初三数学圆的综合的专项培优练习题含详细答案

1、初三数学圆的综合的专项培优练习题含详细答案一、圆的综合1.如图1,已知扇形 MON的半径为 J2 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结 BM , 作OD，BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.【答案】(1)证明见解析；(2) y x.(0 x 乏)；(3) x 9 件 x ,22【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM,

2、即可得出结论;(2)OAOE(3)先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE=-1(J2 x),再判断出BD AE2OC 2DM“，即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1)OD)± BM, AB± OM,/ ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DMBDME,

3、AE=EM.AE OM=V2， .AE=1(拒 x).21. DE/AB,OAOC 2DMOEOD ODDMOAOD 2OEy xm(0<x72)(3)1(i)当 OA=OC时. DM BM 211OC x .在 RtZODM 中,22OD yDM，ODDM 21x22 1x2(ii)当 AO=AC时，则 /AOC=/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M , Z M=90° - a, . . a>

4、90° a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为 E 衣.2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2.如图，A、B两点的坐标分别为(0, 6) , (0, 3),点P为x轴正半轴上一动点，过 点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点 Q,连接PQ, M为线段PQ的中 点.(1)求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；(2)当。M与x轴相切时，求点Q的坐标

5、；(3)当点P从点(2, 0)运动到点(3, 0)时，请直接写出线段 QM扫过图形的面积.【答案】 见解析；(2) Q的坐标为(3J2, 9) ;(3)竺.8【解析】(1)解：连接AM、BM,0. AQIAP*, BQ，BPAPQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜边PQ的中点AM = BM = PM=QM= - PQ,2A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。(2)解：作 MGy轴于G, MCx轴于C,. AM = BM.G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为

6、9,即点Q的纵坐标始终为 9,当。M与x轴相切时则 PQx轴，作QHy轴于H,。BP 工HB=93=6,设 OP= HQ= x由BOPQHB,彳X2 x2=3XG 8, x= 3 ”点Q的坐标为(3 J2 , 9)则 Mi (3, 4.5)(3)解：由相似可得：当点 P在Pi (2, 0)时，Qi (4, 当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5)93MiM2= - -3= 一 , QiQ2=6-4= 222线段QM扫过的图形为梯形 M1M2Q2Q1其面积为：1 X 3 + 2) X 45 63 .【解析】【分析】再根据这个条件结合题意直接根据已知可得

7、出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形, 解答此题.【详解】(1)解：连接 AM、BM,AQAP, BQ，BPAPQ和ABPQ都是直角三角形， M是斜边PQ的中点AM = BM = PM=QM= p PQ, A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。(2)解：作 MG，y轴于G, MC，x轴于C,. AM = BM.G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,当。M与x轴相切时则 PQx轴，作QHy轴于H,HB= 9-3=6,设 O

8、P= HQ= x由BO'QHB,彳X2 x2= 3X 8, x= 3，点Q的坐标为(3加9)(3)解：由相似可得：当点P在Pi(2, 0)时，Qi(4,9)则Mi(3,4.5)当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5)9 c 3 0 . M iM2=下 一 3=, QiQ2= 6 4=2线段QM扫过的图形为梯形 M1M2Q2Q1其面积为：JxR+2）X4百号.【点睛】本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键3.（类比概念）三角形的内切圆是以三

9、个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切.以此类推，如图 1,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1,试探究圆外切四边形的 ABCD两组又右边AB, CD与BC, AD之间的数 量关系猜想结论： （要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图 1,写出已知、求证、证明）（性质应用）初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形 （填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形如图2,圆外切四边形 ABCD,且AB=12, CD=8,则四边形的周长是圆外切四边形的周长为 48cm,相邻的三条边的比为

10、5： 4： 7,求四边形各边的长.【分析】(1)根据切线长定理即可得出结论；(2) 圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1,已知：四边形 ABCD的四边AB, BC, CD, DA都于。相切于G, F, E, H. 求证：AD+BCAB+CD.证明：AB, AD 和。相切，AG=AH,同理：BG=BF, CE=CF, DE=DH, .AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD,即：圆外切四

