专题27+快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧-决胜高考数学之破解高考命题陷阱+Word版含解析

1、公众号：高中资料共享免费分享5000G学习资料破解高考命题陷阱一直线与国锥曲线综合问题的解献巧一.命题陷阱1 .不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱2 .范围不完备陷阱3 .圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱4 .不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）5 .圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱6 .圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱二、知识回顾1.椭圆的标准方程72（1）5 十 % = 1,（4。0）,焦点"（-C,。）,乙（。,0）,其中c =. J +:,焦点”(O,-c),A(O,c),其中c = b a"2 .双曲线的标准

2、方程(1) ；= 1,( > 09b > 0) 焦点耳(一c,。),居(c,0),其中 c =+ b .(2)1=1,(«>0力>0),焦点片(0,-0),5(0,0),其中一 =>/片+九3 .抛物线的标准方程(1) y2 =2px,y2 =-2px,M =2py,x2 =-2/?y,(/? >0).对应的焦点分别为:尸（4. o）,产（Y, 0）,尸 ©4）,2o, - 4）.2222三.典例分析1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱例L设椭圆二十二=1（ 人 0）的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为1 .已知A是抛物线V = 2p

3、x（p 0） cr2的焦点，尸到抛物线的准线/的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程：（II）设/上两点产，。关于工轴对称，直线AP与椭圆相交于点8 （B异于点A）,直线8Q与x轴相交于点。.若“尸。的面积为正，求直线A尸的方程.2【答案】（1）+- = 1, y2 = 4x. （2） 3x + #y-3 = 0,或3x-底，-3 =。.t解析】（I ）设尸的坐标为（一6。）.依题意，-=i ；与=。, 口一解得d=lj匕/=2, 2222于是从=1所以，椭圆的方程为/+（ = 1,抛物线的方程为丁=4文22（II）解：设直线4P的方程为工=孙，+ 1（?工0）,与直线/的方程犬=一1联立,

4、可得点尸（一1,一一），故。（一1,一）. mrn将x = 9+ 1与x?+ * = 1联立，消去x,整理得（3，+4）3+62V = 0,解得y = 0,或> =丝一.由点 3'3? +43厂 +46i28异于点A ,可得点8（一；一）.由。（_1,一），可得直线8。的方程为 3nr + 4 3nr + 4m-6"i2、/ 八 /-3厂+4 八 2、- z&7132 3?.八/2 -3"厂八E电2）-（木百+2-京）=。，令尸。，解得、= E'故"E。.所以l.d一急=£ .又因为的面积为*'彩熹*=与整理得3?2

5、_2«l7l+2 = 0,解得|?|=如，所以? = ±如33所以，直线AP的方程为3工+#），-3 = 0,或31一#），-3 = 0.【陷阱防范工分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理 练习1.已知椭圆C:* + * = l（a>0>0）,且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为0 + 1,最小距离为V2-1.（1）求椭圆的方程;公众号：高中资料共享免费分享5000G学习资料（2）过点S 0,-1的动直线/交椭圆。于48两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点。，使得以线段A3 k 3）为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点。的坐标：若不存在，请说明理由.

6、2【答案】（1）椭圆方程为5+），2=1 ；（2）以线段A8为直径的圆恒过点。（）.【解析】（1）椭圆方程为! + / =1（2）当:与x轴平行时，以线段声为直径的圆的方程为一+（>+；）当/与）?轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为1+产=1.故若存在定点J2,则e的坐标只可能为Q（0）.下而证明。（0,1）为所求：若直线/的斜率不存在，上述己经证明.若直线/的斜率存在,设直线/:丁 =依-L 4（玉,）,8（,乃），,1V k Y _由 -3得（9 + 18公卜2-12 6-16 = 0,/+2）3-2 = 0 = 144代+64(9 + 侬2)>0,玉+± =-1

7、6-,中)=18 代+9 1 - 18抬+922 -164 A12416 八7 9 + 18厂 3 9 + 18公 9=(玉，凹一 1),。分=(/, )3 - 1)， QAQE = xix2 +(y,-l)(y2-l) =（1+攵，）玉石一华（玉+/）+? =（1 +攵9，迎，即以线段A8为直径的圆恒过点0（0,1）.练习2.设椭吟+ * 。）的左焦点为八右顶点为A 离心率吗.已知A是抛物线V = 2px（p > 0）的焦点，F到抛物线的准线1的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程:公众号：高中资料共享免费分享5000G学习资料(H)设/上两点P,。关于工轴对称，直线AP与椭圆相交于

