连续马尔科夫过程的转移概率及应用

1、随机过程课程设计（论文）连续马尔科夫过程的转移题目:学院:专业:班级:学生姓名:学生学号:概率及应用理学院应用统计学13090501张志达13090501312015年12月29日摘要选取19782009年四川农村居民人均生活消费值的32个样本，首先，通过Markov预测法预测未来生活消费水平的增长速度以10%20%的概率较大；然后，为提高预测精度，在传统ARMA模型中加入时间变量t进行建模并预测，预测结果表明平均相对误差率为1.56%，其中20062009年的相对误差的绝对值均小于0.5%;最后，将Markov预测和ARMA模型对20102012年的预测结果对比，发现两者在生活消费增长幅度上

2、吻合，预测结果可靠。结果表明，在与目前相似的政策力度下，短期内四川省农村居民消费需求将持续增长，需进一步扩大消费市场。关键词农村居民；生活消费；Markov预测目录1 .连续马尔科夫过程的转移概率及其应用42 .连续时间马尔可夫链基本理论52. 1定义53. 2转移概率5三.马尔可夫过程研究的问题的分析7数据来源与研究方法72 .计算状态转移概率矩阵83 .结果与分析10四结论和展望11五.参考文献12六计算结果及程序12一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研窕开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的

3、研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研窕的领域。类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶

4、编号并用，孙.分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、跳跃后所处的荷叶号码，那么区,nNO就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。关于马尔可夫过程的理论研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函

5、分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，E.B.登金（乂译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。目前，流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。二.连续时间马尔可夫链基本理论2.1定义设随机过程x(t),tNO,状态空间I=0,L2，若对小任意及非负整数0tjt20)为连续时间马尔可夫链。2.2转移概率在s时刻处于状态i,经过时间t后转移到状态j的概率PXJ(s,t)=pX(s+t)=j|X(s)=i)定义.2齐次转移

6、概率Rj(s,t)=Rj(t)(与起始时刻S无关，只与时间间隔t有关)转移概率矩阵P(t)=%(t),i,jtN0命题：若Ti为过程在状态转移之前停留在状态i的时间，则对s,t20有prxs+t|rxs=pr1t0;P.(t+s)=2Pn(t)Pj9(s)(kwI)正则性条件lim(t)=l,i=jliin(t)=0,ifj,(tf0)定义3初始概率：Pj=Pj(0)=P(X(0)=j),jel绝对概率：p(t)=PX(t)=t04(3)初始分布:p=ppjel(4)绝对分布：p(t)=pJ(t)jelJt0定理2齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有下列性质:(1)p/t)o=i)=

7、ZPg(t)+了)=2以电(5)PX(t1)=i1-X(tn)=in=ZRPa(ti)PV2(t?-ti)Pj(tn-1-)ie1三.马尔可夫过程研究的问题的分析农村居民的生活消费是消费需求的重要组成之一，颇受学者关注。己有研究内容主要集中于农村居民生活消费的区域差异、消费行为、消费结构、消费的影响因素等几方面。在研究方法上，主要采用了回归分析法、扩展性指出系统模型、最小二乘回归法、因子分析法、习惯性偏好的生命周期模型等进行分析“一川；从已有研究来看，大都立足于短期的消费数据，在研究方法偏向于回归分析研究，以提高农村的消费水平、促进经济发展为目的。实际上，正确预测农村的居民消费趋势及需求，及时

8、建立合理的消费结构，也有利于提高消费水平。四川省是一个农业大省，农村居民相对较多，对农村居民生活消费进行较精确的预测，有利丁充分调动农村消费对经济的拉动作用。然而对消费水平预测时，一次性预测出具体的结果难免会受到社会、经济、政策等因素的影响而产生较大的偏差。若能同时预测出各种结果的概率，将概率与具体结果对比分析，可进一步提高预测可信性，有利于对未来消费水平的把握。鉴于此，笔者采用预测事件发生概率的Markov预测，避免了预测中因平稳性差或数据欠缺等带来的偏差，提高了预测的可靠性.数据来源与研究方法1.1数据来源选取19782009年四川农村居民人均生活消费数据，包括食品，衣着，居住，家庭设备、

9、用品及服务，医疗保健，交通通讯，文教娱乐用品及服务，其他商品和服务共8类消费总数（数据来源于19792010年统计年鉴）。并根据其逐年增长幅度（n）确定状态。具体可分为大幅度增长（瓦，r,220%）、中幅度增长（E2,10%Wr,20%）、小幅度增长（氏，0%Wr,E2)=P(E21Gl)=0.6667用3=P(耳E3)=P(E31Gl)=0.3333P14=P(E1E4)=P(E4|E1)=0PuPIE-E1)=P(E1|E2)=0.2587=P3-E2)=P(E2|E2)=O.5OOOP?3=P(6-E3)=P(E3|E2)=0.2143p24=p(e2e4)=p(e2|e4)=oP31=

10、P(E3E1)=P(E1|E3)=1P33=P(E3E2)=P(E2|E3)=P33=P(E3E3)=P(E3|E3)=0斗=P(E3-E4)=P(E3|E4)=0.08333.结果与分析2.1Markov预测与分析根据表1数据，分别计算出从氏到E,的转移概率%(i,j=1,2,3,4)得出状态转移概率矩阵P如下:00.2587P=tbreak;%范围限定1998.200020022008冯有前的位置elseifA(Localization(i)+l)=E(l)a=a+l;elseifA(Localization(i)+l)=L(2)b=b+l;elseifA(Localization(i)+l)=Ec=c+l;%依此类推，取决于独立状态“E”的个数endendTG4：tt)=a/b/c;%为占位矩阵endTT=T;foru=2:l:ttTT(u,:)=T(u,:)-T(u-l,:);endTT;%至此，得到转移频数矩阵Y=sum(n/2)；foruu=l:l:ttTR(uu,:)=TT(uu,:)./Y(uuJ);endTR%最终得到马尔科夫转移频率/概率矩阵%观测序列马尔科夫性质的检验：N=numel(TT);uuu=l;Col=sum(n,2)；