初中数学《几何最值问题》典型例题

1、精品文档初中数学最值问题典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键.通过转化减少变量，向三个 定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.几何最值问题中的基本模型举例轴 对 称 最 值图形 /BP1M N1原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A, B为定点，1为定直 线，P为直线1上的一 个动点，求AP+BP的 最小值A, B为定点，1为定直线， MN为直线

2、1上的一条动 线段，求AM + BN的最小 值A, B为定点，1为定直 线，P为直线1上的一个 动点，求|AP-BP|的最大 值转化作其中一个定点关于定直线1的对称点先平移AM或BN使M , N重合，然后作其中一个 定点关于定直线1的对称 点作其中一个定点关于定直线1的对称点折叠 最值图形A MLx B N C原理两点之间线段最短特征在MBC中，M, N两点分另1J是边 AB, BC上的动点，将 BMN沿MN翻折， B点的对应点为 B,连接AB,求AB的最小值.转化转化成求 AB+ BN + NC的最小值、典型题型1 .如图：点P是/AOB内一定点，点 M、N分别在边OA、OB上运动，若/ A

3、OB=45 ,OP= 3/2 ,则 十MN的周长的最小值为.【分析】作P关于OA, OB的对称点C, D.连接OC, OD.则当M, N是CD与OA, OB的交点时， zPMN的周长最短，最短的值是 CD的长.根据对称的性质可以证得： COD是等腰直角三角形，据此即 可求解.【解答】解：作P关于OA, OB的对称点C, D.连接OC, OD.则当M, N是CD与OA, OB的交点 时，4PMN的周长最短，最短的值是 CD的长.PC关于OA对称，. XOP=2 ZAOP, OC=OP同理，/DOP=2/BOP, OP=OD. ZCOD = /COP+/DOP=2 (/AOP + /BOP) =2

4、 zAOB =90 , OC= OD . XOD是等腰直角三角形.则 CD=亚 OC= J2 x 3 拒=6 .【题后思考】 本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解PMN周长最小的条件是解题的关键.2 .如图，当四边形 PABN的周长最小时，a=汽金0) AIrr2 * 0)【分析】因为AB, PN的长度都是固定的，所以求出 PA+NB的长度就行了.问题就是 PA+NB什么时候 最短.把B点向左平移2个单位到B点；作B关于x轴的对称点B，连接AB，交x轴于P,从而确定N点位 置，此时PA+NB最短.设直线AB 的解析式为y=kx+b,待定系数法求直线解析式.即可求得a的值.【解答】 解：将N

5、点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B 2, - 1),作B关于x轴的对称点B，根据作法知点B 2,1),设直线AB 的解析式为y=kx+b,1 2k b贝U,解得 k=4 , b= - 7.3 k b .y=4 x - 7,当 y=0 时，x=,即 P ( Z , 0), a=,故答案填：7.4【题后思考】 考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识.3 .如图，A、B两点在直线的两侧，点 A到直线的距离 AM =4,点B到直线的距离 BN=1 ,且MN =4 , P为直线上的动点，|PA-PB|的最大值为 .【分析】 作点B于直线l的对称点B,则PB=PB因而PA-PB|=|

6、PA- PB | ,则A, B、P在一条直线 上时，|PA-PB|的值最大.根据平行线分线段定理即可求得 PN和PM的值然后根据勾股定理求得 PA、 PB的值，进而求得|PA- PB|的最大值.【解答】解：作点B于直线l的对称点B , aB并延长交直线l于P. BN=BN=1 ,过D点作BDXAM ,利用勾股定理求出 AB =5PA- PB|的最大值=5 .【题后思考】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.4 .动手操作：在矩形纸片 ABCD中，AB=3 , AD=5 .如图所示，折叠纸片，使点 A落在BC边上的A 处，折痕为PQ,当点A作C边上移动