8、点5 (8异于点A),直线8。与x轴相交于点若“尸。的面积为如，求直线4尸的方程. 2【答案】(1)/+? = , 3,2=4x.(2) 3A + V6y-3 = 0,或3x-倔，-3 = 0.【解析】(I )设厂的坐标为(y,0).依题意，- = L = a, c = L,解得。=1, c = -, = 2,于是 a 2222尸所以，椭圆的方程为/+±S = ,抛物线的方程为V=4x.(口)设直线N户的方程为工二阳十1(相工缶，与直线J的方程x=-1联立，可得点尸(L2),故 m0(-1,2).将工二%+ 1与？ +竺=1联立，消去壬整理得(3/ + 4)廿+ 6号=0,解得=0,

9、或 m3y=三普7 ,由点田异于点&，可得点以之=，忑),由2(l2),可得直线3。的方程为 5m +43wa +4 3jh +4m.-6加 2. . . . S/n1+4 . . 21c 人 -方”日 2377rB . .>27V 亡门 (""tXx+)(2+iXy)=。> = 解传x = "J_7故5;0).所以3相十4 m3jm +4m3m 十2 3m +2I血卜1一学三又因为力切的面积为坐，故:,名三乂二=半，整理得3优 +2 3m +222 3m!2 + 2 | zw |23，2#|昭|十2二0,解得|诩二坐，所以初二土当.所以，直线

10、a尸的方程为我+灰炉一3=0,或3/、&-3=0.V练习3.已知椭圆G： +/= 1,曲线G上的动点M(x，y)满足：Jx +(>+ 26) + Jx- +(y_25/J) = 16 (1)求曲线G的方程：(2)设。为坐标原点，第一象限的点48分别在G和G上，OB = 2OA,求线段的长.【答案】(1)二+三=1 ；(2) -0. 16 45【解析】（1）由己知，动点M到点尸（0,-2-），Q（ 0,26）的距离之和为8,且|尸。|<8,所以动点M的轨迹为椭圆，而。=4, c = 2jJ，所以 =2, 22故椭圆G的方程为:+ 二 = 1. -16 4（2） A,3两点的坐

11、标分别为（.！，）3）,（修，为），由= 204及（1）知，O,A,8三点共线且点A,8不在），轴 上，因此可设苴线的方程为），=履.A将y =五代入+ y2=i中，得（1+4攵2）/=4,所以七=74/1+4K将），=丘代入二+t=1中，得（4 + /卜2=16,所以片16 44 + A又由砺=2赤，得/=4看，即844 + 11 + 4 公解得攵2 = 1,易得4|乔,|乔）,86途,*乔），故|A8|=：逐一段"152.范围不完备陷阱厂 V1例2.已知椭圆C： +亦=1（。>>0）的离心率为一，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为 cr b-24G（I）求椭

12、圆。的方程；（II）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B,当动点M在定直线x = 4上运动时，直线AM、BM分 别交椭圆于两点P、。，求四边形力P8。面积的最大值.【答案】（I）+ = 1：（II）6. 43【解析】（I）由题设知，a = 2c、2ab = 4",又解得。=2, = 1 ,22故椭圆。的方程为三+二=1.43（II）由于对称性，可令点其中1>0.22得（27+/）/+4&+4/-108 =力将直线AM的方程y = ；（x+2）代入椭圆方程1+ J = 1 643+4产108”曰 2" 54 nl由孙迎=2，X=-2倚两=J贝1丁?=3/ /

13、十r/，十r/r 十jt22再将直线的方程y = ,x2）代入椭圆方程9得（3+d）d-48-4/-12=0,+4-12 -m 2?-6 皿 &由物泡=3+产， 马=2/尤g= 3+产贝% = #?故四边形APBQ的面积为S = g|A8|卜.一），q卜2卜.一），q卜2（18r 6t27 + r +3 + r48f（9+产）（27 + /2）（3 + 产）48f（9 +f 2） _48（9 +产+ 12产19 +广9 +/由于几=> 6 ,io17且4十上在6,+6）上单调递增，故2 +上28,A/从而，有5 =48A h2<6.当且仅当几=6,即1=3,也就是点M的坐标

14、为（4,3）时，四边形AP8。的面积取最大值6.【陷阱防范工涉及含参数问题，求最值或范围时要注意运用均值不等式还是运用函数的单调性.11练习L设点尸0,_ ,动圆4经过点尸且和直线），=-一相切，记动圆的圆心A的轨迹为曲线 V 4J4（1）求曲线。的方程：（2）设曲线。上一点尸的横坐标为过P的直线交。于一点。，交x轴于点M,过点。作P。的垂线交C于另一点N,若MN是C的切线,求/的最小值.【答案】（1） / =），（2） rmin=-【解析】（1）过点A作直线AN垂直于直线-=-1于点N ,由题意得|AF|=|/W|,所以动点4的轨迹是以尸为焦点，直线y =-为准线的抛物线.所以抛物线C得方程

