上海高考数学知识大集合

1、上海高考数学必备知识元素特点：互异性，无序性、确定斗.1.集合与常用逻辑用语概念以=|6,七，/"J一组对等的全体.与在乩工更月15子集 真,集 得等乂的子集有寸个，真子集有2"-1个，非空 真子集有2"-2个£ “ IAC四种月£民白工月0 4 =34nB 二江| X £ 4 Hjte 5(H U 8 = 1 : w 乩或r e 8能幡判断真假的语句.除命延若P *则q逆命.题：若斗，则P否命期二若-Ip ,贝I叶【提醒露数轴和韦恩图是进行交、井, 补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了第告本身利 空集这两种特殊情况，补集思想常运用

2、 于解决否定型或正面较复余有关问题.逆否命融 ?'l!l| -i/J逆”命跑 H 7 Jjj -i#逆命题若年则P原命题 若则彳充分条件p n q . p是q的充分条件若命题p对应集合力,命题q对选集合 人则 =9等价于月匚JJC V等 价于卫三白，由置条*R = q，1是尸的必要条件充要条件=中，乩4互为充蹙条件连接词或曲题1p7 q、p©有一为真即为真* p.q均为假时才为假.类比集合的并且命题"八号，p闯均为真时才为其 口,(/有一为假即为假壮类比集合的交非命题中和p为一真一假两个互为对立的偷鹿.类比集合的补命题的否定与否命题*1.命题pnq的否定与它的否命题

3、的区别工 命期户的否定是poq，否命幽是y n命题“ 口或叶”的否定是1 P且f 工"”且叶*的否定是 jp或F M.【自我反思】你知道集合中的元素互异性吗？研究集合一定要首先看清什么？研究集合交,并，补运算时，你 注意到两种根编情况了吗？你会用补集的思想以贪借助干数辅或韦恩图进行解决有关问题叫？】如何否定？命题的否定和否命题一样吗？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证JB的三部曲你还记得吗？注意；如w若口和b都是偶数，则G + b是偶数"的否命题是“若口和人不都是偶数，则口b是奇数”否定是“若口和人都是偶数，则。+人是奇数"若工”，财o

4、真命题2.基本不等式和线性规划a > h. h>c-ni>ctr >b> r，0n。广 > 加,：a > h. cl < 0 => nr < be ia >Wa >b> Oi od a U = tie > Ki的不安数的版序关系：日hOH80取倒数法则口匕0,a ba> h>K it eN h > I n / A 8 vJa > -b最值定理笳F。屈#T.T?若程.口 = F（定他）,则当荣my时和*+ ,有最小值2，7丰工尸&由工+/2而，若和上+N=价定依卜则当工=F是枳中有

5、最大值;ntrii已知MywRr”育U + y尸（*一产尸+勿.H）若枳秒是定值,则当|小£|最大时|jt + Fl量大；当|算-|最小时，|上小丁最小. （2）若和n+ f|是定值，则当| *-1 |最大时，|xy|最小；当|大-“最小时，| xy最大均不式平方平均总算术平均三几何平均及调和平均 近一尸'1± 用力w乱当且仅当】=占取二1-r-r =网、白三上 J，匚上（_%11仪当& =即4取“=r1 x I fl+622p T a bW二十十j岸J覆g、.0 1正数5PLr.时取等）算术平均三几何平均 n'要等m e正 簟不心力为始22 日用5

6、力占凡当且仅当叮=方时取到一=)<f 1 +A 1 i- fJ /? + lib f u' -i-b'+±' -abc-lti-b+c)(a-i-h'+c-iib-aL-hc)=仃"+b'+£." 3dhc Q + A+ r >0g式即可成立，占一方一心,心+ +亡一 Hi JIR等)i病w牛=毗y w<手西W 和不式调t楣,Jj e /?（j = L2cif）.则f“#*十便/ ： qh;+需;41/+*XA 产旭+," + 力：） 等号成立当口仅当* _力_时成立.（约定4 =。时8

7、=0）水* 糖的度</> A><X tf > w > 0 rwlift明】：bj"(以>”>0,川>0.a-m a -t wr廿 "+ "l*I * 的 代换已知心血”R ,若忒十号=1，则柏，工山*珈让二一N红+三-疝-W+而 T' F斤 产 口占 b%y R. ?若+ J M W ；r+ v -(.V* ?)( +竺) - a * jfr+ 2fb -fi/L T * r j>x y线性规划平面区域当时，若工4册一表示直舔F的右边，才工斗JJydtNO表示宜羲的左边，当口。时.若，r +切f

