【高考数学大题精做】专题05立体几何中最值问题(第三篇)(解析版)

1、【高考数学大题精做】15 / 12第三篇立体几何专题05立体几何中最值问题对应典例利用侧面展开图求最值典例1利用目标函数求最值典例2利用基本不等式求最值典例3【典例1】【河南省非凡吉创联盟 2020届调研】如图，AB是圆柱的直径，PA是圆柱的母线，AB 3, PA 3，3 ,点C是圆柱底面圆周上的点(1)求三棱锥P ABC体积的最大值；(2)若AC 1, D是线段PB上靠近点P的三等分点，点 E是线段PA上的动点，求CE ED的最小值.【思路引导】1 一.(1)二棱锥的图为定值，要根据二棱锥体积公式V - Sh可知，要使得体积最大，就要底面积最大，又因3为边AB为定值，故当C到AB的距离取得最

2、大值时，底面积最大，故此时棱锥的体积最大；(2)反向延长 AB至C，使得C ,D,E三点共线，三点共线时，距离最短，则 CD为CE ED最小值.(1)三棱锥P ABC高h3M , AB 3 ,点C到AB的最大值为底面圆的半径则三棱锥P ABC体积的最大值等于1 3、,3 1 3 3 T32 24(2)将PAC绕着pa旋转到PAC使其共面,且C在AB的反向延长线上,连接CD , CD与pa的交点为E ,此时CE ED最小，为C D ;1-由AB 3, PA 3J3,且易知PA AB ,由勾股定理知PB 6 ,因为AB PB ,所以 APB 300,2 0 2 则 DBC 60°, BD

3、 -PB 4；3CB CA AB 1 3 4,则 BDC是边长为4的等边三角形，故CD 4 ,所以CE ED的最小值等于4.【典例2】【江西省新余市第四中学 2020届月考】已知梯形 ABCD 中，AD/BC, / ABC = / BAD =，AB=BC=2AD=4 , E、F分别是 AB、CD 上的点，EF/ BC, AE = X, G是BC的中点.沿 EF将梯形ABCD翻折，使平面 AEFD，平面EBCF .(1)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值;(2)当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.【思路引导】(1)由AEFD 平面EBCF ,

4、 EF /BC/AD ,可得AE EF ,进而由面面垂直的性质定理得到AE ±平面EBCF，进而建立空间坐标系E xyz,可得f xVd bcf Va bfc的解析式，根据二次函数的性质,uv易求出f x有最大值；(2)根据(1)的结论平面BCF的一个法向量为n20,0,1 ,利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面 BDF的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D BF C的余弦值.解：(1)二.平面 AEFD 平面 EBCF ,AE，EF,.AE,面平面EBCF ,AE，EF,AE，BE,又BE，EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz.则A (0, 0, 2),B (2,0, 0)

5、, G (2, 2, 0), D (0, 2, 2),E (0, 0, 0) /AD /面 BFC,所以f XVa-BFC= -S bfc3AE 4 4 x x3 2.82时f x有最大值为一.3uv(2)设平面 DBF 的法向量为 n1 x, y,z , - AE=2, B (2, 0, 0),uuvuuvD (0, 2, 2), F (0, 3, 0) ,. BF 2,3,0 , BD (2, 2, 2)uv uuvn1 BD 0x, y,z则 uv uuv ,即n1 BF 0x, y,z2,2,20 2x 2y 2z 02,3,00 ' 2x 3y 0uv 取 x= 3,则 y=

6、2, z= 1, .a 3,2,1面BCF的一个法向量为uvn20,0,1uv uv贝U cos< n1, n2 >=uv ivni n2T414 .由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：一1414【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】EH /如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，E, H分别是棱A1B1, D1C1上的点(点E与B1不重合)，且A1D1.过EH的平面与棱BB1, CC1相交，交点分别为 F, G.(I)证明：AD /平面 EFGH ;(II) 设AB=2AA 1="2" a .在长方体ABCD A1B1C1