15、为犬=）二 4由题意知，过点尸（"）的直线P0斜率存在且不为0,设其为匕则左：7一户=河“一当y = Qx= ±生，则就二£ ,联立方程整理得；媪底+维T）= 0.k I 拈 Jd = y即（比-弓口-（即T） = 0,解得x = r或x =二0卜_&住T）”而0V,2乙所以直线7Vg斜率为-1二z1上-f）2=-1口-他-叨，联立方程广ST =一反"一住一切整理得: K4v2 = y111=0,即k kx = k-t. :.N%(&T)+ 1 k(k-/) + l 丁k-，Pkx +x(k _/)女(攵一，)+ 1 = 0,丘 + 4(

16、攵/) + 1工一(k-/) = 0,解得x =，或k?(KH + l)_k(k-t) + _-r +kt k(t2-k2 -1) 一 k - k而抛物线在点N的切线斜率，k = y x =k(kT)+ l _2k(kT2MN是抛物线的切线,92 灯 + 1,_2k(kT)_22,整理得/+内+ 1-2/2=0,. =/-4（1-2一）20,解得-彳（舍去）,练习2.已知双曲线C：二-二=1的离心率为行，点（有，0）是双曲线的一个顶点。 cr I”（1）求双曲线的方程；经过双曲线右焦点匀作倾斜角为30。的直线/,直线/与双曲线交于不同的A,8两点，求48的长。【答案】（1）二一二=1 （2）丝

17、且365【解析】22与双曲线联立方程组消），y得（1）因为双曲线C：二一二=1的离心率为点（JJ, 0）是双曲线的一个顶点，所以。=JIc = 3/ = J5, cr b-I 16小 f |=（2）经过双曲线右焦点吊作倾斜角为30。的直线/： y =Q54二+6%-27 = 0,."=一3，由弦长公式解得ABF练习3.已知椭圆。的方程弓+左。），双曲线三印的一条渐近线与1轴所成的夹角为30。，且双曲线的焦距为4".求椭圆C的方程:设"，与分别为椭圆C的左，右焦点，过F?作直线/ （与x轴不重合）交椭圆于A , 8两点，线段48的中点为E,记直线£

18、3;的斜率为我,求k的取值范围.【答案】（1）+ = 1： （2）6276 >/6百'五In【解析】一条渐近线与X轴所成的夹角为30。知巳=330。= 土，即2=3必, a3又c = 2jj,所以/+。2=8,解得/=6, =2,所以椭圆。的方程为二+二=1. 62（2）由知片（2,0）,设4（玉,凹），8（七，>2），设直线A8的方程为x = " + 2.三+21 = 1联立 6 2得(r+3)V+4)-2 = 0,x = ty+ 2,4/ 4a12由得%+石=尹” I4 I J2t尸+3 _ T6 一 r+6 一鼻厂+3 r +3J又耳（2,0）,所以直线K后

19、的斜率A =-2当/ = 0时，攵=0；当/ro时,I/:|_ N _ 1心6呜综合可知，直线"E的斜率的取值范围是IT，司，练习4.如图，在平面直角坐标系M?），中，己知直线/:工一）=2 = 0,抛物线C:y2=2px（>0）（1）若直线/过抛物线。的焦点，求抛物线C的方程：（2）已知抛物线C上存在关于直线I对称的相异两点P和Q .求证：线段PQ的中点坐标为（2-,-）.；求的取值范围.4【答案】(1) y2=8x (2)详见解析，(0,)【解析】 抛物线C:黄=2/。>0)的焦点为得由点小,0)在直线1:不一尸一2 = 0上，得£_0_2=0即P = 4.