8、C。表示的上方.由:+到+ UvO泰示拽F的下方.慢*。4片+8/+£）（/士%尸+G）=。（耳则（4工+4+。）（4工+鸟*的）0或 0 所表示的平面区域1落直城4寡+禺尸+C| 和&X+曷F+G-0所成对播区域c上下或左右南11分）.点甲/ HJ与,“1F）位置关蠢，若/".为封闭曲建蜀、描圆、K+u| + |n+N=w!等），即八工,20, 褥点乔曲线外部*若人.门为升旗曲皤提鞫倏、双胸度喏），M/I.i； i，0.称点亦许曲携F卜部“A值己知直战，：祗+国+ C = D»目标函数二=小+与、当8 。时，将直钱，向上平移，则工的值越来理大F直货，&#

9、39;向下平椁，翱工的值越来超小F当月*0时，将直线，向上平移，则士的值触来精小t史缝/冏下平移.期二的值越禀勉大tz = ar + 8若直战在T粕上的收距越大.ittAf笔he 直蛀在！轴上的裁距越大. 上 ®h.卜_ B町1 一时£ - »( O H % - « J表示过两点（xji/心而）的霓线的斜率.特别 表示过昂点向（/百r）的直线的斜率/ =( k r 用 y *(, 一 用 y1="一“丁/仃也襄示区域内的点到Hun的距离的平方3.函数的基本性质（一）函数概念及汽发示定义城造型西效用临）来表示：即,掩糜时应法则r沛应的酒数值为函效

10、有解析式和图像两种具悻的表示形式， 定义或k1取值范用组成集合*值域由取值范围想成集合.对应法则已,与工时应美泰.如函数图像与1轴的垂比至赛有一个公共点,但与r牯里他的公扶点可能没有,也可能有任意个，。）具体函数士即有朗景II析式的函数.定义域的考查有曲神招式：便函数解析式有意义（如士分母H 口 ；偶次 棍式被开方数非负；零指题嘉底数W0；实际问/有意义：对数克教 >忆底数下仆且=”如他Hl的解集： 0VJF<10：】凡，单调电区同值向；如：不等式Igl'Kl的解集 五合函数定义域求法：只要对应法则相同，括号里整体的取值范用就先全相同着门口的定义域为【环川. 其方台用教/除

11、口 的定义域可由不等式”Bti/人解rtn若利用刈的定义域为3间.求的定义域.为于，启性吐*r = £3的他事知者函数/M +1）的定义展为4D，则f定义域为悟“冏） 数轴上的一段数编成的集合可以用区间表示，区间分为开区的和闺区町开区间用示括号展示是大于或小 于的意思*闭区间周中括号裳示1是大于善于成小于等于的意思：U）区同是集合的另类覆示方式.区间就是集合，具有集合的一陋性质*力它是无限集，违蚊的或数团1<万<2或* = T表示成。，工1 UI1,不能写成（I.X山h-4.性 质高 偶 性定义如果n-j卬M/1灯为偶曲孙 如果/（X）为奇函数*这两个式子有维义的刘崔条件

12、是：定义域关子原点对瞽。确定奇偶性方法有定.义法、图像法等；门）着判笥较为复融薛析式请败的奇儡性，廛先化局再判断,如判断函数/年】二里二立奇科性一倡函量 |l3| -2（2）奇函敷在时静的单调且间内行相同的单调性偶函数在对称的单调区间内有相反单调性（3）若*T?是供函明1那么"力.“h定义城津军的奇函数必过原点1|班。）；判断定义法判断；定义域是关于原点对替的* （2）计算川土八7广（1或止也=±1八力*。八 f（x）若函数 外> 1；2： U为常数）在定义城上为奇遹依，则A.土】利用（小利用公式上十1力,“ a iuh计算或求鳏式或（制利用/&函敷奇性结谤.

13、woiiehb 奇奇曙偶.他偶舞璃,奇偶得奇：卜（工）-哨工厂图工）.当珀0为奇.第始为偶时,代入-x得：1上工1或工1+取工工 两式相加可以港去口讣两式相减可以消去从而解决何忌；（4）奇偶西数图像的对称性置朝性对定义域内任意X,存在非零常数，/“"/,/为fg周期若F = fix酋l £发时F Lt m （A 4】恒成立.娟f（x）例陋2 a I T（2>®.r-Jiy）是偶函歆，其眼像又关于宜货.忙一,对琴.则/tn的周期为引h| i<1） /（K4-ii = -/U） »或，#+&9）=* 或/lx+tn+门外=% T为2|日.

