中考数学二次函数压轴题题型归纳

1、中考二次函数综合压轴题型归类、常考点汇总1、两点间的距离公式：AB = JXy -y )2 + ( -x )2 2ABA BX(x +x y +y 、2、中点坐标：线段AB的中点c的坐标为：I, a2 b, a2 b直线y=kx+b（|<。0）与丫=1<乂+6 （kwO）的位置关系： 111222（1）两直线平行今k =k且6 wb （2）两直线相交。k wk 121212（3）两直线重合o k = k且b =b （4）两直线垂直o kk =-1 12121 23、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：用和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式

2、、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于的一元二次方程x22（m + 1）x+m2=0有两个整数根，m<5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线丫=02 +（3巾+ 1）乂+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定 此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx2一3（m-1）x+2m-3=0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总 有一个固定的根。解：当m = 0时，x = 1；（m-3）2>0,殳：当mwO时，

3、A=2m , 乂1,2常、x =1；综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下:已知抛物线y= x2-mx + m-2 （m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程y - x2 + 2 = m （ - x）；y-x2 + 2 = 0 y = -1)，解得：7；1-x = 0 x = 1.抛物线总经过一个固定的点（1, -l）o（题目要求等价于：关于m的方程y-x2 + 2=m«-x）不论m为何值，方程恒成立）/ d = 0勺、结：大于xtf'j力在ax=。另尢双用牛=节

4、=07、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线I、I ,点A在I上，分别在I、I上确定两点M、N ,使得AM + MN之 12212和最小。（2）如图，直线I、I相交，两个固定点A、B,分别在I、I上确定两点M、N ，使得 1212BM +MN + AN之和最小。（3）如图，A、B是直线I同旁的两个定点，线段a,在直线I上确定两点E、F （£在尸的 左侧），使得四边形AEFB的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，sAP4B=1/2 - PM Ax=l/2 - AN - Ay9、函数的交点问题：二次函数

5、（y=ax2+bx+c）与一次函数（y=kx+h）（1）解方程组y=ax2+bx+c y= kx+h可求出两个图象交点的坐标。(2)解方程组/ y="2+bx+c,即ax2+(bk)x+ch=0, y=kx+h通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点A>0仅有一个交点<=> A=0没有交点=A<010、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要

6、求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移1 / 1 o k = k、k 二 一121212X -X12平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等AB =9 -y > + ( -x A Y ABABX直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、 中垂线的性质等。AB = w - y A + ( - x )2 ABABX等腰三角形全等等腓样形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】一基础构图：y=x2-2X-3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大 在对称轴上找一点P,使得PB+PC的

7、和最小，求出P点坐标在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大，求出P点坐标求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P,使得AACP面积最大，求出P坐标讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得AACP为直角三角形,求出P坐标或者在抛物线上求点使ACP是以AC为直角边的直角三角形.讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得AACP为等腰三角形,求出P坐标讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上,且以B, A, F, E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标二综合题型例1(中考变式)如图，抛物线与x轴交与A(1,O),B(-3, 0)两点，顶点为D。交Y轴于C求该抛物

8、线的解析式与4ABC的面积。在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使AMBC是以NBCM为直角的直角三角形，若存在, 求出点P的坐标。若没有，请说明理由若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F,设E点横坐标为的长度为L,求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时，以点E、F、H、 D为顶点的四边形为平行四边形？在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大?例2 考点：关于面积最值如图，在平面

9、直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1, 0）、（0, -，点B在x轴上.已知某 二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=l,点P为直线BC下方的二次函数图 象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长;（3）求APBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.例3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线y='x?+bx + c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为（2, 0）,2点C的坐标为（0, 1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，

10、过点E作DE，x轴于点D,连结施，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.例4考点：讨论亘角三角(1)如图，已知点A ( 1, 0)和点B (1, 2),在坐标轴上确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有().(A) 2 个 (B) 4 个(C)6 个(D) 7 个11(2)已知：如图一次函数y='x+i的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数y=x2+22bx+c的图象与一次函数y=2x + l的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1, 20)(1)求

11、二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点庭，使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明理由.例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线丫=&乂2+乂+。(aWO)与x轴交于点A(-2, 0),点B (6, 0),与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P, x轴上有一动点Q.是 否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，

