专题1.5从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

1、第一篇集合与不等式专题1.05从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式【考试要求】1 .会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根 的关系；2 .经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函 数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3 .借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.【知识梳理】1 .一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式2 .三个匕次”间的关系判别式 A= b2 4acA> 0A= 0AV

2、0二次函数y= ax2+ bx+ c(a>0)的图象4/m,兀一次方程2 . ._ax + bx+ c= 0(a > 0)的根后两相异实根xi,x2（xi<x2）后两相等实根xi = x22a没有实数根ax2+ bx+c> 0(a>0)的解集 x|x>x2 或 xvx1R2 .一ax + bx+cv 0(a>0)的解集 x|xi < x V x2?3.(x a)(x b)>0 或(xa)(xb)<0 型不等式的解集不等式解集a<ba= ba>b(x a) (x b)>0x|x<a 或 x> bx|x 汽x

3、|x<b 或 x>a(x a) (x b)<0x|a<x<b?x|b<x<a4.分式不等式与整式不等式就>0(<0)?忖 g(x)>0(<0).(2)晦、0( <?0f(x) . g(x) '凤 gX0)丰 0. g(x)【微点提醒】1 .绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(一8, a)U(a, + °°)； x|<a(a>0)的解集为(a, a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2 .解不等式ax2+bx+c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情

4、形.3 .不等式ax2+ bx+ c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立？r一b 一°,或"a>0'C>0A <0.不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立？ *'或*'Jc<0A <0.【疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打“或"X”)(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(0°, x1)U(x2, + °°),则方程ax2+bx+c= 0的两个根是x1和x2.(2)若不等式a

5、x2+bx+ c<0的解集为(x，x2),则必有a>0.()不等式x2念的解集为-g <a.()(4)若方程ax2+bx+c= 0(av0)没有实数根，则不等式 ax2+bx+ c>0(a<0)的解集为R.()【教材衍化】.”>、,，、*12一 一 E,r - 一 ，、2 .(必修5P103A2 改编)已知集合A="x 2x-1<0； B = x|x2 x6<0,则 AAB=()A.( -2, 3)B.(-2, 2)C.(-2, 2D.-2, 23 .(必修 5P80A2 改编)y= log2(3x22x2)的定义域是 .【真题体验】1

6、 x4.(2018烟台月考)不等式>0的解集为()2十XA. -2, 1B.(-2, 1C.( 8, - 2) U (1 , +8)D.( 8, - 2 U (1 , +8)5.（2019北京海淀区调研）设一元二次不等式 ax2 + bx+ 1>0的解集为x| 1<x<2,则ab的值为（A.11B.-4C.41 D.-6.（2018汉中调研）已知函数f（x）=ax2+ax- 1,若对任意实数x,恒有f（x）w0则实数a的取值范围是【考点聚焦】考点一 一元二次不等式的解法角度1不含参数的不等式【例1 1】 求不等式一2x2+x+3<0的解集角度 2 含参数的不等式命

7、题点 1 通过判别式分类讨论【例1 2 解关于x的不等式kx22x+k<0(kC R).命题点 2 通过根的大小分类讨论【例1 3 解关于x的不等式ax2-2>-ax(a R).【规律方法】1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1) 化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或 ?).(3) 求：求出对应的一元二次方程的根.(4) 写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1) 若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否

8、为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3) 其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】(2018豫北豫南名校联考)不等式x23X|+ 2>0的解集是考点二一元二次方程与一元二次不等式【例2】已知不等式ax2bx1>0的解集是x|1<x<',则不等式x2 bxa>0的解集是 .23【规律方法】1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出

9、一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】(2019天津和平区一模)关于x的不等式ax- b<0的解集是(1, + 8),则关于x的不等式(ax+b)(x3)>0的解集是()A.( 8, - 1)U (3, +8)B.(1 , 3)C.(-1, 3)D.( £ 1)U(3, + 8)考点三一元二次不等式恒成立问题)对于任意实数 X,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数 a角度 1 在实数 R 上恒成立【例31】 (2018大庆实验中学期中的取值范围是()A.( 8