14、；J3单调性定义定义城内一区间 / r X-X2 ®/jX < x2, ：9 M < 三一/ (A ) < /1 V ) 1 J® q ：£ =><(j/l求单 调区 回定义法、辱数彷，图愎法和特值法（用于小题）等（ffiSt求单调区间时注京定义域）号效法：i求定义城：H求丁仆7 iii口。的邰构成港区间：注意，区间表示,如:由数F旭iK-M的单iffl锚中国同是J （1,21）：函触J】单调地区间是,H-X.切和.*QC）工证明定义法、导翻法*判断触调性：小睡苜选竟合函数法，其次求导翻；大J9苜选求马效，其次用定义.<1）定义

15、法：i取值用<作差变形列断/）-/UJ符号；导数法T求八力H判就广符号；利用口）.求值城工利用单调性而出图像珞势，定区间,断*（2 . 1 匕醛函数慎笆J - L 画围若3）解不等式.博、1 . / L 1 . ' ,' | ' f JlS / '- .'i'- > > .i 1 ；4 f n/区）v */或。用；工"4%求索数：利用拈建思敷单调性结的，根据单调性求察数加氏;H 1 ,则LJ瓶帽是tr > 1:,获< u<：$复合 函数由二同境并减“卸定：分解为些本函数：内函牲”式力与外函数r /仙）

16、；分别研究内、外函数 在各自定义城内的单调性根据“同性则*1异性则黑”来判断原函数在其定义域内单调性.已物复合函数单调性，求字母范围1 i分解出内外层函数F ii研究内外层函爨的单调性的关系¥胤策展画敝的定义城；如上若产1叫 住,H、诲0. 11上是，的破函数，则上的取值他国是（L 2）区间4 .函数的基本性质（二）求函数解析式的常用方法特定系数法基本步W确定所求何魁含有特定系数的解析式；二次由数解析式的三种照式：一般式： /（r jv' + ftv - .irj / Ol ；顶点式 r “一门 a r A）: +0|（ 零点式：- id v r.'KJC T.*4毛

17、。.根据恒等的条件，列出期舍特定系敷的方程；解方程组或者消去樗定系数，从而便向盘痔野解袂.如一元二次不等式人工）丈上一】解集是（4即，可设f（jcx+ w+IMx配潴法着/口 一L -卜,+U *则函数«九一11 C答：a- - 2a + 3 ）xx坐标转移*=，（）关于幽敷¥仙石|照意美于直线1=3戏靴，则/（0=/* -函数1=。1与.的图像关于原点成中心对称t j = -/（-r）方程的思 想对已如等式进行赋值,从而得到关于“冷没另外一个函融的方程胆；脸数凡0是一个偶函数，班工）是一个奇函数.且门M+M#h匕.则内启等于±T若南敛打“箪门分别是R上的特函数，

18、偶函数r且满足凡中 印门二旷，则有“= V -*图象几种常见交*稗携 对变曲散F="口与-，一”的图像关于原点成中对称函效了再:与y图像关于直攻mO（ p ii）对酬1函数* / 对上门r八门上，-灯或“幻 "如 制恒成立，图像关于上u对称*着F - J对上£内吐/檀4工卜“1、|恒成立，则1/1”图像关于.y r对称： 曲Uo =门口+制.的癌做美干直践="；"对称由二启-上确定h 的致二”n，）也，加的剧象是把诵效F二八工）的图象沿*轴仲缩为原来的1得到的. 如若函敷岂=。氧-U是偶函虬JU曲数f=*2a）的对韩轴方程是（答：工=-!）.平

19、移克换左右平移左加右JflTl射对工而言）；上下平移一一 ,上加下臧"（钟Mj而言）翻折斐换Nnf 四门1;“if川川，注京油折时机和翻折的本质：y=2'由i=2间向右平移；！ 眼位求函数慎域最俏的方法配方法二次函敷工二次因敷在给出区间上的最值有函类：一是求面区间皿内上的谖他；二是求区匐定（动X 时林轴动定）的最值问题*求二次函数的最值问题,勿忘散眼靖合.注意钎两隔工一着开口方向1二看对称轴与所第区间的相对位置美事h如求商1V/-我+5/3-；】的值域（答t M斯换元法通过拱元把一个较复杂的函勉变为愉单易求值域的函数.其函数帏征是函鼓解折式含有槌式成三为函效 公式模型，如叩岂

20、+1+疗】的值基为 （答士昌2令GI = r ,噂。.运用排元法时，要 特别要注意新元/的范囤上有界性利用已学过函数的有界性 确定值域.最常用的就是三篇函她的有界怆 如尸X!”七占1 4 %IH 祖2单调性利用一次函数，反比例函效，指教函数r对数函数等函数的单训性,如求呼而+|?；1 +5lfl'JT 2毡彤结合函数解析式具有明显的某种R词意足.如两点的走高、直拔招等、等等，如已知点尸皿灯在£t +， 1上 求二部闻值枇围仔【W*）.求M 皿4"印的伯城 S财K牌别式求1 3 的值城（答，H-,'）, 1 4X2 2'不等式利用基本不等这八占士“茄皿