20、£jL所以抛物线c的方程为/ = 8x.(2)设用6。(叼321线段PQ的中点时人佻)因为点P和Q关于直线/对称，所以直线I垂直平分线段PQ于是直线PQ的斜率为T，则可设其方程为yS由卜=2/"消去x得 >2 + 2py_2pb = 0(*) y = -x + h因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以其。乃，从而4 = (2)24(23>0,化简得 + 28>0.方程(*)的两根为 >'2 = p ± J p +2pb » 从而)b =:''J： = /?.因为M(x°,yo)在直线上,所以%=2

21、 - p.因此，线段PQ的中点坐标为(2 因为M(2 - p,-p).在直线y = -x+b上所以一 =一(2 )+ b ,即力=2 2”.4由(D 知+ 2/?>0,于是+ 2(2 2)>0,所以<一.34因此的取值范闱为(05).【方法总结】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系：(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的

22、取值范围.3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱例3.已知圆E：(x + l + y2=8,圆心为耳，定点5(1,0),尸为圆6上一点，线段PF?上一点N满足 PF?=2NF,直线上一点Q,满足QVPK=O.(I)求点。的轨迹。的方程：(II)。为坐标原点，0。是以"鸟为直径的圆，直线/:，=履+?与0。相切，并与轨迹。交于不同的两点_3 4'A,8.当。4。8 =几且满足时，求AOAB面积S的取值范围.2a/2 2出火2【答案】(I)+/=1：(II)2【解析】（I ） ."西=2愿.N为线段巡中点,丽闻二0.即为线段飓的中垂线 .|。尸| = |0玛| I克尸I

23、= |理2| + QP =忸迎| + 与照=2应 .由椭圆的定义可知。的轨迹是以P3迄为焦点,长轴长为2点的椭圆,设椭圆的标准方程为二十二=1 （。人 0）, cr lr则。=y/2 , C = 1 ,：.h1由 2 + '，消去 y整理得(1 + 2/)V + 4knix + 2nr -2 = 0. y = kx + m直线l与椭圆交于两个不同点， A = (4km)2 - 4 (1 + 2(2/- 2)= 8 (2公-> +1)>0,将川=芯+1代入上式,可得攵2>。，设 A(x”J, 8(七,力)，=.2点Q的轨迹C的方程为 + y2=o2（II） ;圆。与直线

24、/相切，则 x +x2 =4km1 + 2攵 22m2 - 2:.)、=(H +)(心：2 +加)=k1 xxx2 + km (x +x2) + nrm2-2k21 + 2公(M + D物)(1 + 2-)2).AB = "M+1)(M+x)_4xm2 = J/. 2 = OA OB = xxx2 + yy2V-2-,解得，公2.满足公0。 5531I 2（一十一）又S =/8| .忖EM故AOAB面积S的取值范围为当，茗.【陷阱防范】：涉及到三角形面积时用弦长公式还是用把三角形分成两个或几个三角形求而积练习1.设A（x“J, 3（毛,为）是椭圆?+a=1（4人°）上的两点

25、，椭圆的离心率为短轴长为2,已知向量而= （；,）, n ,且，力_L”, 0为坐标原点.（1）若直线A3过椭圆的焦点F（O,c）, （ c为半焦距），求直线A8的斜率A的值；（2）试问：A4O8的面积是否为定值？如果是，请给予证明：如果不是，请说明理由.【答案】（1）女=±2： （2）见解析.【解析】D由题可得：5=1,所以，椭圆的方程为1+/ = 142设dS的方程为；y = 4:十指，代入:十一 = 1得：（廿十4）/十2屏c1=0.a_ _一2展十巧=¥7?A>01不到=5毋十4即+遐.三佻十之=0,解得；k=±24 1 F+4/4 Ar + 4 4

26、（2）直线A8斜率不存在时，即内=，'1 = y2Vmln2 ：.mn=0,即玉 2- 号-=0又 A点在椭圆上k卜孝，1凹1=点. S=1|x,|弘一刈=-%,|-2| = 1,故AAOB的面积为定值1 22当直线A8斜率存在时，设AB的方程为），=辰+加，y = kx + m联立,2, 得：(2 + 4)x2 + 2hnx + m2 -4 = 0-+ X = 14-2kmm2 -4 % + X) = , xas = - , A>01 - k2+4-抬+4£侬=胴h一引=加 小（0+石一4中2 = 2 W ； T 乙乙A 1" 4所以三角形的而积为定值1.X

27、1 V21练习2,设椭圆）+ = = 1（。>>0）的左焦点为尸，右顶点为A ,离心率为一.己知A是抛物线cr2y2 = 2Px（p > 0）的焦点，F到抛物线的准线/的距离为 2（I）求椭圆的方程和抛物线的方程：（U）设/上两点P,。关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点8（8异于点A）,直线8。与x轴相交于点若"尸。的面积为如，求直线4尸的方程. 2【答案】（1）/+=1, y2 =4x. （2） 31 + #），-3 = 0,或3x-#y-3 = O.【解析】（I ）设厂的坐标为（y,0）,依题意，- =八a,一c = ,，解得。=1,c = -, = 2,于是

