【高中数学】算法与程序框图学案

1、数学教案第2讲算法与程序框图最新考纲者向预测L 丫例环法的含售,了酢算去的思51.丸理加码序 1期的匚加聃木爱辑精构;扪申注枸一条件培 曲，祐耳结树，3.了解几脖括聿算浦上何 箝人中句，瑜出百句，Kfft 甫包，条林诙循环讹甸的才文.口外干酸引作r?序版图.贴耳靖和甘|二沈雷也."琳介晒歌 与效同萼杳现辑思就施力.香刈无萤建遍邦箱,嬉空鹿 哀主,与与主程序框图中的执行玷酎靠确定果川第杵, MWI'H.技心 素养也判推理、触芈J、知识梳理1 .算法与程序框图算法算法是解决某类问题的一系列步骤或程序,只要按照这些步骤执行，都能使问题得到 解决.应用：算法通常可以编成计算机程序-计

2、算机执行并解决问题.(2)程序框图定义：程序框图又称流程图， 是一种用程序框图、 流程线及文字说明来表示算法的图形.2 .三种基本逻辑结构 名称 内容、顺序结构选择结构循环结构定义由若/个依次执行的步骤组成, 这是任何一个算法都离/、开的 基本结构算法的流程根据条件是否成立后不同的流从某处开始，按照一 定的条件反复执行某 些步骤的结构，反复 执行的步骤称为循环 住向，选择结构就是处理这种过程的结构常用结论1 .赋值号左边只能是变量（不能是表达式），在一个赋值语句中只能给一个变量赋值.2 .直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”； 当型循环则是“先判断,后循环，条件满足时执行循环”；

3、两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的， 它们恰好相反.二、教材衍化1 .如图为计算y=|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填解析：输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0.答案：x<02.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为解析：按照程序框图依次循环运算，当k=5时，停止循环，当k=5时，S= sin蓑器.答案：2一、思考辨析判断正误（正确的打“，”，错误的打“X”）（i）一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构.（）（2）条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的.（）（3）输入框只能紧接开始框，输出框只能紧

4、接结束框.（）(4)输入语句可以同时给多个变量赋值.()(5)在算法语句中，x = x+1是错误的.()答案：(1)，(2) V (3) X (4) V (5) X二、易错纠偏、口 l I K(1)注意循环结构中控制循环的条件；(2)注意区分程序框图是条件结构还是循环结构.1 .若x表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图,则输出S的值为高三教案解析：由程序框图可以看出，当n=8时，S>6时，程序结束，故输出 S= J0+J5+ # +洞 +<8 =7.答案：72.更相减损术是出自中国古代数学专著九章算术的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减

5、多，更相减损，求其等也.以等数约之.如图是关于该算法的程序框图，如果输入a=153, b=119,那么输出的a的值是解析：第一次循环得，a= 153 119= 34;第二次循环得，b= 119 34=85;第三次循 环得，b= 8534=51;第四次循环得，b = 51 34 = 17;第五次循环得，a= 3417=17,此时a= b,输出a=17.答案：17考点顺序结构与条件结构（自主练透）1 .给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A. 1C. 3D. 4x2, x< 2,解析：选C.由程序框图知y=2x-3, 2<x<5,

6、11x>5, x由已知得x>5, x<2,八2Vxw5,八一八八 一，2 或或1 解得x=0或x=1或x = 3,这样的x值的个x xxx- x.数是3.2. （2020 江西新余模拟）定义运算a?b为执行如图所示的程序框图输出的S的值，则式子tan ； ? cos的值是（）43,稳入u也 lr '/输出s/ W) _ 1 A. - 1B. 2-3C. 1D.二2a (ab) , a>b,解析：选D.由程序框图可知程序的功能是计算并输出分段函数S=''b (a+1) , a<b的值，因为 tan ? c0s=1? 5 ,且 1> 所以

7、 1?w=1x 1 +- =1,故选 D. 43222223. (2020 北京第八十中学阶段测评)阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在一、1区间4, 1内，则输入的实数 x的取值范围是()开始)/输出)/ 结束IB. 0, 2D. -2, 0A. -2, 2C. -2, 1. 2一一,一一,“2x, xC2, 2,人 x 1_解析：选D.由程序框图可得分段函数y= 2? 2 2 令2 c 4, 1 ,则xC 2, 0,所以输入的实数 x的取值范围是2, 0,故选D.顺序结构和条件结构的运算方法(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序 进行的.解决此