21、&三出J求/数的量情.具题型特征解析血是和式时要求根为定值.解析 式是税时要求和为定值，不过有时须要用到揖项.通项和两边平方等技巧.I?5 .幕、指、对函数麻函数 一般地，形如 卜一片"日兰阳的函融林为嘉函 数T其中。为常 数.0A。幕函柱的曲家通过原点,并且在区间 0d8）上是堵西戴u > 1林函数的图象下凸0< cz < 1号南救的阳较上凸a <0搴函数的图象在区间附,十工）上是函 敬，在第一意限内.当rM右边片向原点 时.图象在j1轴右方无限地逼近丁轴正 半岫.当二趣于士工时，图象在刀轴上 方无瞅地逼近上帖止半轴.基本 初等 函数 T指数函数k

22、u'3 > 0, Hu * 定义域R值域的一"）浮；3寸闺、0 < < 1（73十单调递减，上 0时y < 1 ,工 >。盹。< j < 1a > 1（F,+g）单调递增，x<0肘0 < j： < , * >。时 F > 1对班函簟】函数 了 = k>凯其3>0Iler l> tpir - 3ti+3） V是指氯函数，则有< a = 2.）函数的定义域为1hw 育.A J.、j的数的曲域为飞南戴一，5 的值域是.Jh;E卜0 < « < 1在0*+工）单

23、调递减，OmjtvI时v > 0, t > 时 jy 0Bus, r=:1f /h% .、力Ej、/<1 > 1在（0.2）单调递增，。< * K 时0, K > 时 P > 0数数数数指函对函函数零点嘀心函数T =/e的零点藐是方程仃】=1实数根，亦即函数F = "n拊艮象与工熟交点的横坐标.即：方 程*门=。有实效根=就数=门门的图象与M釉有支点=雨籁¥ ="门有零点如：函数 J（x） 1以（在定义城上号点个数为I存在定理图象在口封上连续不断，若“r他）弋o,则（门在（外加内存在零点“时数与对数性质3心心$二心式人”&

24、gt;。.口壬1法）。山洪。；对数恒等式/工* = 输0,lhLM>0）（3）1口及4届的=啕川4如瓦曲1限：=|0M-桃八第1整财”=1?岫,“； 如足地"我；j、副对敷检底公式lug * = I吗*2> Oh + 15 > 0小事 _方法对于在区间方上违埃不断,且满足m”*“协5卜的函数,r /Ul.通过不断地把南效"TI的 学点所在区间一分为二.使区间两个端点购即t事点.避而得到零点近似值的方法叫做一分陡.第一步确定区间白,习,验证给定精确度人第二步二分法步骤求区间的中点C 计算6；而若/=0,则就是困散的零点；<2）若句/k）<U,第三

25、步则令b = £ （此时零点与«田广）；C3）若，心）式0,则令b=匕（此 时零点/乏心出），（4）判断是否达到精确度£：即若白卜八 则痔到零点 近似值门（成否则重复（2）（4）.函数*TLiinr-ii-l的工点所在的大跋区间是£口* 1）或u n （图I"T-L j 注意上£止”只能说明 rx函数在-lMHL+工）分别增,不是在定义域内增+不能量认为零点只有一个（帽）6 .三角比、三角函数（一）正弦定理定理_ - _ - .sin/ sin 8 sinC射影定理，a =/jcoj>C+ccosA?h = mE" +

26、 r cos AC =47COsfi H- h8$ A变形a = 2/?sin 4、h = 2R shi H,c = 2代的C C R 外接圆半轻).类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边*余弦定理定理a =b2 4-< ' -2bc：cA,h2 =/' +c工-2ac cos B,c a1 +A2 -2aCOSC o变形八u-*U08 /I 1 的2bc2 及类型两造及一箱（一角为夹角时直接使用，一角为一边对角时列方程，三边.星本公式S =10、it - -/) h. - -c'h - -<asinC/>c sin = sin/? *222222

27、导出公式S=（林外接圆半锤）t S = -4- + c> （，内切圆半径）4尺2常见的错讪角的受换因为在Ad质 中，尺+ R + C：霭（三内珀和定理）.所以 任意两角和士与第二个角总互补，任意两半痢和与第三个角的半角总互余. 锐角三角彩t三内用都是银身；三内角的余弦值为正fih 任两播和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方. 即，sin A - sin/f +1 > ： cos A - -cos（B-yC） ； tan A - - tan! /f + C'）,An+CA, A+CA+Csin =cosi cos = sin1 tan = cot+222222血角关

28、系定理及 面枳公式面枳公式：£ =：读"=:出sin= r p =4Mp 一")|p-ti)(p-n).其中严为三用形内切圆半径，声为周长之半.A B&CC A ttan tan + tan lan + tan ran -】 222222在非宜角人用中* ian A + tan fl + mn C - wi fun fltanC .熟记并会 证明*LZAZB,ZC成等差数则的充分必要条件是£B = 6伊.*1, MBC是正三角形的充分必要条件是4. /瓜/（7成簪差数列且。.成等比 数列.*3,三边仃,分,成等差数列 o 2/> = + r