11、边形的对边和相等.故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：二.根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等.平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边 的距离相等.故答案为：B, D; :圆外切四边形 ABCD,AB+CD=AD+BC. AB=12, CD=8,AD+BC=12+8=20, .四边形的周长是 AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案为：40 ；二相邻的三条边的比为5: 4: 7, 设此三边为5x, 4x, 7x,根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x- 4x=8x.圆外切四边形的周长为48cm, .1.4x+5x+7x+8

12、x=24x=48, . x=2,此四边形的四边为4x=8cm, 5x=10cm, 7x=14cm, 8x=16cm.A _S本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩 形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关 键.4.已知AB, CD都是e O的直径，连接 DB,过点C的切线交DB的延长线于点E.1 如图 1,求证： AOD 2 E 1800；2如图2,过点A作AF EC交EC的延长线于点F,过点D作DG AB ,垂足为点G,求证：DG CF;3如图3,在2的条件下，当DG 3时，在e O外取一点H,连接CH、DH分别交

13、 CE 4e O于点M、N,且 HDE HCE ,点P在HD的延长线上，连接 PO并延长交CM于点Q,若PD 11, DN 14, MQ OB ,求线段HM的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 8，3 7【解析】【分析】(1)由 /D+/E=90°,可得 2/D+2/E=180°,只要证明 /AOD=2/D 即可；(2)如图2中，作OR，AF于R只要证明 4AO宅 ODG即可；(3)如图 3 中，连接 BC OM、ON、CN,彳BT，CL于 T,作 NK±CH于 K,设 CH 交 DE 于W.解直角三角形分别求出 KM, KH即可；【详解】1证明：

14、如图1中,QeO与CE相切于点C,OC CE, OCE 900，E 90°,2 D 2 E 180°,Q AOD COB, BOC 2 D , AOD 2 D , AOD 2 E 180° 2证明：如图2中，作OR AF于R.Q OCF F ORF 90°, 四边形OCFR是矩形，AF/ /CD , CF OR ,A AOD , 在VAOR和VODG中，Q A AOD, ARO OGD 90°，OA DO ,VAOR VODG ,OR DG , DG CF , 3解：如图3中，连接BC OM、ON、CN,彳BT CL于T,作NK CH于K,设C

15、H交DE于W.设 DG 3m,则 CF 3m, CE 4m ,Q OCF F BTE 90°,AF/ /OC/ /BT ,Q OA OB,CT CF 3m,ET m ,QCD为直径，CBD CND 90oCBE ,E 90oEBT CBT ,tan E tan CBT ,BT CT , ET BTBT 3m m BT 'BT J3m（负根已经舍弃），*7 3m tan E3 ，mE 60°,Q CWD HDE H , HDE HCE , H E 60°，MON 2 HCN 60°，QOM ON ,VOMN是等边三角形，MN ON , Q QM O

16、B OMMOQ MQO ,P 180° H 120°,Q MOQ PON 180°MON 120°, MQOPON P,ON NP 14 11 25,CD 2ON 50, MN ON 25,在 RtVCDN 中，cn Jcd2 DN2 J502 1 42 48，在 RtVCHN 中，tan H CN 也 73, HN HNHN 16/3,在 RtVKNH 中，KH - HN 873 , NK HN 24, 22在 RtVNMK 中，mK .MN2 NK2 ,252 242 7，HM HK MK 873 7 .【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性

17、质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的 判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题 的关键.5.四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE= EC BE= ED,以AD为直径的半圆过点 E,圆 心为O.(1)如图，求证：四边形 ABCD为菱形；(2)如图，若BC的延长线与半圆相切于点 F,且直径AD = 6,求弧AE的长._一 ”.兀【答案】(1)见解析；(2) 21 ，一 。，一。Z CDA=30 ,，/ADE=15 .2303 -.1802试题分析：(1)先判断出四边形 ABCD是平行四边形，再判断出 AC± BD即可得出结论； (2)先判断出

18、 AD=DC且DE，AC, / ADE=/ CDE进而得出 Z CDA=30°,最后用弧长公式 即可得出结论.试题解析：证明：(1) .四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE=EC, BE=ED, .四边形ABCD是平行四边形.二,以AD为直径的半圆过点 E,/ AED=90°,即有AC BD,二.四边 形ABCD是菱形；(2)由(1)知，四边形 ABCD是菱形， 4ADC为等腰三角形，AD=DC且DEL AC, /ADE=/CDE如图2,过点C作CG,AD,垂足为G,连接FO. 丁 BF切圆。于点F,1 .OFXAD,且 OF -AD 3 ,易知，四边形 CGOF为矩形

