备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题45空间几何体的表面积和体积

1、专题45空间几何体的表面积和体积考纲要求：1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.2.了解球的表面积与体积的计算公式.基础知识回顾一、多面体的表（侧）面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积 与底面面积之和.二、旋转体的表（侧）面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S圆柱侧=2nrlS圆台侧=n（r+r）IS圆锥圆柱侧nrl三、空间几何体的体积、21.柱体: V柱体=Sh; V圆柱=nr h.2.锥体:V锥体=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(

2、sup 11(13,EQ * jc0 * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(1,3Sh；V圆锥=EQ * jc0 * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(13,EQ * jc0 * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(1,3nr2h.3.台体:EQ * jc0 * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(1台体=3,EQ * jc0 * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(1,3(S+ +t:Calibri * hps24 o(sup 11(1S) h；V圆台=3,t:Cal

3、ibri * hps24 o(sup 11(1,3 2 / / 2、nh(r+rr+r).四、球的体积与表面积1球的表面积公式：S=4n戌；的体积公式V=EQ * jc0 * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(43,EQ * jc0 * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(4,3nR32.与球有关的切、接问题中常见的组合:2(1)正四面体与球：如图1,设正四面体的棱长为a,内切球的半径为r,外接球的半径为R取AB的中点为D,连接CD SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相目切，圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称

4、性，内切球和外接球的球心同为Q此时，CO= OS= R, OE= r,SE=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(23,EQ * jcO * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(2,3AV *a,CE=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(33,EQ * jcO * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(3,3a,则有R+r=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(2、3,EQ * jcO * Font:Calib

5、ri * hps24 o(sup 11(2,34a,Rr=| CE=EQ * jcO * Fo nt:Calibri * hps24 o(sup 11(a23,EQ * jcO * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(a2,3，解得R=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(64,EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(6,4a,r=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(612,EQ * jc0 * Fon t:Calibri * hps

6、24 o(sup 11(6,12a.y 12 -(i-1产J費：g 户一:OP : r*AB(2)正方体与球：1正方体的内切球：截面图为正方形EFHG勺内切圆， 如图2所示.设正方体的棱长为a,EQ * jc0 * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(a则| OJ=r=2,EQ * jc0 * Font:Calibri * hps24 o(sup 11(a,2(r为内切球 半径).2与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG勺外接3圆，则| GO=R=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(22,EQ * jc0 * Fo

7、n t:Calibri * hps24 o(sup 11(2,2a.3正方体的外接球：截面图为正方形ACCA的外接圆，则| Aq=R=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(3,2a. 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥AABD的外接球的球心和正方体ABCDABCD的外接球的球心重合.如图3，设AA=a,贝U R=EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(32,EQ * jcO * Fo nt:

8、Calibri * hps24 o(sup 11(3,2a.如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R2=EQ * jcO * Fo nt:Calibri * hps24 o(sup 11(a24,EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(a2+b2+c2+b2+c2,4=EQ * jcO * Fo nt:Calibri * hps24 o(sup 11(l24,EQ * jcO * Fon t:Calibri * hps24 o(sup 11(l2,4(l为长方体的体对角线长).应用

9、举例：类型一、几何体的表面积【例1】【江西省南昌县莲塘一中2018届高三11月质量检测】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()4【解析】庄三视團可知，其衬应的几何体是如團所示的四棱拄热耳G，其中:侧面积J S盟卉=S码蚪=1x1 = 1rSgg =1x2=2,则该几何体的表面积毎S=x2 + lx2+2 + T2=7 + 2 r r伦-ATEF=亍CD -x ( 2 + 4)xy/3x4 = 4/3岭-ABC= S二皿a V*2x4乂JJcjaa-【例4】.如图，多面体ABCDE中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF/ AB,平面FBC3丄平面ABCDAFBC中BC边上的高F

10、H=2 EF=.求该多面体的体积【答案】性EOAD,二皿?丄平面ABCD,妙忑,连接也则ABCDEF-冬-ADEF +F-AECC7【解析】试题分析：由已知多面体ABCDE中，已知面ABC是边长为3的正方形，EF与面AC的距离 为2，将几何体补成三棱柱,我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱浓止阳的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：-多面体AfiCDEI中，平面FBCL平面ABCD且AB丄BC故ABL平面FBC./ EF/ AB EF丄平面FBC即GF丄平面FBC3FBC中BC边上的高FH=2,平面ABCD边长为3的正方形，EF=,I 1=3 3X X 3 X 2 X 三棱锥