29、 o 2sin J = sin H +士4.三边口也工；成等比数列 C b =ue o sin_1 /（-sin5sinC.2f y *锐角4HC 中A + /i> <=> FLtn J >cas Shsin/>cosC+sint >cos r n: + b> ( 2两内角与 其正弦位在心工村中> A cz>sin .4 > sin AJ cns 2 B > cos 2 A ,靠 > h g iinA > j»in fi a实际应用基本思想把要求解的量归入到可第三角舱中。在实际问题中.往往涉及到生个三角形，

30、只要 根据已知遂次把求解目标归入到一个可解三箱形中.常用术语仰角视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视蝗与水平统所成的角.俯角视就在水¥线以下时r在觇线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角.方向 角方向角一般是指以观刈者的位置为中心，将F北或正南方向作为起始 方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是就角.如北偏西30。）.方位 布某点的指北方向钱起，依顺时针方向到目标方向箕之间的水平夹角*7 .三角比、三角函数（二）三角函数的图象与性质 三角形中的三角变换基本向密用概念的推广L。终功与仃绦边相同o&刁t习惯上，轴正半他作为曲起始逸，叫许的妙谊；L象眼角的概念*在直角坐

31、标系中，使角的项虐与原点重音，殆的始边省上里然1非负半轴或 合.得的想山在第几卷胆，敕说这个南是第几象限的角.如果的的绛地在坐标鼬土，就认为这 个角不属于任何象限工孤度制的定义"1 ' /J ¥莪"公式'1 (f麻形面积公式_ >；, >1弧度口切"）%57.3口."1>r1任意角的三 角函数定义角q中地上隹意一点尸为皿内，设|UF|=r蹲；工，J二工,FJ注意：（aml$*=加等=±-：3上51巧"=如|尸=2+格同角三角函数关系22. sitidf xsin a + cos "

32、 = L= tan acos a诱导公式3600士以1800士er , -er（ 900士%270n士g ,科奇变偶不变.符号看象限性覆号图象周期一奇偶性对群中心对称轴v - 4、宿恒”丁士中irttl奇函数Jk、时工二#灯4 ： 一。）£心已上）y = cos xr =之草 由偶函数lift * ：-中 w,flX4 B Z)/aj(i e 2)图象变换平移变换上下平移尸/图象平移可得,=/4A图象，向上，卡40向下。左右平移】=/口）图象平移嗣得F二/（工十图象，中>0网左，*c0向札伸缩变换t轴方向> =耳）图象各点把横坐标变为原来倍得，=外!”的图象.r轴方向&g

33、t;' = "C图象各点机坐标变为鬣来的A倍得M = W）的图象.对称变换中心对称j = J E图象关于点S对称图象的解折式是1二""-.t）轴对彝V- f（x）图象关于内线工="对称图象的解析式是丁 二八2/- K）正切函数的图象和性质（1）定义域；* 了滴£+*打/ e/3遇到有关正切函数问骐时，你注意到正切函数的定义 域了吗？（2）值域是R-在上面定义域上无最大值也无最小值（3）周期性！是周期函数旦周期是兄，它与直线J H的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ¥绝对值或平方对三角函数周期性的影响工一般说来，某一周期函数解析

34、式加绝对值或平方， 其周期性是被减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变应加绝对值，其周期性不 变，苴它不定.（4）带偶性与时稗性!是奇函数，对称中心是（"特别提两，正（余）切型函数 ，修的对称中心有的类：一类是图象与上轴的交点，另一类是渐近线与t轴的交点，但无对称轴， 这是与正弦、余弦函数的不同之处.ITJT（5）单调性；正切函数在开区间（-二十#石.二十5）住E/内都是增函数.但要注意在整个 定义域上不具有单通性.H)若 t £ (0)r ftij sin x < x < tanx)(2)若，£ (0,任)，H1 < sin x + c

35、osx ? & ： 22(3) |sin x| 1 |cosj |. - 1 ;，)_/(“)1 在他心上是减函数；(5)若向工,c»工之1,411Hle酶 X8.三角比、三角函数（三）1 三角恒等交换变换公式正弦和差用公式倍角公式、2 tun asiti 2ti -1 + tani a,1 - faneos 2a =；I + tan a -cos2«siin a 7 Jin,I + cuscos" a -2sinfnr ± (sin u cos 6 上 cos a 3口 井sin 2a = 2 sin a cos a余弦CQ(Lf ±