19、，CG=OF=3. 2.CG在 RtCDG 中，CD=AD=6, sinZADC= CD连接 OE,贝U/AOE=2X/ ADE=30°, Ae点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性 质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.6.已知：如图，在矩形 ABCD中，点O在对角线 BD上，以OD的长为半径的。与AD, BD分别交于点E、点F,且/ABE=/ DBC.(1)判断直线BE与。的位置关系，并证明你的结论；(2)若 sinZ ABE=, CD=2,求。的半径.C【答案】（1）直线BE与。O相切，证明见解析；（2）。的半径为 旦.2【解析】分析：（

20、1）连接OE,根据矩形的性质，可证 /BEO=90。，即可得出直线 BE与OO相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出 BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知 BE的 长，设出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：（1）直线BE与。O相切.理由如下：连接 OE,在矢巨形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OD=OE,Z OED=Z ODE.又/ ABE=/DBC,Z ABE=Z OED,矩形 ABDC, / A=90 °,Z ABE+ / AEB=90 °, . / OED+/AEB=90 ；，/BEO=90；

21、 .直线 BE 与。O 相切；(2)连接EF,方法1:.四边形 ABCD是矩形，CD=2,Z A=ZC=90 °, AB=CD=2. ZABE=ZDBC, . .sinZ CBD=sin ABEDC . BD2、3,sin CBD22.2AE AL二, AE 、. 2 ,2在 Rt:A AEB 中，CD=2, ，BCDC tanZ CBD=tan /ABE,，二BC由勾股定理求得BE 、6 .在 RtBEO中，/BEO=90°, EO2+eB?=OB2.设。的半径为r,则r2 （而）2 （2向23r) , r=，2方法 2: DF是。的直径，Z DEF=90 °.

22、四边形 ABCD是矩形，.1. Z A=Z C=90 °, AB=CD=2 . /ABE=/DBC,sinZCBD=sin ABE设 DC x, BDBCJ2xCD=2,BC272 tanZ CBD=tanZABE, DCBCAB22.2E为AD中点.DF 为直径，ZFED=90°,EF/ AB,DF1BD J3, 。的半径为43. 223【答案】(1)证明见解析；(2)点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的 综合性，有一定的难度.7.如图，。是4ABC的内心，BO的延长线和 4ABC的外接圆相交于 D,连结DC DA、OA、OC,四

23、边形OADC为平行四边形.(1)求证：BOCCDA.(2)若AB=2,求阴影部分的面积.43、. 39分析：(1)根据内心性质得 /1 = /2, /3=/4,则AD=CD,于是可判断四边形 OADC为菱 形，则BD垂直平分 AC, /4=/5=/6,易得 OA=OC /2=/3,所以OB=OC,可判断点 O 为4ABC的外心，则可判断 ABC为等边三角形，所以 / AOB=/ BOC=Z AOC=12 0,BC=AC再根据平行四边形的性质得 /ADC=/ AOC=120°, AD=OQ CD=OA=OB则根据“SA院明BOXACDA；(2)作OH, AB于H,如图，根据等腰三角形的

24、性质和三角形内角和定理得到/ BOH=30 ；根据垂径定理得到 BH=AH=1AB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系2得到OH=_3bH=_3, OB=2OH=2_3,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用 333S阴影部分=S扇形AOB-S AOB进行计算即可.详解：(1)证明：:。是4ABC的内心，/2=/3, /5=/6, - / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CO,/ 4=7 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AG/3=/4=/6, / ABC=Z ACB.AB=AC .ABC是等边三角形 .O是4ABC的内心也是外心.

