2020高考数学总复习平面向量

1、平面向量复习二、本讲主要内容1、 向量的概念；2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；3、向量运算的运用三、学习指导1-向量是数形结合的典范。向量的几何表示法一一有向线段表示法是运用几何性质 解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观 解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积 的几何意义一一共线；定比分点基本图形一一起点相同的三个向量终点共线等。2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两

2、 者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。 每一种运算都可以有三种表现形式： 图 形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法3匚依OA + OB = OCOB - OA = AB记 oa =(xi,yi),ob =(x i ,y2)则oa + ob =(x i +x 2,yi +y 2)OB-OA=(X2-xi,y2-y 1)OA + AB = OB实数与向量的乘积A五BAB =入 a入6R记 a =(x,y)贝U 入 a =( N, N)两个向量的数量积二a b =| a | b |COS记a=(xi,yi),b =(X2,y2)贝U a b =x iX

3、2+y iy23、 运算律力口法：a+b=b+a, （a+b）+c=a+（b+c）实数与向量的乘积：入（a + b ）= Xa +入b ；（叶。a = Xa + pa ,入（pa尸（入）i a两个向量的数量积：a b = b a；（入a）b=a （入b）=A（a b）, （a + b） c = a c+b c说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法一一，一，一一一c22则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如（a 士b）2=a 2a b b4、 重要定理、公式（1）平面向量基本定理；如果ei+ e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平 面内任一

4、i向量a ,有且只有一*对数数入1 ,加，满足a =入1 ei+ % e2,称入1 ei入 +%e2为ei , e2 的线性组合。根据平面向量基本定理，任一向量a与有序数对(入 1,尬) 对应，称(入 1,切为a在基底 ei, e2下的坐标，当取ei, ez为单位正交基底 i , j 时定义(入1,苞为向量a的平面直 角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x , y),则oa= (x,y);当向量起点不在原点时，向量 ab坐标为终点坐标减去起点坐标，即 若 A (xi,yi), B(X2,y2),贝U ab =(x2-xi,y2-yi)(2)两个向

5、量平行的充要条件符号语言：若a / b , a #0 ,则a = Xb坐标语言为：设 a= (xi,yi), b=(X2,y2),则 a /b(xi,yi)= 乂X2,y2),即 x1 x2 ,或yi y2X1y2-X2y1=0在这里，实数入是唯一存在的，当a与b同向时，入0 ；当a与b异向时，入0。|可二回，入的大小由a及b的大小确定。因此，当a, b确定时，入的符号与大小就确定了。 |b|这就是实数乘向量中入的几何意义。(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：a X b a b =0坐标语言：设 a=(xi,yi), b=(x2,y2),则 a，b xix2+yiy2=0(4)线段定比分点公

6、式如图，设PiP PP2则定比分点向量式： OP iOPi 1-OP2定比分点坐标式：设 P (x,y), Pi (xi,yi), P2 (x2,y2)Xi X2Iyi y2 1特例：当入=1时，就得到中点公式:OP l(OPiOP2), XiyiXi X22yi y22op=u oPi+v op2, u+v=i实际上，对于起点相同，终点共线三个向量 OP, 0Pi, OP2 (O与PiP2不共线)，总有,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为iX X h(X , y )，则 y y k(5)平移公式: 点平移公式，如果点P (x, y)按2= (h, k)平移至P分别称(

7、X, y),(X， y)为旧、新坐标，a为平移法则在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标图形平移：设曲线C： y=f(x)按2= (h, k)平移，则平移后曲线C对应的解析式为 y-k=f(X-h)当h, k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质(6)正弦定理，余弦定理正弦定理：2R sin A sin B sin C余弦定理：a2=b 2+c2-2cbcosAb2=c 2+a 2-2cacosB c2=a 2+b 2-2abcosc222222222定理变形：cosA= b, cosB= a

8、, cosC= Ha正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向 量法推导正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。四、典型例题例1、如图，OA , OB为单位向量，OA与OB夹角为1200,OC 与OA 的夹角为 450, |OC|=5 , 用OA , OB表示OC。D *7或解题思路分析： 0 A以OA, OB为邻边，OC为对角线构造平行四边形把向量OC在OA , OB方向上进行分解，如图，设 OE =入OA , OD =

9、 B ,入0 ,吐0贝(jOC=入 OA+ pOB|OA | = | OB | = 1居| OE |,月 OD|/E=60 0-OCE=75,由黑-LOCI事得:sin 60 sin 45Ioei LOCL#sin 6005(3,2,6)6|OC|sin 450| CE |0sin 605.635(3.2.6)5.63.5(3.2.6)5.6 i.OC L OA OB63说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理例 2、已知BC 中，A (2, -1 ), B (3, 2), C (-3, -1 ), BC 边上的高为 AD,求点D和向