36、 fl )=cos a cos1 0 千 sin a sin "cos 2a = eos: a - sin1 a21»" a - - 1 - 2 sin ' £正切j. tan a t or Rlanlo ± p j =匚二1 f i»n a l ii 川r2 LU11 Uf1 tan nr三角变揍三角变换指角配"与“凑函数名（切割化弦）、次数1降与升）、系数（常值曾用）和运算结 构（和与积）的变换，其核心是角的变换叱化筒技巧声的拆变,公式变用，切割化弦，倍甭降次，力”的变幻，设元转化，引入轴角、 平方消元等角的变换

37、已知角与特殊角的变换.已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换.两角与其和 差角的变换.角的“配” 与“MH掌握角的一和一差一"倍相*半"公式后，诬应注意一些配澳变形技巧，如下；2a = a + a 1 fit - 2 x t a + Ji - 2-伶-丹卜222加=2g+m-m =43-用”问+ ）-（/?-）2+A =（小lu - Ji = a - + a tL5" = 45Q-30D.7545D + 30:：江”U 式）等*'降甲与 喷检（次的变 化利用二倍% 公式85 4/ - cos a -siti7 a = 2cos： - 1 = 1 -2sli

38、i：o 和二倍角公式的 等价变形WF J号2* 8/"1+嘤一可以进行g升H月呻ftF的受操， 即“二次E与人一次切的互化.切割化名 的变化利用同角三用函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于感常用的手段是“切化弦”和J弦优切二常值变换常值:，/感.& j门可作特殊角的三角函数值来代换.此外,厂常值 2 2 3 2引入辅助 角 sin 口 + bays a = Ju2 + ir （1> =sin a + , & cosa sin（a + 中”期中3金伊工| "涓M审-J* . IM中二&*峙别的,山;+以二/+匕？"

39、;sin，,4 = V2sm（>（+） ：iin x+Gmsi = 2siu（.Y + ） , 百筝injr+cosjf、25i（Kv十土）等* 436若方程珀门上一/c必x =有实数解.则匚的取值箍围是_ C答，-22）；当函数1）" = 2，侬,33加工取得最大便时,出” X的值是（管；-）；一如果"JN = sin|"+2ssU+ M是奇函肛则而1审=_（答士 2）：特殊结构 的构造构造对偶式，可以回避夏杂三例代换，化繁为面.举例: A =sin 2炉 + cos'500 -shl2胪8S5>,fi =cosi20°+sinJ5

40、0 -bcosSOiin5tF 可以通过d ” 7 +疝7（T,4- 8 = -1 th W两式和作斑一步化简，2整体代换举例：sin x + cos ,t = a;2sin xcqs x m' -1 sinta + )二内,§in(a-#) = H,可求出Rinses/.ms值An#整体值，作为代换之用.9.等差数列，等比数列（一）数划、等差数列等比数列_般 数列M概念按照一定的次序排列的一列数。分有灯、无躬、注喧、造硬、推动、常数数到等.通项班列4中的飒一个公式表示.4=/5）%=-1,前日和S. = 口十%+ ”得连 效列 概念定义口"1 一 口门=df/AM

41、 ft) s筹基中项：若一意人总等 捋数列.则A门与力的等差中圆.11 .J 2通项aM a 晅 + - Dd 或 4,，<f卿 (n -t前制和c 贝孙+aj r飙川1).'，&="?</ T性却当E*4=34小时.JOI有由立4*三口* *” .特别地i当中+口=£尸时,用有=2ct，若如3 是嚅是嚷列.91 3间隔相等的连接等校片断和序列”即S.dn.-W,%.-S,，也成等差效列 若 二僧4 =皿工哨,则=0（若S” =用,$1H二例阳工而，则=一侪+01地列念 等量概定奥：娱i=W#O其中叱4“尸0；出现crfl -a' 1 ；

42、 %等比中项：若明 1/成等比软列. 郝幺昌叫侔u与人的等比中国*前总和叫何=1限衰示*后者有前后两明i-g 7等忧数列前"原和公式有两种 形式.为此在求等比数到前斯总 那时，首先要判断公比4是否为 3再由中的情猊地择求和公式 的形式,当不能判断公比q是否 为1时，瞿对g分心|藕"| 两种情形讨论求解当"或1 时* E= y' + - -dv' * 这里 <J+AU,但 、71 - V叮工中小工。.这是等比数列前H项和公式的一个特征,据此根容易根据，判新数列相璃是否为哥比数列*如若此；是等比数列，且&=3 +r，则r=_（答上-n项符

43、号不是任何两触都有等比中项.只有同号两敝才存在等比中项，且存两个土4嬴如已知融列九片.，泊感等差数列./“成等比敦列，则"：工的值为_,比 %性良当出+川,7时,则有4*,=4%.特别因当JH + H-不时*费1有5% - ,二知智项均为正数的等比数列凡1中.若/。,-斗，则1呜"kk?gdL+ - + 1哨口“ 一 （兽工1Q）.若血一是等比数列，且公比n，T,则敷列曷另.，也是第比败列工当4- -I, 且内为借数时.融列一是常数数物I。，它不是等比数列.闻心/申a，=42+1 力）旦d =1,若=孔2匕，求征：效列£年是等比数列.常数 数列如果数列也 既成尊若