25、OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分 ACOA=OB=OC=2、33SvaOB132 23在 RtOCE中，CE=1AC=-AB=1, Z OCE=3O°, 22/ AOC=120 ,. Sfe 影=5扇 AOB1202.3 2()360343、§9点睛：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，： 角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计 算.8.如图， ABC内接于OO,弦ADBC,垂足为H,连接OB.(1)

26、如图 1,求证：/DAC=/ ABO;(2)如图2,在弧AC上取点F使/CAF=/ BAD,在弧AB取点G,使AG/ OB,若/ BAC=6C0, 求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下，AF、BC的延长线相交于点E若AF: FE=1:9,求sin/ADG的值。14【解析】试题分析：(1)延长BO交。于点Q,连接AQ.由圆周角定理可得：/AQ&/ACB,再由等角的余角相等即可得出结论；(2)证明4DFG是等边三角形即可；(3)延长 GA,彳FQ±AG,垂足为 Q,作 ON± AD,垂足为 N,作OM，BC,垂足为 M,延长AO交。于点R连接GR/DP,AG

27、, DK±AE,垂足为P、K.设AF=k,则FE=9k, AE=10k.在 4AHE 中，AH=5k.设 NH=x,贝U AN=5k-x, AD=10k-2x.在 AQF中,AF=k, AQ=k , FQ= k.由（2）知：4GDF是等边三角形，得到 GD=GF=DF,进而得到22AG=9k-2x.OM=NH=x, BC=2V3x, GF=BC=2>/3x.在 AGQF中，GQ=AG+AQ=129 k-2x, QF=k,-,t7,-11 ,八 八.GF=2V3x,由勾股定理解出 x k,得至ij AG=9k-2x=-k, AR=2OB=4OM=4x=7k.在 42 GAR中，由

28、sin/ADG=sin/R即可得出结论.试题解析：解：（1）证明：如图1,延长BO交。于点Q,连接AQ. BQ 是。直径，./QAB=900. AD± BC, ./AHO900.弧 ABWAB, . / AQB=/ACB./ AQB+Z ABO=900， / ACB/ CAD=900/ ABO=Z CAD(2)证明：如图2,连接DF. AG/OB, . . / ABO=/BAG. / ABO=/CAD, . / CAD=/BAG./ BAO600,/ BAD+Z CAD=Z BAD+Z BAG=600,即Z GAD=Z BAC=60 .° / ZBAD=ZCAF. . .

29、/ CAF+/CAD=60°,Z GAD=Z DAF=600,/ DGF=Z DAF=60 :,弧 GD=MGD,Z GAD=ZGFD=600, -1 / GFD=Z DGF=600, . . DFG是等边三角形，.GD=GF.(3)如图3,延长GA,彳FQ,AG,垂足为 Q,彳ONXAD,垂足为N,作OMLBC,垂足为 M,延长 AO交。O于点R,连接GR/DPXAG, DK, AE,垂足为 P、K. AF： FE=1： 9, 设 AF=k,贝U FE=9k, AE=10k,在 AHE中，Z E=300, . AH=5k.设 NH=x，贝U AN=5k-x. / ONXAD, .

30、AD=2AN=10k-2x又在 AQF 中， / GAF=1200, . / QAF=600, AF=k,，AQ=K, FQ= -k22由(2)知：4GDF是等边三角形，.-.GD=GF=DF, / GAD=/DAF=600,DP=DK, GPD FKD, AAPDAAKDFK=GP, AP=AK, ZADK=300,，AD=2AK=AP+AK=AF+AG .AG=10k-2x-k=9k-2x.1作 OMBC, ON LAD,OM=NH=x. / Z BOD=- Z BOC=Z BAC=6002.BC=2BM=23x. / Z BOC=ZGOF, . GF=BC=2V3x在AGQF 中，GQ=

31、AG+AQ=?k-2x, QF=3k, GF=26x2 GQ2FQ2GF222x713Xik,X2k舍去.4211.AG=9k-2x= k , AR=2OB=4OM=4x=7k,2在 AGAR 中，/RGA=90°,AG 11 sin / ADG=sinZ R=.AR 14点睛：本题是圆的综合题.熟练掌握圆的基本性质和常用的辅助线做法是解答本题的关 键.9.如图，AN是。M的直径，NB/X轴，AB交。M于点C.(1)若点 A (0, 6) , N (0, 2) , /ABN=30,求点 B 的坐标;CD是。M的切【答案】(1) B(q依，2) . (2)证明见解析.【解析】试题分析：