8、类问题，只需分清运算步骤、赋值量及其范围进行逐步运算即可.(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的 条件进行判断.(3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支.考点循环结构(多维探究)角度一由程序框图求输出结果( ( (1)(2019 高考全国卷出)执行右边的程序框图，如果输入的£为0.01 ,则输出s的值等于()D. 292r7Fi/a77/ 输fk/ v第题图第(2)题图(2)(2020 益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式

9、求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例.若输入n, x的值分别为3, 3,则输出v的值为（）A. 15B. 16C. 47D. 481 一一1【解析】（1）执仃程序框图，x=1, s=0, s= 0+1=1, x=2,不满足x<£=而，1111所以 s= 1 + 2=2 2?, x = 4,不?M足 x< £ =100，所以 s=1 += 2 , x=不?M足 x< e =.一,2 428100所以 s=1 + 1+； + 1=2B，x=2，不满足 x<£ =., 2482161

10、00所以 S= 1 + <+；+: + 7 = 2 J, x=z,不满足 x< £ =7:, 2 4 816232100所以 s= 1 + :+；+： +L=2 一1，x=-7，不满足 x< e =7,2 4 8 16 322641001111. 11-1所以s=1 + 2+4+ 8+ 64=2产x=诿，满足=而，1 、“ 一输出S=2-26,选C.(2)执行程序框图，n = 3, x= 3, v = 1, i = 2>0, v=1X 3+ 2=5, i = 1 >0; v= 5X 3 + 1 = 16, i =0>0; v=16X3+ 0=48,

11、 i =1<0,退出循环，输出 v 的值为 48.故选 D.【答案】(1)C(2)D角度二由输出结果判断输入量的值1-2 (1)(2020 黑龙江哈尔滨六中期中)执行如图所示的程序框图，若输出的结果15.是11,则输入的2为（）A. 3C. 5B. 6D. 4（2）（2020 安徽江南十校第二次联考）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0,则输入的x值为（）B.D.313215 A. 167C.81 “ ，一一一11“ ，一一【解析】（1）第1

12、次循环，n=1, S= 2;第2次循环，n=2, S= 2+m；第3次循环,n=3, S= ； +第4次循环，n = 4, S="*十*15.因为输出的结果为 算 所 2 222 2221616以判断框的条件为 n<4,所以输入的a为4.故选D.(2)输入 x, i =1 ; x-2x1 , i =2; x-2(2x1) 1 = 4x- 3, i =3; x-2(4 x-3) -1= 8x-7, i =4; x-2(8x7) 1=16x15, i =5,退出循环.依题意可知16x15=0,.一 15 .解得x=Y6.故选A.【答案】(1)D (2)A角度三辨析程序框图的算法功能

13、(1)(2020 河北许昌模拟)如图所示的程序框图的功能是UhlfJFsld旬na+2)输出/ ET:结束1111，A.求1 f+1：十,一 /的值 3 5 7191111 ,B.求1 +;+工+亍+ /的值 35719一 ，、.1111 ,一C.求1 + +工+三+ 0的值 35721一,、11 11，d.求 1-3'+57'+ 21'的值(2)如图所示的程序框图的算法思路源于算法统宗中的“李白沽酒”问题，则该程序框图的功能是()A.输入 a 的值，计算 a- 2 2 019 - 3X 2 2 018 -3B.输入 a 的值，计算 a- 2 2 020 - 3X 2

14、2 019 -3C.输入 a 的值，计算 a- 2 2 019 - 3x(1 + 2+ 22+ 22 018 )D.输入 a 的值，计算 a - 22 °2°3X(1 +2+ 22+ 22 019 )【解析】(1)输入 a= 1, n= 1, S= 0; S= 1, a=1, n=3； S= 1 , a= 1, n= 5;31 . 111 11.11.1S= 1 3+ 5， a=1, n=7; S= 13+5 7，a=1, n=9；S= 1 -3+5-7+ - 19,a=1, n=21, 21>19,退出循环.输出 S= 1 1+ 1工+一,故选A. 3 5 719(

15、2)由程序框图可知，i =1, mu2(2 a3) 3=a- 2 23X(2 + 1) , 1<2 019 成立；i =2, rr 2a 22 3X(2 + 1) 3= a 2 33X(2 2+ 2+ 1) , 2<2 019 成立；i =2 019, m a 2： °2°3X(1 + 2+ + 22 019) , 2 019<2 019 不成立，结束循环.故输出的 ma - 2 2 020 3X(1 + 2+ 22 019 ),所以该程序框图的功能是输入a的值，计算a-2 2 020 3X(1 + 2+ 22+ 22 019 ).故选 D.【答案】(1)