28、a 22222=/一°2=2所以，椭圆的方程为/+土=,抛物线的方程为/= 4%. 4322（1【）解:设直线AP的方程为工=少+ 1（加工0）,与直线/的方程犬=一1联立，可得点尸（一1,一一），故。（一1,一）. mm将x = D，+ l与犬+工=1联立，消去工，整理得（3/+4）3+6机v = 0,解得y = 0,或），=_.由点 3'''3广+43厂 + 4 6i28异于点A ,可得点8（一.一；）.由。（1,一）,可得直线8。的方程为 3"+4 3/77+4m6/772、/ 八 /-3？+4 八 2、八, 八 &门32 3？,八,2

29、 3厂-一-)(x + l)-(一 +l)(y-)= 0,令 y =。，解得 x =故 £)(_,0) 所以3r + 4 m3厂 + 4m3nr + 2 3nr + 2口盗=5冷.又因为的面积为*故?熹*=争整理得3?2_2#"H+2 = 0,解得所以 ? = ±亚.所以，直线AP的方程为3x+6y-3 = 0 ,或 333x-庖- 3 = 0.4.不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）例4.已知椭圆二十二=1与抛物线V=2px（p>0）共焦点A,抛物线上的点M到y釉的距离cr b-等于明用卜1,且椭圆与抛物线的交点0满足|。周=*.（I）求抛物线

30、的方程和椭圆的方程：（II）过抛物线上的点尸作抛物线的切线），=丘+ ?交椭圆于A、B两点，设线段相的中点为C（%,y。），求 %的取值范围.22(2) (-10).【答案】（1）工+ 22 = 1：98【解析】（1）抛物线上的点M到y轴的距离等于|岫|一1,点M到直线x = 1的距离等于点M到焦点F2的距离，得工=-1是抛物线丁2=2/>的准线，即一”=一1,2解得 =2, 抛物线的方程为V=4x： 可知椭圆的右焦点鸟（1,0）,左焦点片（1,0）,553由I。用=5得%+1 =于 又yj=4.%，解得。5，±7 5由椭圆的定义得2a = |。耳卅0周=+二=6, 2 24

31、= 3,又c = l,得匕2="2一。2=8,，椭圆的方程为二十二=1. 98（2）显然上工0, m工0由?, 消去得陟”一4»+4m=0>y =4工由题意知A = 16-16Mw=Q,得也2=1y = kx+m由/ ./，消去）?得（婢+ 8*+1随出+9疝¥至一其中b、二（18加一4（9/+8乂9/-72）> 0，化简得/一，+8 > 0,又上=J_,得删4 一由小一9<0,解得0<»?<9, m设/（小比）/（孙为），则$=笥也=一孤片，由上"二口:得%1,.的取值范围是（一1二。）m 9【陷阱防范】：

32、涉及圆锥曲线方程时要考虑定义的几何意义，往往可以简化解题步骤.22练习l已知双曲线c：，一今=15>°，人>°）的渐近线方程为：3'=±J冥，右顶点为。,。）（I）求双曲线。的方程；（II）已知直线>=工+加与双曲线。交于不同的两点A,8,且线段48的中点为M（Xo，%）,当飞。0时，求血的值。X。2【答案】（1） X为（1,0）,所以a = l/ = J5,即/一上=1（2）直线），=1+ 2与双曲线。联立方程组消y得 - -= 1（2） 33【解析】（1）因为双曲线C：1 二=1（。>0,>0）的渐近线方程为：旷=

33、7;底，所以，又右顶点 cr Zra2x2 - 2mx- nr -3 = 0,/. X)= 9 y0 =叫" /. 的值为 3 22%练习2.设椭圆。：二+5=1（。>>0）的左、右焦点分别为、E，其焦距为2c,点在椭圆的外部，点P是椭圆。上的动点，且|产用十 |PQ|v二忻用恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（A.3 0,二4)B.【答案】D【解析】点。C,2在椭圆的外部，则3 22,2> ,解得2/>/, a由椭圆的定义得|P娼+ |PQ| = 2|P引+ |PQ|, -归用+ |PQ| = |PQ| |P周引QE| = (.尸局+1 PQ| v *忻周恒成

34、立，. 2 +色v * x 2c , 32 3解得£>3,即e上.所以椭圆离心率的取值范围是）,选D.5.圆锥曲线中的求定点定直线（只考虑一般情况不考虑特殊位置）陷阱例5.已知过抛物线C:产=2px（>0）的焦点尸,斜率为的直线交抛物线于4（%,）1）,3（,片）（ <） 两点，且|A卸=6.（1）求该抛物线C的方程:（2）己知抛物线上一点4）,过点用作抛物线的两条弦用。和ME,且判断直线。石是否过定点？并说明理由.【答案】（1）r=4x： （2）定点（8,-4）【解析】 抛物线的焦点个 go) 一,直线A8的方程为：y = 2X-L y2 = 2 Px2联立方程组

