自主招生历年数学真题专题讲解(上海)

1、、专题讲解2专题1、巧算 2专题2、找规律4专题3、二次根式 7专题4、化简求值 9考点5、有理数无理数反证法 152考点6、不等式18考点 7、整式方程 18专题讲解考点1、巧算往届真题回顾12013*上沟中学】懑II】计算力+悬耳+面力而二2013 上海年拳】【超官】已知1+2+3+十描方用（博+1）/2.这里同为任jfciE核数.请你利用也，昂（力+1）'=储十"/十如+1 推'?fhl2 + 22 3 +/的计算公式.【2015华二】2X （I）设四是给定的工蜓数.化酊 L ± ._L 1y 小例+1）根据的结果.汁第收弓小"1，卜&quo

2、t;二的依【2015交大】6、计算:.小工.1x2 2*32013x20142017考题预测1、* 一般地.玳门怔研克Y金统时为元素，杷一些元素组或篦总惨称为能台，一个给定恁 台中的五惠是互不泪同伯，也就是诵，集合中的元青是不重曼出现的.如-组物I，I，2, 3, 4敕可以 构成一个集合，诘为4-口，上，3, *卜非比实数有加法运算，集台也可以,相加定义:笔合A与集合 三中的所有元青组咸的集台窗为集合汽与隽合日的和，记为A-B.若A-fW，k I，5, 71B-3 1山 1，3“ 3” SjiA-B= .根据图斫示的程庠计符.若输，工的值为齿4.可输比结早为幡7E负取汕取理本平万雷| *|除弭

3、T忸古斗«>3、 t在一个tnm为整到l）位的正整数中，若从左到右案n （n«m, n为王整数）佳上的数字与从左到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k （k为止整数）,则称这样的数为一对称等 和效例如在正整数3186卬，因为3+6-卜8-9,所以31g6是“对称等和数其甲k=9,再如在正整数53 697中,因为57-3-9-6+6-12,所以53697是“对称等和数”，其卬k-12.（1）己Q在一个铺前"整除的四位“对称等和物'Uk=4,设议个四侍1对称等和数”的千俗上的教字为s （1M9, s为整数），自值上的数字为t （0WH9, t为整数）

4、注空数，求这个四位“对拧等相数“， （2）已Q数A,数B,数C都是三位“对称等和数A=T5 （1。夕，a为整数）,设数B十位二的数字为x （39, x为整数）,数C十位上的数字为y（叱二十y为整数），若A+B+C-1800,求证：y-x+1 5.4、我国古代数学家秦九貂在产书九章中记述了三科求积术即已知三角形的三边 长，求它的面积.用现代式子表示即为：5= 犷/卡?勺（其中3区c为三角形的三 边长，S为面积）.而另一个文明古国古希谐也有求三角形面积的海伦公式：3-Jg-a）W-方）（p-c）（其中 p，+；+c.）（1）若已知二甬形的三边长分别为5, 7, 8,试分用运用公式和公式，计篁该二殖

5、形的面积s;（2）打能否由公式推珞出公式？清试试.5、斐波那契（nil70-1250,意大利数学家）数列是按某即皿律排列的一列菱3他发现该数列中的使个 IF婺物都可以用无理的的形式表示，如第n （n为正整料）个豺触可表示为左（与叵）n-（邛）*.（1）计茸第一个找（2）计算第二个数az；3证明连续三个数之间an.a az存在以下关系:* va.i*2;4）写出斐源秘契数列中的前£个数.考点2、找规律往届真题回顾：20B 华二附中】题H】如图，有极了摆成这样.求第胃幅图育 颊拱了.2013 -华二附中】【题目】LN2333444435.5$5,第20】3个数是（3011华附中】【题目】

6、以下是面点师一个T作环节的数学模型：匕图.在数轴上截取从。到【而梅的 线段,对折后坐标1所对应的点与原点重合）再均轲地拉成1个单位长度的线 段,这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐将！变成4 41 原来的。变成1,竽等h那幺原数轴从0到I对府的线段I （除两端点2 2外）的点，在第兄次操作完成后（”之1）,恰好被拉到与1重合的点所对应的坐 标为12（113进才中学】【西目】正方形A4A4辿K为2,与之相比更大的正方形边民分别为, 求4坐标.2017考题预测1、*如蜀，沟百桂大口的里田粗干建成衽正多边形的边上，能一今图M需考;第1十典秽 甬“图照常T回考甯“面;个黑笆帮子落一个