16、A(2)D角度四完善程序框图(1)(2019高考全国卷I)如图是求24 1的程序框图，图中空白框中应填入A.1A= 2TaC.11 + 2A12+21B. A= 2 + - A.1D. A= 1 + 2A 34 n+1(2)如图所小的程序框图是为了求出满足2+2+3" + 2 019的最大正整数n的值，那么在2中，应填入()A. T<2 019C. T> 2 018B. T< 2 019D. T> 2 0191【解析】(1) A= 2, k=1, 1W2成立，执行需环体;.1A= -1，k = 2, 2W2 成立，执2+2行循环体;.1A=1 -, k = 3

17、, 3 w 2 不成乂,2+24结束循环,输出A故空白框中应填入1A=-;.2+A故选A.,一、，一一2+ 13(2)执行程序框图，T= 0, i = 1; T= 0+ 2=2, i = 2; T= 2 + -2-= 2+2, i=3;；T= 2 + 3+4+ 士，i =i +1.由题中程序框图的功能是求出满足2+，4+汇<22 3 i2 3 n3 4 i + 1019的最大正整数 n的值，知T= 2 + -+-+-+ >2 019满足判断框内成立的条件，此4 3 i时结束循环.故判断框中应填T>2 019.故选D.【答案】(1)A (2)D与循环结构有关问题的常见类型及解题

18、策略(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果.(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断.提醒(1)注意区分当型循环和直到型循环.(2)循环结构中要正确控制循环次数.(3)要注意各个框的顺序.1 .执行如图所示的程序框图，其中tez,若输入的n= 5,则输出的结果为(D. 78A. 48B. 58 C . 68解析：选B.由a=7t+2, t C Z可知，a被7整除后的余数为 2. n=5, a=5X5+3=28, 28=7X4

19、,不满足条件； n=5+2 = 7, a= 5X 7+3 = 38, 38= 7X 5+ 3,不满足条件；n=7 + 2=9, a=5X9+ 3 = 48, 48 = 7X6+ 6,不满足条件；n=9+2=11, a=5Xll+ 3=58, 58=7X8+2,满足条件.故输出的 a = 58.2. (2020 内蒙古鄂尔多斯西部四校联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.下面的程序 框图是秦九韶算法的一个实例.执行程序框图，若输入 n, x的值分别为3, 3,且输出v的 值为0,则y的值为()A. 3B. 1C. 1D. 5

20、解析：选B.输入n=3, x = 3, v= 1, i =2,第一次循环,v=y+2, i =1；第二次循环,v=y(y+2) + 1, i =0；结束循环.因为输出的v = 0,所以 y(y+2) + 1 = 0,所以 y= 1.故选B.第2题图第3题图3. （2020 安徽黄山山质检）执行如图所示的程序框图，若输出的S值为一20,则在判断框内应填写（）A. i >3B.i <4C. i >4D.i <51次执行循环体,解析：选D.执行程序框图，i=1, S= 10,满足判断框内的条件，第S= 1021=8, i =2,满足判断框内的条件，第 2次执行循环体，S= 8

21、 22= 4, i =3,满足 判断框内的条件，第 3次执行循环体，S= 4 23=4, i =4,满足判断框内的条件，第 4 次执行循环体，S= 4 24= 20, i =5,此时，应该不满足判断框内的条件， 退出循环.输 出的S值为一20,则判断框内应填写i <5,故选D.考点基本算法语句（自主练透）1.设计一个计算 1X3X5X7X9X11X13的算法，下面给出了程序的一部分，则在 处不能填入的数是（）S= 1 i =3 While iS= Si1 =i +2WendPrint SEndA. 13B . 13.5C. 14D. 14.5解析：选A.若填13,当i = 11+2= 1

22、3时，不满足条件，终止循环，因此得到的是1X 3X5X7X9X11的计算结果，故不能填 13,但填的数字只要超过 13且不超过15时均可保证终止循环，得到的是 1X3X5X7X9X11X13的计算结果.2.表示函数y=f（x）的程序如图所示输入 xIf x> 0 Theny= 1ElseIfx= 0 Theny = 0Elsey=一 1End IfEnd If输出 y则关于函数y=f(x)有下列结论：y=f(x)的图象关于原点对称；y=f(x)的值域为1, 1；y=f(x)是周期为1的周期函数；y=f(x)在R上是增函数；函数y=f(x) kx(k>0)有三个零点.其中正确结论的序