35、 _应(,消元得：x22px + ? = 0,2X)+ x2 = 2 p, xxx2 = £./. AB = Jl + 2+ x, y = V?-4/?2 - p2 = 6解得 =2.抛物线。的方程为：y2 = 4x.(2)由(1)可得点M(4,4),可得直线。石的斜率不为0,设直线OE的方程为：x = my+t,、x = my +1, ,联 u , ，得厂一 4/nj' - 4/ = 0 ,y' = 4x则 = 16?2 +16/ > 00.设 D(x，y),E(,q,%)，则 X + >2 = 4?,)1为=4f -V MD-ME =(再一4,y 4)

36、-(x2 -4,y2 -4)= xlx2-4(%1+x2)+16 + y1y2-4(y1 + y2)+16= -4 + + 16+>'1y2-4(>>1 + >'2) + 16=M %+ 3y % -4(y + y2) + 32 lo=r 16/ - 12f+ 32 -16m = 0即产一+ 32 = 16尸 + 166，得：(r-6)2 =4(2/n + l)/. r-6 = ±2(2nz+l),即/ =46+8或I = Ti+4,代人式检验均满足（），/.直线 DE 的方程为：x = my+4ni+8 = ? （y+4）+8 或 x =m（

37、y - 4）+4.直线过定点（8,T）（定点（4,4）不满足题意，故舍去）.【陷阱防范】：1.定点与定值问题的解决，一般通过取极端位置（即特定位置）探索出定点或定值，然后再进行一 般性证明.2.解决定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关: 直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算 是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.练习1已知抛物线C:y = 2/,直线/：），=履+ 2交。于4、8两点，M是48的中点，过M作x轴的垂线交 C于N点.（1）证

38、明：抛物线。在N点处的切线与A3平行；（2）是否存在实数k,使以48为直径的圆M经过N点？若存在，求出”的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在实数&=±2使以A8为直径的圆M经过N点.【解析】 证明：设A（%,y）, 3（孙丹），把丁 =h+2代入y = 2/得2/一62 = 0.kk （k k1人2由（1）知 =5（y+ g）= -（2+Lq+4） = + 2,又因为A/N垂直于x轴， 2所以= gjl +"?所以玉+x, = , xv =,所以N ,一 .1 - 2 N ” 414 8 J因为（2/）' = 4x,所以抛物线在N点处

39、的切线斜率为k,故该切线与A8平行.（2）假设存在实数k,使以48为直径的圆M经过N点，贝" MN| 二 1|A8|.2所以，1 +4，？，16 +女1 = 士上,解得&=±2.2 4所以，存在实数&=±2使以48为直径的圆M经过N点. 2222练习2.已知命题：方程匚=1表示焦点在），轴上的椭圆：命题9：双曲线二-土 = 1的离心率2m m - 15 m。£（1,2）,若vg是真命题，求实数加的取值范围.【答案】0<m<15.X2 v2x2 v21【解析】将方程丁一二 二1改写为 + d = L只有当1-a>2掰>

40、;0>即0<相<；时,方程表2m m-12m 1 一的3示的曲线是焦点在N轴上的椭圆，所以命题?等价于0掰<；;2J2.因为双曲线4=1的离心率，所以巾>0,且解得0切15,所以命题g等 5 m5价于0<m<15 .或q为真，则0z<15.6 .圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱例6.在平面直角坐标系X0V中，点F（1,O）,直线工=一1与动直线），= 的交点为线段板的中垂线与动直线y=的交点为P.（1）求动点尸的轨迹E的方程：（2）过动点M作曲线上的两条切线，切点分别为A, B,求证：Z4A/8的大小为定值.【答案】（1）曲线E

41、的方程为）*=4x. （2）详见解析【解析】（1）因为直线尸=篦与x=T垂直，所以血印为点尸到直线文=一1的距离.连结尸尸，因为尸为线段MF的中垂线与直线丁 =双的交点，所以从尸=尸尸.所以点P的轨迹是抛物线.焦点为F（L。）,准线为x = T.所以曲线E的方程为/=4x.（2）由题意，过点M（l,）的切线斜率存在，设切线方程为y = A（x+l）,、y = kx + k + n. z ,联立、得 b，2-4y + 4攵+ 4 = 0,）广=4K所以 =16-4k（4&+4）= 0,即公+加一 1 = 0 （*）,因为,=2+40,所以方程（*）存在两个不等实根，设为用，匕，因为勺七=