7、D1内随机选取一点.记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p,当点E, F分别在棱 A1B1上运动且满足 EF=a时，求p的最小值.【思路引导】 解法一：(I) 证明：在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AD /AiDi又 EH / AiDi, AD / EH./AD 0平面 EFGHEHU 平面 EFGH AD 平面 EFGH.(II) 设 BC=b ,则长方体 ABCD AiBiCiDi 的体积 V=AB- AD- AA=2a2b, 几何体 EBiF-HCiG 的体积 Vi= (i/2EBi BF) - iCi=b/2 - EB- i F EBi2+ Bi F2=a2E

8、Bi2+ Bi F2<(EBi2+ Bi F2) /2 = a2/ 2,当且仅当 EB-i=Bi F= la 时等号成立从而 Vi< 2b /4 .故 p=1-Vi/V >1a2b 7工=82a2b 8解法二:(I)同解法(II)设 BC=b,则长方体 ABCD AiBiCiDi 的体积 V=AB AD- AA=2a2b ,几何体EBiF-HCiG的体积Vi= (i/2 EB-i B F) - iCi=b/2 EB-1 - i F设/ BiEF=0 (0° wew),90/ EB-i=" a" cos,Bi F ="a" si

9、n 0故 EB-i b F = a2sin 0当且仅当sin 2 0 =i 0 =4川等号成立.a2b从而V4a2b42a2b7 ,当且仅当sin 280 = iP 0 =45时等号成立.所以，p的最小值等于7/8【针对训练】1.【广东省佛山市第一中学 2020届月考】如图，正方体 ABCD AB1C1D1的棱长为a, E、F分别为AB、BC上的点，且AE= BF = x.(1)当x为何值时，三棱锥 B1 BEF的体积最大?(2)求异面直线AiE与BiF所成的角的取值范围.【思路引导】(1)首先得到体积函数，然后利用均值不等式确定取得最值时x的值即可；(2)首先作出异面直线 AE与BiF所成的

10、角，然后结合余弦定理求得角的余弦值取值范围，最后利用余弦值的范围确定异面直线 AE与BF所成的角的取值范围.【详解】(1)幻工工.K+#尸=,3 266224- a .当x 时，二梭锥B BEF的体积取大.2(2)在AD上取点H使AH = BF = AE,则/此片，川二(?。三胃再用犷，所以 HAE(或补角)是异面直线 AE与BF所成的角；在 RtAAH 中，ah 行x2，在 RtAAAE 中，AEJa2 x2 ,在 RtHAE 中，he &x2 V2x，222在HAE 中，cosHAEAH2 AE2 eh22AH AEc c cc 1a211T所以 a2 X2 a2 2a2, 1,

11、- cosHAE 1, 0HA1E -2 x2 a2232 .【安徽省安庆市2020届模拟】如图，ABC内接于圆O, AB是圆O的直径，四边形 DCBE为平行四边形， DC 平面ABC ,AB 2,EB 、.3.(1)求证：DE，平面ADC ;(2)设AC x, V(x)表示三棱锥B ACE的体积，求函数 V(x)的解析式及最大值.【思路引导】(1)要证(1)要证DE 平面ADC ,需证BC 平面ADC ,需证DC BC, BC AC ,用综合法书 写即可.1(2)由(1)可知BE 平面ABC ,所以体积为BE SABC , AC x BC y47 EB J3，禾”用 3均值不等式求解最大值.

12、详解：证明：.四边形 DCBE为平行四边形，CD/ BE,BC/DE. DC，平面 ABC, BC?平面 ABC, DCXBC.AB 是圆。的直径，BOX AC,且 DCAAC=C. .BC,平面 ADC. DE / BC,DEL平面 ADC;(2) . DC，平面 ABC,BE,平面 ABC.在 RtAABE 中,AB=2,EB=3V;在 RtAABC 中，: AC=x,BC=4- x2- V(0< x<2). SAABC=12AC?3C=12x?4-x2 V ,V(x)=VE- ABC=3v/6x?4- x2，,(0< x<2).x2(4- x2)? (x2+4-