7、喇形寤要*个黑色箱子，,摘照这样的姬律博下去，筹n心是正要款> 小图用零 曼出色值子的今数是（用含心由代赳式 表示-（用含n的式子表示）现票下利砌阚音的福截面图：3 8 n-J 则第n个圈帝祖营数是工 * 如圮，在触轴一，苴A表示.】，现将空以沿K轴 ；:；_ ? ,他如核动，第-次有A向左啮动3十单位长度到达外，第二5> “ &口 2 * * 5旷次将占即向右移由6个单位长博到认占.4八第二次将曰*向左移动。个单位长信到达占小1格翼近胜格 动如堂移动K去，粕1次移动到点上，如果点An与原点的距离不小干匐，那久的最小值是.4、* * 如图,AABC的三个项点和它内部的点P，

8、加色内心分成?个互不重招的小三角胫* 心土BC的三午质点和它内部的点Pc P，旭白AHC力腐STm不至碧的小三/形，dABC的三个顶点也 它肉群的点Pr、良 打，旭一3 启属7个互彳垂卷的小三角彩：&ABC的三个顶直如它Fl部的点P 1% P" Pc P”阳儿BC分成 个百K耋叠的卜三甬肥.一利初1打，加，,足圣性：11r尸J &冢，且n为整和】，到工1 1F凤 *a是不为1的数，莪们把4称为曲的差倒数，如：2的差倒数为±=-1； -1的差厕数1-（21-2呈=:；已知百=三，a,是工的差倒窗，a,是生的差隹!承1 . a：是a ,差倒数，佚此类推，则巨,，

9、一=1-（-1） 27、 如图，直线li： y x 1与直线12： y 2x 1交于点P,直线li与x轴交于点A. 一动点C从点A出发，沿平彳T于y轴的方向向上运动，到达直线 12上的点Bi,再沿 平行于x轴的方向向右运动，到达直线li上的点Ai；再沿平行于y轴的方向向上运动，到达 直线L上的点B2,再沿平行于x轴的方向向右运动，到达直线 li上的点A2, 依此规律，则动点C到达点Ai0所经过的路径总长为（）A. 2i0 i B. 2i0 2C. 2ii iD. 2ii 2仄 在前】000个整蚊l.2, 3. -t ISO中，敷碍I共也理了 次加圉，/AOB=J5=.5, 八小1】第百花。A的

10、垂妮句。口相交，得到万除出面粗打划为“，曲，密，凯删第一入黑色梯密团面阻Sl律，第。fn为正整箭；个黑色梯形的面木口孔：10、现在a根长度相同的火柴棒，按如图 1摆放时可摆成 m个正方形，按如图 2摆放时可摆成2n个小正方形.(1)用含n的代数式表示m;(2)当这a根火柴棒还能摆成如图 3所示 的形状时，求a的最小值.11、*«*两条平行国线二各有口不直.用这n个方按如F瓶则隹搂蛆般：平行线之间的点在浮线段时，可以有耳闻的辨点，但不能有算它交盘：。符合要求的线段必绩全册画出.图门)展示了当n=l时的情况j此时图中三角形的个射为口图(与展示了当口 =2时的一种情况.此时 团中三角根的个

11、数为上试回答下列问题；U)当户3时|请在图(3)中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数是IHI)试喟想当有琥寸点时，按上逑规则直的囹物甲，最少有一个三角形jtin)当117tH出上 技上述那则画比的星形中,最少有 个三角形.考点3、二次根式往届真题回顾12013华二附中】t涯目】已如 看为有理数，且濡足和H=X + "?, »JUy)=【MM3 上海中学】SU若有理数出/满足，弓一入后="+ 6,则q+ b =一【2015交大】"用二一【2013交大】有理化 _±_.书十括# 1【2012复旦】已知&是国的立方根，孙-3是鼻

12、的平方根，则与。-46的草术平方根为上4【2015华二】已知：x 3 L ,则22可用含x的有理系数三次多项式来表示为：2=.5.2【2014建平】有 个实数X,可以使得"12鼠Jx为整数.x为1,2,3,2014,使得J100为有理数的x有 个.x为1,2,3,2014,使得J5x为有理数的x有 个.有 个整数x,可以使得J120 2«为整数2017考题预测L若实如满足"二返三百=2 ,贝伯的值是a. aa2 .如果x-a|=a-|x| (x*0, xwa),那么、a2-2ax+J -()A. 2aB. 2xC. -2aD. -2x3 . a, b, c为有理数