11、E-ADG勺体积为，I315X 3 X 2 X 3 -.原几何体的体积为类型三、与球相关的切、接问题【例5】【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥-中,JT_ERPC=Ap=AC=込= ,BP iRJm,则该三棱锥外接球的表面积是（）【解析】试题分析：由已知多面体ABODES,已知面ABC虎边长为3的正方形，EF与面AC的距离7为2,将几何体补成三棱柱，我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：多面体中，平面FBCL平面ABCQ且AB BQ故ABL平面FBC.EF/AB - EFX平面FBQ即GF丄平面FBCAFBC中

12、BC边上的高FH=2,平面ABCEM边长为3的正方形，EF=,三棱锥E-AD&勺体积为，原几何体的体积为类型三、与球相关的切、接问题【例5【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中,则该三棱锥外接球的表面积是（）【解析】试题分析：由已知多面体ABODES,已知面ABC虎边长为3的正方形，EF与面AC的距离7为2,将几何体补成三棱柱，我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：多面体中，平面FBCL平面ABCQ且AB BQ故ABL平面FBC.EF/AB - EFX平面FBQ即GF丄平面FBCAFBC中BC边上的高FH=2,平

13、面ABCEM边长为3的正方形，EF=,三棱锥E-AD&勺体积为，原几何体的体积为类型三、与球相关的切、接问题【例5【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中,则该三棱锥外接球的表面积是（）【解析】试题分析：由已知多面体ABODES,已知面ABC虎边长为3的正方形，EF与面AC的距离7为2,将几何体补成三棱柱，我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：多面体中，平面FBCL平面ABCQ且AB BQ故ABL平面FBC.EF/AB - EFX平面FBQ即GF丄平面FBCAFBC中BC边上的高FH=2,平面ABCEM边长为3的正

14、方形，EF=,三棱锥E-AD&勺体积为，原几何体的体积为类型三、与球相关的切、接问题【例5【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中,则该三棱锥外接球的表面积是（）【解析】试题分析：由已知多面体ABODES,已知面ABC虎边长为3的正方形，EF与面AC的距离7为2,将几何体补成三棱柱，我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：多面体中，平面FBCL平面ABCQ且AB BQ故ABL平面FBC.EF/AB - EFX平面FBQ即GF丄平面FBCAFBC中BC边上的高FH=2,平面ABCEM边长为3的正方形，EF=,三棱锥E-

15、AD&勺体积为，原几何体的体积为类型三、与球相关的切、接问题【例5【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中,则该三棱锥外接球的表面积是（）【解析】试题分析：由已知多面体ABODES,已知面ABC虎边长为3的正方形，EF与面AC的距离7为2,将几何体补成三棱柱，我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：多面体中，平面FBCL平面ABCQ且AB BQ故ABL平面FBC.EF/AB - EFX平面FBQ即GF丄平面FBCAFBC中BC边上的高FH=2,平面ABCEM边长为3的正方形，EF=,三棱锥E-AD&勺体积为，原几何体

16、的体积为类型三、与球相关的切、接问题【例5【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中,则该三棱锥外接球的表面积是（）【解析】试题分析：由已知多面体ABODES,已知面ABC虎边长为3的正方形，EF与面AC的距离7为2,将几何体补成三棱柱，我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：多面体中，平面FBCL平面ABCQ且AB BQ故ABL平面FBC.EF/AB - EFX平面FBQ即GF丄平面FBCAFBC中BC边上的高FH=2,平面ABCEM边长为3的正方形，EF=,三棱锥E-AD&勺体积为，原几何体的体积为类型三、与球相关

17、的切、接问题【例5【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中,则该三棱锥外接球的表面积是（）【解析】试题分析：由已知多面体ABODES,已知面ABC虎边长为3的正方形，EF与面AC的距离7为2,将几何体补成三棱柱，我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：多面体中，平面FBCL平面ABCQ且AB BQ故ABL平面FBC.EF/AB - EFX平面FBQ即GF丄平面FBCAFBC中BC边上的高FH=2,平面ABCEM边长为3的正方形，EF=,三棱锥E-AD&勺体积为，原几何体的体积为类型三、与球相关的切、接问题【例5【山东

18、省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中,则该三棱锥外接球的表面积是（）【解析】试题分析：由已知多面体ABODES,已知面ABC虎边长为3的正方形，EF与面AC的距离7为2,将几何体补成三棱柱，我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可将几何体补成三棱柱，如图所示：多面体中，平面FBCL平面ABCQ且AB BQ故ABL平面FBC.EF/AB - EFX平面FBQ即GF丄平面FBCAFBC中BC边上的高FH=2,平面ABCEM边长为3的正方形，EF=,三棱锥E-AD&勺体积为，原几何体的体积为类型三、与球相关的切、接问题【例5【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期