九年级数学第二十八章锐角三角函数综合复习试题(含答案)(157)

1、九年级数学第二十八章锐角三角函数综合复习试题(含答案)如图，RtsABC中，CA= CB , MCB= 90。，D为射线AC上一点，过点D 作DE姐B于点E, F是BD的中点.(1)如图1 , FE与FC有何关系，并说明理由；(2)如图2 ,将明DE线点A顺时针旋转，使点D落在回ABC内部，判断(1) 中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明；(3)将明DE绕点A顺时针旋转75。，若CA= 2 ,且CB国BD，连接CE ,请 直接写出回CEF的面积.【答案】(1)相等且垂直，证明见解析；(2)成立,理由见解析；(3) 4-6.【分析】(1)因为在R的DBC中，F是BD的中点

2、，得CF = ： BD,在RWDEB中，同理 可得EF = ： BD ,再利用等量代换得到FE二FC ,同时可以得到点B ,C, D , E在 乙以F为圆心，FC为半径的圆上，弧CE所对圆周角国ABC=45。所以弧CE所对圆心'角回EFC=2回ABC=90°从而彳导到，FE=FC且FE团FC(2)如图，取AB中点M, AD中点N,连接CM、FM、EN、NF,利用中位线定理可得FM=0.5AD , EN=0.5AD , CM=NF=0.5AB ,且可证团CMF二团ENF ,所以可得0CMF豳FNE ,从而得到CF二FE ,再利用将回EFC分解成国NFE+因DFN+国DFC进行求

3、解，国EFC二团NFE+国DFN+团DFC=团FCM+回FBM+团FCB+田CBF=90° ,从而求出位置 关系垂直.如图,取AB中点M , AD中点N , BD中点F，作DG团AB ,连接CM、FM、EN、 NF ,可证 FM=0.5AD , EN=0.5AD , CM=NF=0.5AB ,且可证回CMF二团ENF , 从而得0CMF豳FNE ,得到CF二FE.通过角与角的关系，求出团EFC=90° ,从而可 得和(1) ( 2 ),一样的结论FE与FC相等且垂直.【详解】(1)相等且垂直.团团ACB = 90° ,在 RtEDBC 中,国F是BD的中点，0CF

4、=-BD,团 DEEAB ,团EFBD , 2团FE二FC ;团点B , C , D , E在以F为圆心，FC为半径的圆上.回CA=CB国 BAC =回 ABC=45°团弧CE二弧CE国 EFC=2回 ABC = 90°团FE二FC 且 FElilFC(2)成立;如图，取AB中点M, AD中点N,连接CM、FM、EN、NF,可证 FM=0.5AD , EN=0.5AD , CM=NF=0.5AB ,且可证国CMF二回ENF ,团可得囱CMF豳FNE ,mCF=FE.国 CMFimiFNE国 NFE 二回 FCM团N、F分别是AD,BD中点团NF可AB亚 DFN 二国 FBM

5、又国DFC二团FCB+团CBF国 EFC 二团 NFE+国 DFN+国 DFC=团 FCM+团 FBM+团 FCB+团 CBF=90°(直角三角形,锐角相加等于90°)团FE=FC 且 FE12FC团FE与FC相等且垂直,(1)中判断正确.如图，取AB中点M , AD中点N , BD中点F，作DG团AB ,连接CM、FM、EN、 NF ,可证 FM=0.5AD , EN=0.5AD , CM=NF=0.5AB ,且可证回CMF二团ENF , 从而得0CMF酿FNE，得到CF二FE.通过角与角的关系，求出团EFC=90。，从而可 得和(1) ( 2 ),一样的结论FE与FC相

6、等且垂直.设 BD=x,则 BD二走x , AG=&22BD+ AG=AB代入得gx+4x=2立，22解得：x二片曝V6 + V2CF2=BF2+CB2=8-26所以 S二;CF2=4-/.【点睛】本题考查了中位线以及圆中圆心角与圆周角的关系，勾股定理、等腰直角三 角形的应用，本题关键是作出辅助线，利用中位线定理找到边与边的关系.合理 利用中位线找到边与边的关系是解决本题的关键.82 .达州市凤凰小学位于北纬21。，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与 地面的夹角最小，约为35.5°夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为 82.5。.己知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm，如

