B0rH及B

50、0BNSBWm00H0SIO0rH2S(2rolo)1 1 . .一根半径为 a a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场B包氏中与 z z 轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转,求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。2 2 . .解介质棒内距轴线距离为 r r 处的感应电场为EvBerezB0errB0故介质棒内的极化强度为PXe0Eer(r1)0rB0er(0)r氏极化电荷体密度为112PP(rP)(0)rB0rrrr2(0)B0极化电荷面密度为PPner(0)rB0erra(0)aB0则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为22,Qpa1P2a(0)B0QPS2a1p2a2(

51、)B01 1 . .一圆柱形电容器，内导体半径为 a,a,外导体内半径为 b,b,长为 1 1。设外加电压为U0sint,t,试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。2 2 . .解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同(准静态电场)，即U0sintEerrIn(ba)故电容器两极板间的位移电流密度为U0costrIn(ba)1U0costererrddz0r1n(ba)Wm。rl014000.001Wm2r0I020.150.0011.487idJddSC式中，ln(b.a)是长为 l l 的圆柱形电容器的电容。流过

52、电容器的传导电流为可见idic(提示将 E E 代入直角坐标中的波方程，可求得。) )2.2.解电场 E E 应满足波动方程故得In(ba)UocostCUocost(10)200(6109)20,30054.41rad/mic嗒CU0cost1 1.已知在空气中Eey0.1sin109.xcos(610t2E0主t2将已知的EeyEy代入方程，得2Ey-2-x2Ey-2-z040式中2Ey2x2Ey2z20.1(10)2sin10 xcos(6_9109tz)0.1sin10 x2cos(6109tz)00t20.100sin10 x(6109)2cos(6109tz)1匚1rEyEEexe

53、z00zx19ex0.1sin10 xsin(6109t09.ez0.110cos10 xcos(610t3.，1 1 . .在自由空间中，已知电场虫乙。ey10sin(t2 2 . .解以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式E(z,t)ey103cos(tz)V/m是一个沿+z+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90。与之相伴的磁场为11H(z,t)ezE(z,t)ez00103.excostz1203,ey10costz2ex265sin(tz)A/m1A/m1 1 . .均匀平面波的磁场强度 H H 的振幅为3,以相位常数 30rad/m30rad/m 在空气中沿ez方向传播。当 t=0t=