42、一1,所以NAMfi = 90。,为定值.【陷阱防范】：1.定值问题的解决，一般通过取极端位置（即特定位置）探索出定值，然后再进行一般性证明.2.解决定值方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明定值与变量无关：（2）直接计算、推理，并在计算、 推理的过程中消去变量，从而得到定值.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想 和消元的思想的运用可有效地简化运算.x2 y25练习L点P是双曲线）一.=1（>0/>0）上的点，"，凡是其焦点，双曲线的离心率是二，且 cr lr-4p£p= o,若"/5用的面积是9,则。+力的值等于

43、（）.A. 4 B. 7 C. 6 D. 5【答案】BC Ja2 +b2 5 b 3【解析】双曲线的离心率是一=X= -=>- = - , PFPA=0/. P£ _L PF；,ZFR 的面积S = 1|P|-|P/s |= 9,产用P用=18.在aPF】F2中，由勾股定理可得4c2 =PF1 |2+俨6|2=（忙£卜|乙|）2+2|尸£口尸鸟| = 4。2+36,./+ =c+9, :.b = 39 :.a = 4,= 故选 C.练习2.如图，抛物线G：V=8x与双曲线G：今有公共焦点厂”点A是曲线在第一象限的交点，且|Ag| = 5.（I）求双曲线C,的

44、方程：一（II）以K为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N:（x2+y2=i.已知点尸0,、万），过点P作互 相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线L和4,设被圆M截得的弦长为s，被圆N截得的弦长为，.试探索; 是否为定值？请说明理由.2【答案】（I ） X2-= 1： （II）为定值JL 3t【解析】（I ）抛物线G：V=8x的焦点为巴（2,0）,双曲线C?的焦点为月（一2,0）、7s（2,0）.设A（小,先）在抛物线G ： V = 8X上，且|A用=5.由抛物线的定义得，x0 + 2 = 5, .x°=3./.=8x3,，%=4=2-76 .|A 司="3 + 2+（&

45、#177;26） =7又点4在双曲线上，由双曲线定义得，2« = |7-5| = 2, ：,a = .2双曲线的方程为：%2-= 1.（II）-为定值.下而给出说明:设圆”的方程为：(工+2丫+)，2=/，双曲线的渐近线方程为：y = ±43x.圆M与渐近线y = 土石x相切，圆M的半径为r= = JJ.故圆M:(x + 2+y2=3.依题意卜的斜率存在且均不为零，.所以 设乙的方程为y J5 = Z(xl),即依一 y + JJ k = O,设、的方程为y_0 = _，(x_i)，即x+b®_i = o, kI®_1点M到直线h的距离为4 = 1，点N

46、到直线 ' 的距离为八=1 , 直判被长1卜番卜用纥 直线，2被圆N截得的弦长f = 2l =2苔 ,故士为定值6. t.5=k币k-6k2 _ 6(&_阴 ,f 72 息 2k2 ：2(限_代)四.真题再现L平而直角坐标系X。中，已知椭圆。：=十二=1(。0)的离心率为半，左、右焦点分别是耳,尼，以 (/ b2K为圆心以3为泮径的圆与以凡为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆。上.(I)求椭圆。的方程；X2 V2(1【)设椭圆石：了了 十/=1, P为椭圆C上任意一点，过点P的直线 =辰+机交椭圆£ 于A8两点, 射线P。交椭圆E于点。.(i)求侬的值; |OP|(

47、ii)求AA3Q面积的最大值.【答案】（I） L+,，2=i： di） （ i ）2： （ii） 66 .4一 （?二炉可得5 = 1 J【解析】工由题意知2。= 4 ,则。=2，又£ =省 a 2所以椭圆C的标准方程为W + / = 1.4（ii）由（I）知椭圆e的方程为1+乙=1, 16 4设P（Xo，%）, 踹=彳，由题意知。（石0，-4）因为王+ 又+（二,左）_ = 1 ,即£ .+4=1所以4=2，即兽1644 4OP（ii）设将y = kx + m代入椭圆E的方程，可得（1+4攵2）12 +8左氏 + 4-16 = 0由>（），可得 >2 <

48、4 + 16）2 则有x1+x2 =Skm 4/n2 -16.I . 4416k2 +4-/ 所以打引="4/一 因为直线y = kx + m与轴交点的坐标为（0, c z11 ii 2>J6k2 +4-/7?21777 I所以AOAB的面积S = 一 小民一 xj =2 + 46 1 + 4公 1 1 ""1 + 4 公2个（6内+4-"/）尸1 + 4-2nr nrx2 + 8kMx + 4m2 -4 = 0匚&3 =，将），=履+ ？代入椭圆C的方程可得。+ 4F）由ANO ,可得加？Kl + 4攵2 由可知0</<1因此