23、号为 .(填上所有正确结论的序号)1, x>0解析：由程序知y=f(x)= 0, x=0 ,1, x<0其图象如图16t*-i图象关于原点对称，正确；值域为 1 , 0, 1,错误；不是周期函数，在 R上也 不是增函数，错误；当 k>0时，丫 = ”*)与y= kx有三个交点，故正确.答案：&但法国(1)条件语句、输入与输出语句，要注意赋值语句一般格式中的“=”不同于等式中的“=”，其实质是计算右边表达式的值，并将该值赋给左边的变量.1. )解决此类问题关键要理解各语句的含义，以及基本算法语句与算法结构的对应关系.基础题组练2. (2020 陕西汉中模拟)执行如图所示

24、的程序框图，输出K的值为()数学教案A. 99B. 98C. 100D. 1011+1.,-斛析：选 A.执仃程序框图，得K=1,S= 0;S= 0+lg1 = 1g 2,K= 2;S=1g2+1g2+1一一3+1一一4+1一3. = 1g3,K= 3;S= 1g3+lg 3 = 1g 4, K= 4;S=1g 4+lg 4=1g 5, K= 5;S= 1g 98 +1g 98暮=1g 99 , K= 99; S= 1g 99 + 1g 99£ = 1g 100 =2,退出循环.所以 9899输出K= 99,故选A.4. (2020 广东江门调研)执行如图所示的程序框图，若判断框内为

25、“ iW3”，则输出S=()C. 10D. 34解析：选D.因为“ i W3”，所以执行程序框图，第一次执行循环体后，j =2, S= 2, i= 2W3;第二次执行循环体后，j =4, S= 10, i =3W3;第三次执行循环体后，j =8, S=34, i=4>3,退出循环.所以输出S= 34.故选D.5. （2020 河南洛阳质检）执行如图所示的程序框图，若输出的入的条件不可以是（）A. k<7B. k<7C. k<8D. k<81 . JI.斛析：选C.模拟执仃程序中!图，可得 S= 0, k=0； k= 2, S= 2； k=4, S= 2+7； k=

26、 6,S»= + -+k=8, S= -+ 7+7+ o= 7;.由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出2462 4 6 8 24，25 ,的值为24.结合选项可得判断框内填入的条件不可以是“kw8” .故选c.4.（2020 重庆调研）执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，输入的x值是（开始人，乙:泻|产2-山.片;f IA. ±1B. 1 或，3C.弋3 或 1D. - 1 或5解析：选C.因为输出的值为1,所以根据程序框图可知x>0,x< 0,2 x2=1 或 x22=1,得 x=1或x=m，故选C.5. （2020 陕西商洛模拟）执行如图所示的程序

27、框图，输出的 n的值是（）高三教案A. 5B.C. 9D.11解析:选C.法一：执行程序框图,n=1, S= 0; S=。+才=3，n=3; s= 5+而25,n = 5;S= -+= - n = 7 S= - +5 5X7 7' n '7 7X949,一 一 4 一一一，n=9,此时满足S>q,退出循环.输出9n=9,故选C.法二：由程序框图知，该程序框图的作用是由+ , +"71X3 3X5nx ( n+2).1 11 一 一十 一1 3 3一+ -5 n n+21 42 1 n+29'解得n>7,所以输出的n的值为7+2=9,故选C.6.执行

28、如图所示的程序框图，如果输入的x, V，z的值分别为1, 2, 3,则输出的S等于（3A.2B w15C.?15 D.4解析:C.k=6, S=彳+2 = 4, y= 1, x = 4;k= 5, s= 4+1=2，y=4, x="2； k= 4,16S=- + 4=,3321623 15y=2，x=7; k=3, S= 0+2=3,3y= 16, x = ¥； k=2,终止循环，输出 38的 S=选 C.8任x 7. (2020 黑龙江哈尔滨四校联考)已知函数f(x)=cos ,执行如图所本的程序框3图，则输出的S的值为()A. 670C. 671B.1 341D. 67