44、敝列又成等比较列，理会敝列:凡：是非零常数地列.故*敝敝列”1仅是此依列款成 等爰敷列又成等比数州的必要非充分条件.敷列的性质熟列 的单 调性SJflH数列是一个定义域为正整贬集N” （:或它的有限子集（1,2, 3, , r）的特殊函基.数列的通® 会式也威是相应函数的解析式.判断如己蜘人£寸-1六¥,则在数到电的最大项为_管： £1依据不等式性质 ri' +156g证明数列相骅项作差证明与应用警差 款列d *0 Hf r m“ = jj|= + d(-4/=*J = an ±ba = d.b = a1 -di 是关于 tl 一次函餐

45、,斜奉为d t前忖和5. =，： *3-iLf 乂/+ HF = ；%-：】是关于#的二次图敷且常敷项为0：若公差d>U,则为递埔等差数列，若会差dKt>,则为递减等差数列，若公差J = k则为常救利，等比数列若a,>以4>1.则|4|为递增数列*若/之。用31,周;叫J为递皿败列；若Ah、为谒减数隔?1. - -i. E10：为通增数列若.m 则.,:为摆动数列：着. 0 .，"为常胜列.910.等差数列、等比数列（二）公式法分组法裂曲法倒序 和加法通鸟牌 换法情也相 减法公式法ffH H/41JT-Id 或 4 = % 41时-mvi 1 /=。闻1 或

46、=仃*y/作惹法已知瓦 C W cij + ffj + 1* + an = f(w)求# 叫塞' 如数列矶淌足；<(* J.啊! + T ；/5 .3s-qr 兽' 求心 （答E府.由1占2/作育法已忤叫r：4工求生如叫=1,对所有的M之？有4局.也-fl' r同小+叼=（答1号）1 b累加法%.产。产/）里里乘法/t=J5)型构造法函曲等差、等比数小，通推式为u T =叫“寸 5为常数M,可以相效列两边同时除以/* .将冬! -2二八如已如“小1叫工地,CZ求答r Ur .3kV 2* j ） 小 q"朝定 系数法着4. K£q +，

47、3;, M*心|。/_1 +叫+上）*比较柔4fc得出上.转化为等比数列.已知敝列3 .禽是珈,1.且Bn,.尸也41品求小.理厂4?/+，】，ci - 2 - 3, 3 -1若巴,r - JW ttjfl +ii r 凡 +口，1）十卜一中fu.+日。十$）1已知数列MI中，xl*且，”1产3%+工励-11/1,，*，”,.求敝列用球的通项公式1 设1，+加 14。+=3（q"，q ： 2* 3" 1 -a ,若一二叫+尸（"中界设$_!高z =。4而"n已斯独列宿足间-1.%=M +况加京立求时设区4对一工*抬1）取倒数法已两阻1，1=：%'

48、：，求/ 便，4 J , 53% +1Su-2等比数列出的前门他和§. = 2三一】*则I分级求和法：在直接运用公式法求和有困难时.常将“和式'中”同款项r先合并在一起*再运用公式法求和.如求t 5- - -1 + 3 J + 7十1门14-1）帝】-行）如/ = 2H十2* *勺=（1）"内+2 .如果数列通顼可“分裂成两项差r的影式.且相邻愈 分裂后相关联”常选用裂项相消法求和.裂期彤式： 如在数列“中.如一下?且&5a 7" 十 I设数列他为辑出般列，数朔色是等地政列，则敷列死上的前门项和X求解，均可用错位相戚法先对通瑚进行差推，坦现其内在特

49、征，再运用分担米和法求和*求和t 1 I ' = I r1+2 1*2+31+2+3+-4«若箱式中到苜尾距虎棉等的南项和有其共件或数利 的语项与狙言她相关麻，则常可考虑选用倒序相加 法，发挥其菸性的力用求和f这也是阴蕙数则叫仃闻 公式的推导方法）.注I表中优/均为正整数n(n * 1) n * + Jtmi+k)I I I I亍©二二不有一二八L -L-1(<k it + i 3 +。力】1 1 <)f-；k U-1U AT JtIH»+ 2 卅h 十 i# + l，3i冬 施，1!- (ff+OI al jt+D!® 2(1 -