13、，且等式百M而成立，帅,2a+999b-1001c的值罡()A. 1999B. 2000C. 2001D.不能确定g你见过像jq-0行，w胡-倔,这样的根式吗？这一类格式叫做复合二次根式.有一些复合二次m式可 以化简，加V -困543 -45又1+1 =J (5/3-1) 2RJ - 1 .请用二边方法化简:庭耘辰.5.若非零的实数a,xj,z满足等式Ja(3x - 2j) - Ja(4y - 3z) =-3z -依-3x ,则的值是孙+R + ZX6、用归纳法化简求值：化简端节+屋诟+晨诉+.布言丽7、已知实数x、y、7满足Jlgnlg+KNbr-7+j2x+y+z-35,求长度分别为x、y

14、、z的三条线段组成三角形的面积.考点4、化简求值往届真题回顾（2013*旦且附中】'-| 已如：/斗8M卜4亡必卜4门M卜.求内/一丁的俏2013 上海中学】【超目】设禹丁口为整数且满足|工一了|?小十“一七广”二1,则代数式|工一城+“一丁 十工 xf的债为2013 华二附中】的临I 4【题目】已知工一r + 7r = 7 a b a ±d2013 重点高中自招翱练题】团】已知L表，求【2013华二】巳知。看"1"* M<J4 +« =1【2015复旦】已知工.料 =5,则0Z至二任二史也二rJ-2A. 2016 B、2017 C. 20

15、1SD、2019【2016复旦】已知4y,工均为非负数：且满足y +工”= 4-y-或二工。若*¥ = 2-一力十j则w的最小值为（）231A、-1R、 C< D、092【2013交大】已知：Ab-2, b+- yfl求 2a:-f-Wc2+2ab+4bc-2ac-.-WW【2015黄冈】若卖数也满足。-士-蛔五 =3则口的值是*a2017考题预测111 b a1 .已知a b a b ,则a b114baaba b ,则ab114baaba b ,则ab114b2 a2 aba2 b?则2 ab114_b_一ab；ab,贝U ab【变式】已知:【变式】已知:【变式】已知:【变

16、式】已知:3 已知实数R瓦c满足"6+。= 9 , 工+- + '=当，则a+b b + e.e+白 9q+b b+c 亡+口3、已知93 = 4,则注言的值等于A口2L*T £4、* igaia-l-O, b-l-O,且lab=O,则（艺注二也二）工 a5、使得3n 81是完全平方数的正整数 n有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6,已知八b. c是整数.且日-2b=4,1 = 0,则同十同十M=()A、5 B、5 或 3 J 4 或 5 D、3 或 47.若口与。用脾实数j且满足：羽”等二2,则，二 b 8 十 IM b% 0,5B、QJ* 0.3D、Q9

17、4 2SU淌足方程m ± 的正整数有序歌对的O«,n)个数为 m X已知玄工k-IF2则-乂。2/+2005的值为 .10、用三种边长相等的正多边形地茂铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚(A) 1好能完全铺满地面.已知正多边形的边教为X、八Z,贝!的值为（）(C)-2口、已知0<a<l,且满足1a H30+” 30= 18，则1。司的值等.（闺表示不超过x的最大整数）|，称为二阶仃列式，效定它的运埠法则为:Hd-bc,倒犯32算方助:卜3x4-2x5=12-10=2,谙根据阅读理解化简下面的二汾行列式：i 13x * 解答一个问找后,将结论作为条件之

18、一，提出与原问题有关的钛问题，我们把它行为 厚问热的一个“逆向'问题.例如，厚何熟是由矩形的电边长分别为用4,求矩形的周长1求出周长等 于14后，它的一个-逆向"问遨可以是"若矩形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长七乜可以是一若 矩形的周长为14,求迈彤面积的最大值”，箸等.（1）设37三，求A与B的在il2 r+2 x（2）提出（1）的一个"逆向”问题,并解箸这个问题.考点5、有理数无理数反证法往届真题回顾:2013*兔旦附中】【尊耳】若明伉为正修理数，证明：若右+JS为有理数，则JG、而为有理故，着、G +x'fr + Vc为有理数，则、