49、5 = 2/4一，"=2，一/+4/，故S42VJ当且仅当7 = 1 ,即=1+4公 时取得最大值2/由（i）知，ABQ面积为3s，所以AA3Q而积的最大值为6G . 222 .已知椭圆E：5 + y = l （a>Z?>0）的半焦距为原点O到经过两点（c,0）,（0力）的直线的距离为;c.（I）求椭圆E的离心率：（II）如图，AB是圆入1:" + 2+（），-1=*的一条直径，若椭圆E经过A, B两点，求椭圆E的 2方程.【答案】（I） : （II） + = 1. 2123【解析】（I）过点（c,0）, （0,b）的直线方程为加+.-儿=0,则原点O到直线的距

50、离d = . hc =, yb2 +c2。由4 =1c,得a = 2b = 24苏一c?,解得离心率£ =正. 2a 2（ID解法一：由（I）知，椭圆E的方程为Y+4）?=4/.依题意，圆心M（2,1）是线段AB的中点，且IABI=JHT 易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为），=攵（x + 2） + l ,代入得(1 + 4k2 )x2 + 8k Qk + l)x + 4(2k +1)2-4Z?2 =0设y。仪声,y。则石十%二4<2Jt+l>-敏i+4?由两十与二-4另一丁为产二一4,解骨上二1.从而再为=8-2斤.于是|AB|二由|AE|=、®）得J10

51、（层一2）=厢,解得2=3.故椭圆E的方程为二+二二1. 12 3解法二：由（D知，椭圆E的方程为产+4,，2=42.（2）依题意，点A, B关于圆心M（2,1）对称，且lABLx/ni.设4司41）上（工2，丫2），则X12+4y=4/, x2:+4y22 =4/，两式相减并结合$+=-441 + 丁2=2,得（内一%）+8 y -y2 =0.易知，AB不与x轴垂直，则再。心，所以AB的斜率kq =二 L '再一看 2因此AB直线方程为y = '（x + 2）+l,代入得/ + 4工+8-*2=0. 2所以玉+=5，玉& = 8-2".于是I AB 1= J

52、1 +（ IX, x, 1= J（，l +看） -= yjO（b 2）.由IABI=Jib,得/0面-2）=加,解得 =3.22故椭圆E的方程为1+工=1.12 33 .如图，设椭圆二+），2=i（”>1）. cr（I）求直线产丘+1被椭圆截得的线段长（用，八k表示）:（II）若任意以点A （0.1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）二:（II）o<<.1 +（广内2y = kx + 【解析】（I）设直线y = kt + l被椭圆截得的线段为AP,由, 得+r = i Ur0 +2.2仙=0 ,故2crk1 + 4乂一因此网二百卜引=三号

53、.百.（H）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P, Q,满足|ap|=|aq|.记直线AP, AQ的斜率分别为占，且公，公0,%由（I）知,|aq| = 2 华华 111+。乂；一故2a2 k. |1 + k； _ 2/ 图正门1+/奸1 +白遮所以（k： 一项1 + k；+,J（2-/快迟=0 .由于K工0 , k,0>0得1+奸+片+/（2一/）将后=0,因此/ 1 y 1+ 1 + 1 = + a2（a2 -2）>th 八内）因为式关于勺，3的方程有解的充要条件是1 + /（/_2）>1,所以因此，任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆

54、至多有3个公共点的充要条件为1 v a W 2，由。=£ = 亘二1得,所求离心率的取值范围为0ve«走.a a25,已知椭圆C： 9/+/= /（?> 0）,直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与。有两个交点a, B,线段A8的中点为M.（I）证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；（II）若/过点（竺,?），延长线段OM与。交于点P,四边形Q4P3能否为平行四边形？若能，求此时/的斜 3率，若不能，说明理由.【答案】（I）详见解析：（II）能，4一近或4 + >/7.【解析】（I ）设直线/:y = kt + Z> （攵=。/00）, A（X1,y）, B（x2,y2） 加（如，£3）y = kx+b 代入9x2 + y2 = /得（A? + 9）x2 + 2kbx + b -m' =0 ,故xM = ,二= ,2 k 4 9o/?vovA/ =kxM+b = -一.于是直线OM的斜率=*=-7,即心“.攵=-9所以直线OM的斜率与/的K+9xMk斜率的乘积