50、& I <r = v 2( Vfl - Vfl -11 ：cr- J心2hL yy =e - L _L = (n-);fa + lb a + ti(.如+8K4t+G C-B 由+B 闻+C1（用+烟*3什/网/%）七生）-人）=-34211.等差数列，等比数列（三）整怵思想提fD求等比数列前胃项和时，首先要判断公比中是否为1,再由4的情况选撵求和公式的形 式，当不WI斯公比4是否为1时.央对4分炉】和9a两科情形讨他挛解.但是用整体思想可 以不免讨论，如；设等国数列国3的公比为甲，前出顶和为3i若几.成等差数到，掰手的 值为_t y2r做学 思想程耙方恩,rc _%rd= m

51、-1用m nT ¥4*i等捶.等比数列血项公式及前订和公式中, 个元素:叫、4、it - q及工.H, X 作为基本元素，若己网这5个元素中衽意3求出其余2个，呼知3求2触及到5d .中称力，便可如 5* M* fM*jX#j上 来工.，脾1 1箧一）基本法£略）*C法二）设工.，+ Bit,则1 Aft + fin - m3口，川-锵| 4- 4 ftw=j? 42）（M 制：）4 + （出=丽=JF ,7 押T 工亢 /A （ffl + 楷 7 f fl = -1 .A 5.P 加 + Til V A * IN * 则）日 一 5* H） B.葭 的解 法逆向 胤*否等

52、差敝列均八次1的曾莉 分别为4.%旦:一，川.畔鲁得曲川/5T双鼻7待 定 M救 尚=- J >设斗一位”必力+ %14 * AJ工赴e口阴T 口:，.如设1/八砧/是两个等差都列，它们的前打项和分别为邑和工，若*= 3"1 ,那么=_ （&：T # 7九网二2、加7锦文号法,"首正a遮潴等整数列，前门顶和最大值是所肯非如顶上和：“营：ft W埸片等差数列中,前门取 和最小催是所有非正项之和.等差效列仙/中,用工一工5 ,阿此数列前步少项和最大了并求此垓大值.法一（劄项变号法）：由不等式工三。确定出前多少项为非负（或非正），求出数列各项变化均势和符号工（谷：前

53、13项和最大，最大值为169）1法二工因等差数列前订项是关于内的二次函数,故可传化为求二次丽畋的最值，但要注意敝列的精殊性Z - M 1JV*69,当“-13时,工取或大值.且最大值是169;法三工数形结合处理.由等差数列的求和公式可得工，门3 :加/时，5,的莺床是开口向下的抛物线上的一群离散点,最鬲点的炭坐标为 73即5最大,易求得最大值为时九法四工利用等差数列的性质处理，由.Y,-可得%八从而d401fll（ < 0 J故儿最大a如，数列通项4=已繇前3。项中最大项神小项分别是律=? lTn +£j|i I） p 又尚）f） F用分置常妣法.得一.筌哥或敝图象是经过坐标轴

54、平.的反比例式函的图.12.平面向量平面向量向量既有大小又有方向的量，衰示向量的有向畿段的长度叫做该向量的模口。向量长度为0方向任意的向量 16与任一非等句共战】平行向量方向相同或者相反的两个非骞向量叫微平行向量,也叫共线向证.向量的模ti -/十.一|7|二）1 + /两点间的距离若4（%rj6（小.睁），则1例=/是一J +回rj向量夹角起点放在一点的的向量所成的角，范围是0.疔卜的夹角记为月.3.屏税角o小0,d.1不同向* （小工）为直角ou=。工3,摊跑o 4i 6 0.xr i不反向， 向量的交霜帚有方向性；向量是有方向的,向量间的夹犯表示两个向信正方向的灾第投影各叫做右在4方悯上

55、的投影.注意：投账是数陵】重要法则定理基本定理总,已不共线，存在唯一的实数对（儿必），使订=五心4 ,心.若凸，仃为轴 上的单位止交向量.人再）就是向量b的坐标.一般表示坐相裹示共线条件；M；共战n存在唯一实数2. a = Ab0”“格=0垂直条件J一"8="哂=0.+/丹=0 加法 运算法则设 而“，前=6 ,季总问废 叫例d与启的和.事 工大匕=拓十定=彳）向量加法的三处法可推广至番个向 域相加 湎*酢+04而+由=祠*但这时 必须“首尾相连工a+ S = (x1 + x;1yt +v2),文兼译“十A = 6+“，结合律= 4+6+（）减法运算法贝用“三用形法则 设心-/2 =无邨如-*M “7.出碱向量的终点指向被前向量的簧点.注意：此处感向量冷裱减向量的起点相同,”三($_“f)数乘运算概念九为向量，丸。与£方向相同， 又0与i方向相反，卜各卜囚,卜Aa 二（/班律一 *-*»*-分配律兄（*仃）=（金川）。，（a + plei =+ pa r分配律+力）火t +演出与数乘运算得向样的坐标 表小数量 积运 算篁含T T-»T fa*b = a b