19、，石、人为有理数.【2013交大】九证明启仅此有理数【2016华二】如果有理数耀可以表示成2必-63+5卜尺(其中为p罡任意有理数 ) 的形式n我们就称m为.世博数为个*世博数内小占之积也是“世博数”吗？为什么？证明：两个“世融T四8 ("0)之窗也罡“世博费122017考题预测1、为了市|一耳+3。寸* */式的伯，可令产+十一 +/;，网m! = <*铲*/*/士T加，因此，3Mmi=3山-1,所以M=K；7 ,即1+H豕+3工一十3,=史等，伯幽以上推理计算：人 上一x54父-7加。的值罡2、*谀酊为正整数一的末位数）如且1 = 1,之泮6,产6.则3i+a上+昱r*+心

20、01/2加u+32015"3. * 证明：已知工与b均为有理触，且亚和JI都是无理勒，证明日也是无理 虬4、已知a是整数，/是偶数，用反证法证明；a也是偶数.5、用反证法证明：钝角三角形最大边上的中缄小于该边长的一半.Sx *如图；在数铀上点八表示数打点B示赞b,点C表示数。b曷最小的正整数，目1, $足固+ ："=0,3?>（ 1） 3 + C- .<2>若将言赢叠，使得点4与点E重合，则点C与数表示的点重合.3）若京&与立D2间的诙窗表示为旦D,点B与点D之间的施展表示为BD,谙在射轴上我一点.D,使AE 7BD,网点,D蓑示瓶是（4）点A,

21、B, C开始在数辅_L这动，若点也以星秒1个毡位长度的速度向左通动，同时，点B和点C灯别 以每栽1个单位长度和?个单位长度的速度向右运初，假i小秒钟过后，若点,工与点H之间的距禽表示为A 日，点A与点C之间的距离衰示为AC.则AB, AC-. （用含t的代软式表示:仃）在H）的条件下，若那Gm'AB的值不随着时间t的变化而改变，试藻定m的侑.（不必陟述理 由）7. 认真阅读下面的材料,完成有关问恶.材料：在学习绝对信时，老师触过我们地对信的几何含义，如|5凸|表示5、3在到轴上对应的西点之间的 距离；|53|=|5-(-3)。所以|5-3|表示5, -3在数汨上对应的两点之间的距离；|

22、5|=|50|,斯以»表示5 在数泊上对应的点到原点的距离.一般小点A. B在数轴上分引表示有理数a、b,那么A, BN间的距离 可表示为|ab|.(1)点A. B、C在京汨上分别表示百理数工、-2、1,那2A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 (用含绝对值的式子表示).(2)利用数轴探究：找出漏足R3I+I工+1|=6的x的所有需是，谈x-3|+|x+l|=p,当、的信取在不小于】且不大于3的范圉时，p的值是不变的，而且是P的最小值，这个最小值是；当k的任取在的范围时，冈+岳2取得最小宜，这个最小值是 (3)求x-3H2|；|x7|的最小值为，比时x的值力<4)求x-3Hx

23、-2Mk-1H»2|的最小值，求比时工的取值范留.x, (x>0)8. 间读下列材料并解决有关问题：注们知道冈=(o, (y = 0),-x(x<0)所以白工>0盯，告=三=匕 却<0时,壬1=-1.现在我们可以用这个洁论来解决下面问题: I工国一工<1)已知“ b是有理数，当帚耐，苦+4一夕同|切(2)已知0h是有理机 当血了0时，代+都不； |&| |c| (3)已知a, b, c是自理数，a+b+c=O, abc<0,则答+彳-4二.倒 b |c| 考点6、不等式往届真题回顾【2013 重点高中自招洲统题】【题目】某"算机用

24、户计划用不超近500元的资金购买年价分别为60人、加儿的同类软 件和E类软件，根据需要乂类软件至少买3片卜B类软件至少冢2片.则不同 的选购方式共有L种2A11*华二附中】【痼目】已如工瓦均大于搴，Ra- + lab + lac +20,则o+b+c的最小【2以3 华郎一附】【题目】iE实数耳¥满足xv=t,那幺-1+上的最小ffl为()x 9yA j凡;C/12011 华二附中】【迤口】定又min口也力我示寞数叽五，中的最小值,君茁3是任意正实数.则M=min"工的最大也圮pI 工J3013 ,进才中学】ESH)不等式工”只有5个整8解.求冉的苑I柒X J112013&q