7、时，折痕的端点 P、Q也随之移动.若限定点 P、Q分别在AB、AD边上移动，则点 A他C边上可移动的最大距离为 【分析】本题关键在于找到两个极端，即 BA取最大或最小值时，点P或Q的位置.经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA取最大值3和当点Q与D重合时，BA的最小值1.所以可求点 A BCC边 上移动的最大距离为 2 .【解答】 解：当点P与B重合时，BA取最大值是3,当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得 AC=4 ,此时BA1取最小值为1 .则点A,伯C边上移动的最大距离为 3- 1=2 .随意编辑【题后思考】 本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，

8、学生主要缺 乏动手操作习惯，单凭想象造成错误.5 .如图，直角梯形纸片 ABCD, ADXAB, AB=8 , AD = CD=4，点E、F分另U在线段 AB、AD上，将AAEFBD的长度，问题即可解决.ABCD内部时，PD的最小值等于,且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出【解答】解：如图，当点P落在梯形的内部时，/ P=ZA=90,四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，只有当直径EF最大，且点 A落在BD上时，PD最小, 此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8 ,由勾股定理得：BD2=8 2+6 2=80 ,. BD= 4/,. PD= 4册 8.VDC【题后思考】 该命

9、题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为 核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动.6.如图，/ MON =90。，矩形ABCD的顶点A、B分别在边 OM , ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2 , BC=1 ,运动过程中，点 D到点O的最 大距离为.【分析】取AB的中点E,连接OD、OE、DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OEAB,利用勾股定理列式求出 DE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大.【解答】 解：如图，取 AB

10、的中点E,连接OD、OE、DE, .dMON =90,AB=21 . OE= AE= AB=1 , 2 BC=1 ,四边形ABCD是矩形， .AD = BC=1 ,. .DE=拒，根据三角形的三边关系，OD v OE+ DE, 当OD过点E是最大，最大值为 J2+1 .故答案为：J2+1 .M【题后思考】 本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关 系，勾股定理，确定出 OD过AB的中点时值最大是解题的关键.7.如图，线段 AB的长为4, C为AB上一动点，分别以 AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角 ACD和等腰直角 BCE,那么DE长的最小值是CD=

11、 x, CD二 (4-x),根据勾 22【分析】设AC=x, BC=4 x,根据等腰直角三角形性质，得出股定理然后用配方法即可求解.【解答】 解：设AC=x, BC=4 x,ABC, ABCD均为等腰直角三角形，. CD= x, CD - (4-x), 22. CD=45, BCD =45,.ZDCE=90,.DE2= CD2+CE2= x2+ (4-x) 2=x2-4x+8= (x-2) 2+4 ,22,一根据二次函数的最值，当x取2时，DE取最小值，最小值为：4.故答案为：2.【题后思考】 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.8.如图，菱形

12、ABCD中，AB=2 , /A=120。，点P, Q, K分别为线段BC, CD, BD上的任意一点，则 PK+ QK的最小值为.【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点 P关于BD的对称点P,连接PQ与BD的交点即为所求的 点K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知PQXCD时PK+ QK的最小值,然后求解即可.【解答】 解：如图，= AB=2 , ZA=120 ,点P至CD的距离为2X43= J3,2PK+ QK的最小值为J3 .故答案为：石.【题后思考】 本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定 最短路线的方法是解题的关键.9

13、.如图所示，正方形 ABCD的边长为1 ,点P为边BC上的任意一点(可与 B、C重合)，分别过B、C、 D作射线AP的垂线，垂足分别为 B C、D,贝BB C DD 的取值范围是.【分析】首先连接AC, DP.由正方形ABCD的边长为1,即可得：S/xdp= - S正方形ABCD=,22S/ABF+ S4ACP= SZABC= S 正方形 ABCD=,22-1继而可得AP?2(BB CC DD )=1 ,又由 1WAPwJ2 ,即可求得答案.【解答】解：连接AC, DP.四边形ABCD是正方形，正方形 ABCD的边长为1 , . AB= CD, S 正方形 abcd=1 ,-SZADP= S 正方形 ABCD= , S4ABP+ SAACP= SABC= S 正方形 A