12、请直接写出点Q的坐标；如果不 存在，请说明理由.综合练习：©平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2-4ax+4a + c与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1, 0), OB=OC,抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足NAPB = NACB,求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点A关于NAQB的平分线的对称点为A,若QA-QB=点 求点Q的 坐标和此时QAA，的面积。区在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+2ax + c的图像与y轴交于点C(0, 3,与x 轴交于A、B两点，点B的坐标为(3,

13、0)。(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线0M把四边形ACDB分成面积为1 ： 2的两部分，求出此时点M的坐标;(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时4CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。口图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y 二顶点为B ，2x2-2x与x轴负半轴交于点A,m且对称轴与x轴交于点c。(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);(2) D为OB中点，直线AD交y轴于E,若E (0, 2),求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点M在直线OB上，且使得AAMC的周长最小，P在抛物线上，Q在

14、直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。已知关于x的方程(1-m)x2 + (4-m)x+3 = 0o(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若正整数m满足82m>2,设二次函数y=(1 m)x2 + (4 m)x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时， 求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。 5如图，抛物线y=ax?+2ax+c (aWO)与y轴交于点C (0, 4),与x轴交于点A (

15、- 4, 0)和B.(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC,交BC于点E,连接CQ.当4CEQ的面积最大时, 求点Q的坐标；(3)平行于x轴的动直线1与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D白姓标为(-2, 0).问 是否有直线1,使AODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1.已知二次函数y=x?+(ml)x+m2的图象与x轴相交于A (x , 0), B (xo, 0)两点，且 X4x】Vx展(1)若且m为正整数，求该二次函数的表达式；(2)若x

16、】Vl, x2>l,求m的取值范围；(3)是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C (0, 2),若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；(4)若过点D (0, V)的直线与(1)中的二次函数图象相交于M、N两点，且黑 =g,求该直 2Din 3线的表达式.题型二、抛物线与X轴两交点之间的距离问题 例2已知二次函数y=x2+mx+m-5,(1)求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；(2)求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题例1.已知抛物线y=x2-2(m + 1)x+m2 = 0与X轴的两个交点的横坐标均为整数，且mV5

17、,则整数ID的值为例2.已知二次函数y=x?2mx+4m8.(1)当x<2时，函数值y随x的增大而减小，求口的取值范围；(2)以抛物线y=x22mx+4ni8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AAMN (M, N两点在抛物线上)，请问：AAMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值;理由;(3)若抛物线y=x2 2mx+4in8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数口的值.题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1.已知抛物线y=x2+bx+C (其中b>o, CWO)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n),且AB=2.

18、(1)求m, b的值如果抛物线的顶点位于X轴的下方，且B0二回。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒:请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例1.已知：二次函数y=x2 4x+m的图象与x轴交于不同的两点A （x , 0）、B （x , 0） （x 121<x ）,其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D. 2（1）求实数m的取值范围；（2）如果（X +1） （ X +1） =8,求二次函数的解析式； 12（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A、 1B,顶点为点Cl,且 ABC是等边三角形，求

19、平移后所得图象的函数解析式. 11 1 1综合提升1 .已知二次函数的图象与X轴交于A, B两点，与y轴交于点C （0, 4）,且|AB =2 图象的 对称轴为x = l.（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方，求口的取值范围.2 .已知二次函数y=x2+mxm+2.（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB= 而 求口的值；（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、，迎内=27,求m的值.3 .已知关于x的一元二次方程x22(k+l)x+k2=0有两个整数根，kV5且k为整数.(1)求k的值；

20、(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x22(k+l)x+k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；(3)根据直线丫=乂+13与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围.4 .已知二次函数的图象经过点A (1, 0)和点B (2, 1),且与y轴交点的纵坐标为m.(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；(3)若二次函数的图象截直线y=x+l所得线段的长为2谭，求m的值.四、中考二次函数定值问题1.如图，已知二次函数L： y=x2-4x+3与x轴交于A. B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.(1)写出二次函数L：的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L.： y=kx2-4kx+3k (kW0).写出二次函数L.与二次函数L有关图象的两条相同的性质；4A若直线厂8k与抛物线L.交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 乙的长度；如果会，请说明理由.2 .如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2, 0)、B(2