32、(1)在RtA ABN中，求出AN、AB即可解决问题;(2)连接MC, NC.只要证明/MCD=9°0即可试题解析：(1) :人的坐标为(0, 6) , N (0, 2), .AN=4, / ABN=30 ； / ANB=90 ；.AB=2AN=8,，由勾股定理可知：NB=j 加工=4花，B (4曲，2).(2)连接 MC, NC.AN是。M的直径，/ ACN=90 ；/ NCB=90 ；在RtNCB中，D为NB的中点,，CD=NB=ND,2/ CND=Z NCD, . MC=MN ,/ MCN=Z MNC, / MNC+Z CND=90 ； / MCN+Z NCD=90 ；即 MC

33、CD.直线CD是。M的切线.考点：切线的判定；坐标与图形性质.10.如图，在 RtABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,点O在AB上,。经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F. (1)求证：BC是。的切线；兀和根号)(2)若。O的半径是2cm, E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留【答案】(1)证明见解析 (2) 2- J33(1)连接OD,只要证明OD/AC即可解决问题；(2)连接OE, OE交AD于K.只要证明AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD.2D C. OA=OD,/ OAD=Z ODA. / OAD=/DAC, ./ODA=/DAC,

34、 ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； . . OD,BC, . BC是 OO的切线.(2)连接OE, OE交AD于K.Ae De ,OE± AD./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ；AAKCAAKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等边三角形，ZAOE=60°,. S-S扇形 oae-Saaoe602-21227336043【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型.11

35、.如图，4ABC中，ZACB= 90°, /A=30： AB=6. D是线段AC上一个动点(不与点A重合)，OD与AB相切，切点为 E, OD交射线.DC于点F,过F作FG± EF交百线,BC于 点G,设OD的半径为r.(1)求证 AE= EF;(2)当。D与直线BC相切时，求r的值；(3)当点G落在。D内部时，直接写出r的取值范围.【答案】 见解析，(2)r=. 3,(3) -.3 r 盛5【分析】(1)连接 DE,贝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFE 贝U / DEF玄 DFE=30 = /A,即可求解；BF=3,(2)如图2所示，

36、连接DE,当圆与BC相切时，切点为 F, /A=30。，AB=6, AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可. 【详解】解：设圆的半径为r；(1)连接 DE,则 / ADE=60 =/ DEF+-Z DFE,且EB图1而 / DEF=Z DFE,贝U / DEF=Z DFE=30 = / A, .AE=EF(2)如图2所示，连接DE,当圆与BC相切时，切点为 FZA=30 ； AB=6,贝U BF=3, AD=2r,由勾股定理得：(3r) 2+9=36,解得：r=J3；(3)当点F在线段AC上时，如图3所示，连接DE、DG,当点

37、F在线段AC的延长线上时，如图 4所示，连接DE、DG,FC 3.3 3r, GC 3FC 3 3r 9两种情况下GC符号相反，GC2相同，由勾股定理得：DG2=CD2+CC2,点G在圆的内部，故： DG2vr2,即：(3,3 2r)2 (3. 3r 9)2 r2整理得：5r2 11.3r 18 0解得：3 r 635【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长.12.如图，。的直径AB=8, C为圆周上一点，AC= 4,过点C作。的切线1,过点B 作1的垂线BD,垂足为D, BD与。交于点E.(1)求/ AEC的度数；【分析】(1)易得4AOC是等边三角

38、形，则 ZAOC= 60°,根据圆周角定理得到 /AEC= 30°(2)根据切线的性质得到 OCL 1,则有OC/ BD,再根据直径所对的圆周角为直角得到 /AEB= 90 °,则/EAB= 30 °,可证得AB/CE,得到四边形 OBEC为平行四边形，再由 OB = OC,即可判断四边形 OBEC是菱形.【详解】(1)解：在 4AOC中，AC= 4,.AO=OC= 4,.AOC是等边三角形，/ AOC= 60 ；/ AEC= 30 ;(2)证明： OCX l, BD± l.OC/ BD./ ABD= / AOC= 60 :.AB为。的直径，/