10、量AD坐标。解题思路分析:用解方程组思想设 D (x,y),贝U ad = (x-2 , y+1 )bc = (-6 , -3),AD BC =0 -6(x-2)-3(y+1)=0,即 2x+y-3=0. bd =(x-3 , y-2),BC / BD -6(y-2)=-3(x-3),即 x-2y+1=0由得：. D (1 , 1), ad= (-1 , 2)例3、求与向量a = 3 , -1 )和b = ( 1 , 33 )夹角相等，且模为 行的向量c的坐标解题思路分析:用解方程组思想法一：设 c = (x,y),贝U a c= 3x-y , b c=x+ J3y=|a|c| |b|c|3x

11、 y x 3y即 x (23)y又| c |= 2x2+y 2=2x由得3 1,3 1(舍)y.3 1-2,3 1 2法二：从分析形的特征着手|a| = | b|二2a b =0 AAOB为等腰直角三角形，如图. |oc|= V2, /AOC= /BOC. C为AB中点说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。例 4、在4 AB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N,使 |om | ： |oa|=1 ： 3 , |on | ： | ob |二14,设线段AN与BM交于点P,记OA = a , OB = b，用a , b表示向量OP。解题思路分析： B、P、M共线记

12、 BP =S PM/. OP OB -s-OM -OB -s-OAb sa1 s 1 s 1 s 3(1 s) 1 s 3(1 s)同理，记AP tPN/. OP = -a t b 1 t 4(1 t)a,b不共线1 s9L s / rs -由得1 J 3(1 5解之得：21tt 8Vs 4(1 t)3.82 OP a b 1111说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数(如 S, t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于S, t的方程。例5、已知长方形ABCD, AB=3 , BC=2 , E为BC中点，P为AB上一点(1) 利用向量知识判定点

13、P在什么位置时，/ PED=45 0;(2) 若/PED=45 0,求证：P、D、C、E四点共圆。解题思路分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系则 C (2, 0), D (2, 3), E (1 , 0)设 P (0, y)ED = (1 , 3) , EP= (-1 , y)|ED | .10, | EP | ,y2 1ed EP =3y-1代入 cos45 0= ED EP| ED | EP|解之得y 2 (舍)，或y=2点P为靠近点A的AB三等分处(3)当/PED=45。时，由(1)知 P (0, 2)PD = (2 , 1 ) , EP = (-1 , 2).EP

14、PD=0. /DPE=90 0又/DCE=90 0 D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论。五、同步练习(一)选择题1、 平面内三点 A (0, -3), B (3, 3), C (x, -1 ),若 ab /bc ,则 x 的值为：A、-5B、-1C、1D、52、平面上 A (-2 , 1), B (1 , 4), D (4, -3), C 点满足 ac cb ,连 DC 并延长至E,使|ce|二4|ed|,则点E坐标为：A、(-8, 5)B、( 8,卫)C、(0, 1)D、(0,1)或

15、(2,33 3A、B、C、D、6、gBC 中，若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则/C度数是：A、600B、450 或 1350C、1200D、3007、Z1OAB 中，OA=a, OB=b, OP=p，若 p = t(-a 上)，t 6 R,则点 P 在|a| |b|A、/AOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上D、AB边的中线上8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部，且op= (0,3), os =(4, 0),贝U RM 二A、( 7, -)B、(7,1)C、(7, 4)D、(-,-)222 22 2(二)填空题9、已知 e1，e21是

16、平面上一个基底，若a = ei+入e 2, b =-2入e1 - e2,若a , b共线，贝！J入=10、已知| a|= 6m，|b | = 1 , a b=-9 ,则a与b的夹角是11、设e% e2是两个单位向量，它们夹角为 60,贝!J(2 e1 - e2)(-3 e1 +2 e2)=12、把函数y=cosx图象沿b (2k- , 1) (k Z)平移，得到函数 的图象。(三)解答题13、设 OA = (3 , 1 ) , OB = (-1 , 2) , OC OB , BC /OA ,试求满足 OD + OA = OC 的 OD的坐标，其中O为坐标原点14、若 a+b= (2,-8), a- b= (-8, 16),求 a、b 及 a 与 b 夹角 0 的余弦值15、已知|a|二四，|b|=3 , a和b夹角为450,求当向量a+入b与入a + b夹角为锐角时, 入的取值范围。参考答案（一）1、（二）9、（三）131415C 2、B3、 D 4、 B5、D 6、B 7、A 8、T10、611、12、y=sinx+1(11, 6)a= (-3 , 4) , b= (5, -12 ),6365入匚竺，或入上上且入力 662、 点(2, -1)沿向量a平移到(-2,1),