7、图（1 ）.请你为该窗户 设计一个直角形遮阳棚BCD ,如图（2 ）,要求最大限度地节省材料，夏至日正 午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡.ICT国A",（1）在图（3 ）中画出设计草图；（2 ）求BC、CD的长度（结果精确到个位）（参考数据：sin35.50.58 ,cos355°=081, tan35.5°*0.71, sin82.5°*0.99 , cos82.5°0.13 ,tan82.5°7.60）【答案】（1）图形见解析；（2） BC的长度是21cm , CD的长度是30cm .【解析】试题分析：（1）

8、根据题意结合入射角度进而画出符合题意的图形即可;（2篇先设CD二x则tan35.5。二案表示出DC的长进而利用tan82.5。二黑求出DC的长，进而得出答案.试题解析：（1）如图所示:(2 )由题意可得出:回CDB=35.5° ,回CDA=82.5°, 设CD=x,则tan35.5=黑，回BC=0.71x ,晦 Rt0ACD 中，tan82.5°=Uu 207+0.71口 c 7公 而二 二°"6解得：x=30 ,回BC=0.71x30=21 (cm ),答：BC的长度是21cm , CD的长度是30cm .考点：解直角三角形的应用.83 .如

9、图AC,8cAe = 9, 8c = 12, AB = 5.(1)试说出点A到直线6U的距离；点6到直线4C的距离；(2 )点U到直线46的距离是多少？【答案】(1)点2到直线8c的距离、点8到直线2c的距离分别是9,12;【分析】根据点到直线的距离即为垂线段的距离，求解即可.【详解】(1 )回 AC _L 8cAe = 9, BC = 2 ,团点2到直线8c的距离、点8到直线2c的距离分别是9 , 12.(2 )设点C到直线28的距离为h , 43。的面积为8。4。=，48/, 团 15/? = 12x9 ,36 0/? = .团点C到直线28的距离为三.【点睛】此题主要考查对垂线段的理解，

10、熟练掌握，即可解题.84 .如图，在 R/A4BC 中，ZC = 90° , tan A = 1 , AC = 2 ,求 A8 的长.【答案】小【解析】【分析】先根雕A的正切值和AC长度求得BC的长,再根据勾股定理可得答案.【详解】在RlMBC中，A BC A .(3 tanA = = ,Ac = 2 ,AC 2'SBC = 1AB = >j22+i2 =75.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和 勾股定理.85.连接定西市陇西县至漳县的陇漳高速公路是G30连霍高速和G75兰 海高速两大国家高速公路的连接点，预计于2021年6月通车

11、，届时将形成陇西 县的环城高速，充分发挥陇西城市节点的“阜码头作用.在施工过程中，决定在 A、B两地开凿隧道，从而将两地间的公路进行改建.如图，A、B两地之间有 一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后， 汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米.回A=45。，龈=30°.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到 02千米)(参考数据:& =1.41,6=1.73)【答案】（1）开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米；（2 ）开通 隧道后,汽车从2地到8地大

12、约可以少走27.2千米.【分析】（1）开通隧道前，汽车从2地到8地要走的距离为4C+ 8c的长，利用角 的正弦值和余弦值即可算出.（2 ）开通隧道后，汽车从2地到8地要走的距离为28的长，汽车从2地 到8地比原来少走的路程为2C+ BC- 28的长，利用角的余弦值和正切值即可 算出.【详解】解：（1）如图，过点C作CCAB,垂足为。,CDAB,国。8二团。2 二 90。，CD唯 Rta8C。中，sin8二, BC歪8二 30° , BC= 80 ,CD 1酗伽。二寸万，团CO=80xJ =40 ,CD师王 R1>2C。中 z sin2= - zA C.国Z = 45° ,0sin45°=一二也，AC 240必 C二近二40 点 , TMC+ BC= 80 + 40V2=80 + 40x1.41=136.4 （千米）.答：开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米.CD（2 ）回在 R0 88 中,cos8二, BC13cos30专喘=冬,团 80=80xg=40",CD印SRtAZ。中，tanZ 二-, AD40 （3tan45o=-,AD4040 4c团2