29、2 一兀 1 一 11一解析：选 C.执行程序框图，y=f(1) =cos -3- = 2, S= 0+ 2 = 2, n=1+1 = 2; y=f(2)2兀 111=cos-3= - 2,S=n= 2+1 = 3;y = f (3) = cos 兀=- 1,S= 2, n= 3+ 1 = 4;y= f (4)= cos9=-1,S=!,n= 4+1 = 5;y=f(5) = cos 亭=，S=+7= 1, n=6;y= f(6)n兀因为函数y= cos 3322322 2=cos 2兀=1, S= 1 + 1 = 2, n=7,，直到 n= 2 016 时，退出循环.是以 6 为周期的周期函

30、数，2 015 = 6X335+ 5, f (2 016) = cos 336 兀=cos(2 兀 X 138) = 1,所以输出的S= 336X2 1 = 671.故选C.8. (2020 重庆巴蜀中学一模)执行如图所示的程序框图，若输入的 a为24, c为5, 输出的数为3,则输入的b有可能为()I开始/输入"瓦7上输出A. 11B. 12C. 13D. 14解析：选B.结合程序框图，若输出的数为3,则经过循环之后的 b=a+3=27,由27+5=52,并结合循环结构的特点可得，输入的 b除以5的余数为2,结合选项可得，b有 可能为12,故选B.9. （2020 陕西彬州第一次质

31、监 ）如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为 A, A ，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，执行程序框图，输出的结果是（）A. 7B. 8C. 9D. 10解析：选B.该程序框图的作用是求 14次考试成绩超过 90分的次数.根据茎叶图可得 超过90分的次数为8,故选B.10. （2020 湖南三湘名校联盟第一次联考）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹 是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如下表：I1 54

32、567"""S""51 机式 I II III III mil T T T If 横式一=三三士表示一个多位数时， 像阿拉伯记数一样， 把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以 此类推，例如2 268用算筹表示为 匕II _LTT.执行如图所示的程序框图，若输入的x=1, y =2,则输出的S用算筹表示为（）A. 1 一三【B. T JL III 1 C - T1 Illi 0. I 1 T =解析：选 C.x=1, y=3, i=2; x=2, y=8, i=3;

33、 x=14, y=126, i=4.退出循环, 输出S= 1 764 ,用算筹表示为H IT _1_ II ,故选C.11 .中国古代名著孙子算经中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之 剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“O”处应填入（A.ar-2 Z21B WZD.好 ez3解析：选A.根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数 a：a=3k+ 2, a=5n+3, a=7m+ 2, k, n, me Z,根据程序框图可知，数 a已经满足 a

34、=5n+3, nCZ, 所以还要满足a=3k+2, kCZ和a=7m2, me Z并且还要用一个条件给出，即 a2既能 被3整除又能被7整除，所以a-2能被21整除，故在“ <2> 处应填入aCZ,选A.12 .程序框图如图，若输入的S= 1, k=1,则输出的S为IM2/特卡/44=七+1S=25+i/用出s/ I结束解析：第一次循环，k=2, S= 4;第二次循环，k=3, S= 11；第三次循环，k=4, S = 26;第四次循环，k=5, S= 57.此时，终止循环，输出的 S= 57.答案：5713 .如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损 术”

35、.执行该程序框图，若输入的a, b分别为14, 18,则输出的a=.国 IT ru=u-i b=b-a 结束/输入I解析：开始：a= 14, b=18,第一次循环：a= 14, b=4；第二次循环：a= 10, b=4；第三次循环：a= 6, b=4；第四次循环：a=2, b=4；第五次循环：a= 2, b=2.此时，a=b,退出循环，输出 a=2.答案：214 .公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人.完全数是一种特殊的自然数， 若一个数所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，则称该数为完全 数.如6的真因子有1, 2, 3,且1 + 2+3=6,故6是完全数.现为判

36、断一个非零自然数是 否是完全数，编拟如下的程序框图，则空白框内应填 .解析：程序框图的循环结构部分的功能是累计非零自然数x的真因子之和,x如果t =-是 i整数，那么就将i这个数累加到变量 S中，所以空白框内应填 S= S+ i .答案：S= S+ i15 .若x表示不超过 x的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为199解析：根据题意，得70 =4.975 =4,所以该程序框图运行后输出的结果是40个0,40个1, 40个2, 40个3, 40个4的和，所以输出的结果为S= 40+40X2+40X3+40X4 = 400.答案：400综合题组练16 执行如图的程序框图，若输入的n为2 018,则输出的是（）A.1 008个正偶数的和B.1 009个正偶数的和C.2 016个正整数的和D.2 018个正整数的和解析:选B.模拟程序的运行过程知,该程序运行后计算并输出的值.故选B.2.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前程序框图的算法