自动控制原理总结之判断系统稳定性方法

1、判断系稳定性的方法一、稳定性判据（时域）1、赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正;将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；an1an3an500anan2an4000an1an300n0小斗20000000a10000a2ao当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即1an10an1an3anan2an1an3an5anan2an40an1an3则方程无正根，系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。例；若已知系统的特征方程为s48s318s216s50试判断系统是否稳定。解：系统特征方程

2、的各项系数均为正数。根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。由得各阶子行列式；88181016181618812800516172808100161881051618000二86900各阶子行列式都大于零，故系统稳定。2、劳思判据(1)劳思判据充要条件:A、系统特征方程的各项系数均大于零，即a0;B、劳思计算表第一列各项符号皆相同。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。(2)劳思计算表的求法:A列写劳思阵列,并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行,即:snsnsnsananb1C1ananb2C2ananb3C3an6an7b4C4U1V1W1U

3、2B、计算劳思表anIan2anan3an1b2an1an4anan5an1an1an6anan7an1系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c,d,e等各行的系数。C1C2C3ban3an心Nan5an1C1b2b1C2d1-an7an也b1C1(3)劳思判据的两种特殊情况A、劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数代替进行计算，再令-0求极限来判别第一列系数的符号。B、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况此时，劳思表将在全为

4、零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。例1：已知系统特征方程为s52s43s36s22s10判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得:s5s4s163当&f0时，故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定例2:已知控制系统的特征方程为s62s58s412s320s216s16试判定系统的稳定性。解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。s6182016s5

5、(21216)s5168列写劳思计算表并计算得：s4(21216)s4168s300因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下.Ass46s28将A(s)对s求导，得：dAs4s312sds再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表：182016168168(412)1338138从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况，故必有共钝虚根存在。共钝虚根可通过辅助方程求得s46s280其共钝虚根为s12反；s342j,这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。二、根轨迹法(

6、复域)系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S平面的左半平面。例:已知系统的开环传递函数为G(?=?+1)(0.5?+1),试应用根轨迹法分析系统的稳定性。解：.？=赤熟漏=而(K.=2k)做根轨迹：(a) 有三条根轨迹(n=3m=0n-m=3)(b) 实轴上(0,-1)(-2,-s)为根轨迹段(c) 渐近线的夹角与坐标：(2?+1)?。8(-1)+(-2)?=(d)?-=601807,?=3=-1分离点坐标d:11,1_c?+1+?+2+?=0解得d1=-0.423d2=-1.58(舍去)因为d2不在根轨迹上(e)与虚轴的交点坐标:D(?=?+3?+2?+?令S=jw代入到式中得:D(?=(

7、?)+3(?)+2(?+?解得：-?；2?=0-3?2+?=0?=0,?=士1.414?=士1.414?=6,?=3根轨迹图如下所示:三、频率特性1、 奈氏判据(奈奎斯特判据)Z=P-2N系统稳定时Z=0由开环传递函数在S平面的极点个数巳奈氏曲线绕(-1,j0)的圈数N,得到闭环传递函数在S平面的极点的个数ZP通过G(S)可知N:顺时针为负，逆时针为正当V?0时，需要做增补线W:0-0+从幅相曲线W=0+位置开始沿逆时针方向画VX90的圆弧增补线(理论半径为s)计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。例：某单位负反馈系统的开环传递函数为G(?二:一?(?+1试用奈氏判据判别闭环稳定性。解：W0+OO幅值趋于0,相角趋于-270，N=-1,P=0,Z=P-2N=2故闭环系统不稳定。2、 对数频率判定系统稳定性工?N=?T-?=一2在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)0.对应的频率范围对应的相角是否穿越-180在V?0时，也需要做增补线