13、x22)2=4,当且仅当 x2=4- x2,即 x=2vM,取等号，x=2vt1体积有最大值为 3V3.3 .【浙江省金华市十校 2020届模拟】如图，在三棱锥 P ABC中，AB BC, AP PC, ABC 60 , AP PC ,直线BP与平面ABC(0,1).uuv uuuv成30°角，D为AC的中点，PQ PC ,(l)若PB PC ,求证：平面 ABC 平面PAC ;(I)若PB PC ,求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值的取值范围【思路引导】 由题意可得直线 BP与平面ABC所成角是 PBD ,即 PBD 30 .设AC 2a,则BD J3a , PD a ,由余弦定

14、理得 PB a或2a.(I)若 PB PC,则 PB2a,由勾股定理可得PDDB ,又PD AC ,据此可得PD 平面ABC,平面PAC 平面ABC.(l)若 PBPC ,则 PB a,故 PQ 72 a , BQ 72"1a ,设hQ是Q到面PAB的距离,hC是C到面PAB的距离，则hQ由等体积法可得hC2.21,2.21aa，hQ -aa .设直线BQ与平面PAB所成角为 ，则sin2、一 217,据此可得直线BQ与平面PAB所C 21成角的正弦值的取值范围为0,7试题解析: AB BC, AP PC, D 为 AC 的中点,BD AC , PD AC, AC 平面 PBD ,直

15、线BP与平面ABC所成角是 PBD, PBD 30 .设AC则BD由余弦定理得 PB a或2a.(i)若PB则PBPBD 中 PD2 DB2 PB2. PD DB ,又PDACACDB平面ABC , .平面PAC 平面ABC .(I)若PBPBuuuv a, . PQuuuvPC , PQ V2BQ 2 2设hQ是Q到面PAB的距离,hC是C到面PAB的距离,则 hQhC ,由等体积法：1 § 2a3 414a v2a h0 ，4 %2 21 a ,2 .21设直线BQ与平面PAB所成角为sinHQBQ2.212.211a、2 20,1 ，10,2 . 0 sin21故直线BQ与平面

16、PAB所成角的正弦值的取值范围为4 .【北京市城六区2019届高三模拟】已知三棱锥 P ABC (如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形 ABCD为边长为 J2的正方形，AABE和BCF均为正三角形，在三棱锥 PABC 中:(I)证明：平面PAC 平面ABC;(I求二面角A PC B的余弦值;(I若点M在PC上，t足CMCP1 2、 ，一,一，一,点N在BP上，且BM AN ,求 3 3BN 一BN的取值范BP围.【思路引导】第一问取AC中点O,根据等腰三角形的性质求得PO AC ,根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB,利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根

17、据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0,得出所求的比值与 的关系式,利用函数的有关知识求得结果 .(D方法1:设AC的中点为O ,连接BO , PO.由题意PA PB PC &，PO 1，AO BO CO 1因为在 PAC中，PA PC,。为AC的中点所以PO AC ,因为在 POB 中，PO 1, OB 1, PB J2所以PO OB因为 AC OB O, AC, OB 平面 ABC所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC所以平面PAC 平面ABC方法

18、2：设AC的中点为O ,连接BO , PO.因为在 PAC中，PA PC,。为AC的中点所以PO AC ,因为 PA PB PC , PO PO PO , AO BO CO所以 POA POBPOC所以 POAPOB POC 90所以PO OB因为 AC OB O, AC, OB 平面 ABC所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC所以平面PAC 平面ABC方法3：设AC的中点为O ,连接PO ,因为在 PAC中，PA PC ,所以PO AC设AB的中点Q ,连接PQ , OQ及OB .因为在 OAB中，OA OB, Q为AB的中点所以OQ AB .因为在 PAB中，PA PB , Q为AB的中点所以PQ AB .因为 PQ OQ Q, PQ,OQ 平面 OPQ所以AB 平面OPQ 因为OP 平面OPQ所以OP AB因为 AB AC A, AB, AC 平面 ABC所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC所以平面PAC 平面ABC(I)由PO 平面ABC, OB AC ,如图建立空间直角坐标系，则yO 0,0,0 , C 1,0,0 , B 0,1,0 , A 1,0,0 , P 0,0,1uuv由OB 平面APC ,故平面APC的法向量为OB 0,1,0uuvuuv由 BC 1, 1,0 , PC1,0, 1v一设平面PBC的法向量为n x