10、, 2)B.( 8, 2C.( 2， 2)D.( 2， 2角度 2 在给定区间上恒成立【例3 2】(一题多解)设函数f(x)=mx2mx 1(mw0)若对于x 1 , 3, f(x)v m+5恒成立，则 m的取值范围是.角度 3 给定参数范围的恒成立问题【例33】已知aC -1, 1时不等式x2+(a4)x+4 2a>0恒成立，则x的取值范围为()A.(8, 2)U(3, +8)B.( 8, 1)U(2, +8)C.( 8, 1)U (3, +8)D.(1 , 3)1. 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于 0就是相应的二次

11、函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围,谁就是参数【训练3】A.0（2019安庆模拟）若不等式x2+ax+ 1>0对一切xC o, 2"亘成立，则-5B.-2C.-2D. 3a的最小值是（考点四一元二次不等式的应用【例4】甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1虫W 10）,每小时可获得利润100 5x+ 1- x 旌.要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利

12、润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润【规律方法】求解不等式应用题的四个步骤（1）阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系（2） 引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.（3） 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.（4） 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】已知产品的总成本 y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3 000 + 20X0.1x2, xC（0, 240）.若每台产品的售价为25 万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）A.100 台B.120

13、台C.150 台D.180 台【反思与感悟】1 .三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形.2 .在解决不等式ax2+bx+c>0（或R0）于一切xCR恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次 项系数a进行讨论，并研究当 a=0时是否满足题意.3 .含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【易错防范】1 .当 左0时，ax2 + bx+c>0（aw0的解集为R还是？，要注意区别.2 .含参数的不等式

14、要注意选好分类标准，避免盲目讨论.【分层训练】【基础巩固题组】（建议用时：40 分钟）一、选择题1 .（2018 合肥调研）已知集合 A=yy=ex, xC R, B = xCR |x2-x-6<0,则 A AB 等于（B.(0， 3A.(0， 2)C.(-1, 0)D.(0, 1)D.2, 3C.-2, 3x+ 52 .不等式(x_ 1) 2>2的解集是()A. -3, g B. 1, 3 IC. g, 1 ；U(1, 3D. -2, 1 ；U(1, 33.不等式X|(12x)>0的解集为()A.( £ 0)U(0, 2 !1,c. 12, +/B.Loo n，2

15、d. 2!4 .已知函数 f(x) = -x2 + ax+b2-b+1(a R, bC R)，对任意实数 x都有 f(1 x) = f(1 + x)成立，当 xC -1,1时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是()A.( - 1 , 0)B.(2 , + 8)C.( 8, 1)U(2, +8)D.不能确定5 .(2019淄博月考)已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(aZ),且函数f(x)在(一2, 1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集是()A.( 8, - 1)U (0, +8)B.( 8, 0) U (1 , + 8)二、填空题6 .不等式2x2-x<

16、;4的解集为11八7 .已知不等式mx +nx»<0的解集为xx< 2或x力'则m-n=8 .(2019河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x) = x2-2x,则不等式f(x)>x的解集 用区间表示为.三、解答题9 .某商品每件成本价为 80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加8x成.要求售价不能低于成本价.5(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式 y = f(x),并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.

17、10 .解下列不等式:(1)0<x2 X 2<4(2)12x2ax>a2(aC R).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11 .已知函数f(x)="x' X'Q若f(2 xj>f(x),则实数x的取值范围是()ln (x+ 1) , x>0,A.(8, 1)U(2, +8)B.( 8, - 2) U (1 , +8)C.(-1, 2)D.(-2, 1)12 .(2019保定一中调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时,f(x)=x3,若不等式f( 4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A.( oo, V2)B.(-V2, 0)C.(-8, 0)U (业 +8)D.(- 8, 2) U (V2, +8)13 .设a