25、uot;上海中学】【题目】已知口 口，豆不等式1水2恰有三个正数解，则当不等式2MlLUY3含仃 最多的整数解时，正数注的取值范向为.1【2015上海中学】糖军的计时1速度加55m力，IH战时它的里程混上的里程敷为尻，行程配束时里程良上的速度为扁其中七L®+&手3工/+/晶/=【2015交大】已知白曷正实效.则廿+三的最小值骅干【2014交大】已封，实常数小 从 以d同时满足下甲脚个等式：（1）口而斤+=0 ；18与8-匕而£+ d = 0 （其中&为任意锐角），则口、b、心.d之间的关系式是:#I Mly =|x-l| + 2|x-2|+3|x-3| +

26、4|x-4| &W小值是，2017考题预测1、 若不等式|x*Ex-2|>a对任意实数x恒成立j则a的取值范围是2、满足不等式区犬2工W15的耳的取值范围是3.控F面程序计算,若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为556,则再星条件所有工的信是若不等式组工一以殳。1一11工一 2有解j见必的取值范围是5、某音乐厅决定在春节朗同举办学生专场音乐建，人物券分承售覃和团体罩,其中日皆占三票/犷；，者在12月力购甘，团1有亘去强/“：元.零'票台米赛ti".荒果：2月份洪售出团体要惹票数的九当售出零售票的I 1月份团体票惨卷张50元精隹.据推测，团体票和零匪要均 54

27、能按时全都售出，若要使】月的票敕收入超过整月的票款收入&0L5信，则1月份的零售型的票价不能低于田张 元（票价必须为整豹），5、7、若不等二组H 1-1 r n>fl以4 人修1f T9r恰有商个整数解.刚实熨工的取值不圉-、X俎声咖，重庆兴华皮鞋厂的一批皮鞋，需要从西部鞋都重庆壁山运往相距3Q0千米的 四I就都.甲.乙两军分别以如+未时和制+米时的速度同时出度，甲车在近田都以。干捱的A姓叁现 在部分应黛夫在E外，立即以原速返回到E处取回皮鞋，甲车为了还能比乙车根腐到达成都，开始以1叫 干米小B寸的诧点加速向武群前沿,退4与B的距离为白千米，结果甲三此乙车提前到达成都（不W虑苴它

28、因事），则a的峪值范围罡7L咸郡8、 已知不等式好也送0的解集为R,则b的取值花围是9、 已知x, y都是正数，且卜；-1，见乂的最小值等于（）入yA. 63. 4j2C. 3+2&D. 4+2也10、不等式W1的解集为.llx已Ma=2p+E，b=R-47,那么a, b的大小关系为.用连博）12、|如果关于x的不等（2mn） xm5n»的薛隹为xV,试求关于工的不第式mxn的解隼.13、对x, 丫定义一种新运算T,切,定：T （x, y）（H卬a, b均为非零常话），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0, 1）="空=卜已知T（l, I） =2 5, TC4

29、, 0-1-2） =4.1求a, b的值；2若关于m的不等式组（；（：,，：二?f”恰好百2个整数解，求其数F的取值关区.I外加 3-2m）P14、已知x=3是关于x的不等式3x-竽年的解，木2的教值兔国.考点7、整式方程往届真题回顾2011 -华二附中】【题目】为十上，的方程用n r+v x = y 4i有【2013 匕存中学】=1+(?-5)y2 =2+(1力 f=3+(疗【2014华二】网关于工的方程9-2 - 3;*【2015交大】已知实教万满足工-救=£一-I.则/一改的值为v - lx【2015交大】.设非负实数X"满足K-HytE=L/!l t= ,9 + /十/4+/+J +/的最小值为【2016交大】给出列命题及函数y-x* j-x?和y x如枭工>江>/，那么OVaVl； a如果/a>L那么&>1： 3优果上>/型那么7<aM01如果/士>小/那么h<-L则 aa( )A.正聪的命题是B,错俣的命庭是C.正确的命题是D,错误的右联只有2017考题预测1 用换元法解方程31+15又-2+2(2+敦十=02.解方程，k-l|-3|+MM= 17|5x + 6| = 6x-53、若关于x的方程|X-2|-1|=。有三个整数解,则a的值是多少？4、当a取哪些值时，方程|x+2|x