39、 AEB= 90 ； AEB为直角三角形，/ EAB= 30 :/ EAB= / AEC. .CE/ OB,又 CO/ EB 四边形OBEC为平行四边形.又 OB= OC= 4. 四边形OBEC是菱形.【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以 及菱形的判定方法.13.已知四边形 ABCD是。的内接四边形， /DAB= 120 °, BC= CD, AD=4, AC= 7,求 AB的长度.【答案】AB= 3.【解析】【分析】unn uiu作DE±AC, BFLAC,根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得 BC CD ,进而得到 /

40、DAC=/CAB= 60；在RtA ADE中，根据60锐角三角函数值，可求得 DE= 2石，AE=2,再由RtDEC中，根据勾股定理求出 DC的长，在4BFC和4ABF中，利用60°角的锐角 三角函数值及勾股定理求出 AF的长，然后根据求出的两个结果，由 AB=2AF,分类讨论求 出AB的长即可.【详解】作 DEL AC, BF± AC,BC= CD, urnr ujm BC CD，/ CAB= / DAC, / DAB= 120 ；/ DAC= / CAB= 60 °, .DEXAC, / DEA= / DEC= 90 ; DE .sin60 = , cos60

41、 =4 .DE=2T3, AE=2,AE4 .AC=7, .CE= 5, DC=2 3 252 、37，BC= . 37 ， .BFXAC,/ BFA= / BFC= 90 °,tan60BFAF.BF= 3AF,bf2+cF=bG,.327-32 .AF = 2 或 AF= 一 ,2AFcos60 =,AB.AB=2AF,当 AF=2 时，AB=2AF= 4, .AB= AD,3 . DC=BC, AC=AC,4 .ADCAABC (SS§ ,/ ADC= / ABC,ABCD是圆内接四边形，5 / ADC+/ ABC= 180 :/ ADC= / ABC= 90 ；但A

42、C2=49, ad2 DC2 42 后 2 53AC2w A2+DC2,AB=4 （不合题意，舍去），3当 AF= 2时，AB= 2AF=3,2 .AB=3.【点睛】此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利 用直角三角形的性质解题.14.如图，RtABC中，/B=90°,它的内切圆分别与边 BC CA、AB相切于点D、E、F,设 AB=c, BC=a, AC=b证：内切圆半径 r= （a+b-c）2(2)若AD交圆于P PC交圆于H, FH/BC,求/ CPD;(3)若 r=3 厢,PD= 18, PC=2772 .求 ABC各边长.【答案】（1

43、）证明见解析（2） 45。（3） 9属，12710,15710【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有 AE=AF, BD=BF, CD=CE易证四边形 BDOF为正方形， BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD CE,禾ij用AE+CE=Aa等量关系列式.（2） /CPD为弧DH所对的圆周角，连接 OD,易得弧DH所对的圆心角/ DOH=9 0,所以 / CPD=45 .°（3）由PD=18和r=3 J10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心。作PD的垂线OM,求得弦心距OM=3,进而得到/ MOD的正切值.延长 DO得直径DG,易证PG/ OM ,得到同位 角/G=/ MOD,又

44、利用圆周角定理可证 ZADB=Z G,即得到/ADB的正切值，进而求得 AB,再设CE=CD=x用x表示BG AC,利用勾股定理列方程即求出 x.【详解】解：（1）证明：设圆心为 O,连接OD、OE、OF, 。0分别与BC、CA、AB相切于点 D、E、F ODXBC, OELAC, OFXAB, AE=AF, BD=BF, CD=CE/ B=ZODB=Z OFB=90 ° 四边形BDOF是矩形 ，OD=OF=r ,.矩形BDOF是正方形.BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r CE=CD=BC-BD=a-r,.AE+CE=ACc-r+a-r=b1. FH/ BC/ AFH=Z B=90 °.AB与圆相切于点 F,二FH为圆的直径，即 O为圆心1. FH/ BC/ DOH=Z ODB=90 °/1 ,/ CPD= / DOH=452(3)设圆心为O,连接DO并延长交OO于点G,连接PG,过O作OMLPD于M/ OMD=90 °.PD=18.DM= 1PD=92 BF=BD=OD=r=3710 ,-0M= OdDM 2 = J(3而)2 92 = J90 81 =