2020-2021中考数学知识点过关培优易错难题训练∶圆与相似及答案

1、2020-2021中考数学知识点过关培优易错难题训练：圆与相似及答案一、相似1 .在平面直角坐标系中，二次函数 1 = 上的图象与#轴交于 A ( 3, 0) , B (1, 0)两点，与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使4ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点 Q作QE垂直于A1轴，垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与 4AOC相似？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由;【答案】(1)解：由抛物线F = h/ 以/ 匚过点

2、A (3, 0) , B (1, 0),二次函数的关系解析式(2)解：连接 PO,彳乍PMx轴于M, PNy轴于N.,AO=3.当卜-6时，24-XQ-X02=2.，OC=2.w _ _广 上小 心 -AO ' PM -CO f PN -A0 ' a5就-3国。# 5dfl 5由破,=221£ °4、 I1-X 3 X f 产-2)- X 2 X ( - iff) - - X 3 X 21W，ST 加.助.闫=1 V 0,.1.当明一沏有最大值.此时，存在点,使4ACP的面积最大.3 21Qe ( (3)解：存在点Q,坐标为：。"?" &

3、#39; f 8 .分BQ&AOC, EBgAOC, QEBA AOC三种情况讨论可得出【解析】【分析】(1)由题意知抛物线过点A ( 3, 0) , B (1, 0),所以用待定系数法即可求解；(2)因为三角形 ACP是任意三角形，所以可做辅助线，连接PO,彳PM±x轴于M,PNy轴于N.则三角形 ACP的面积二三角形APM的面积+矩形PMON的面积-三角形AOC 的面积-三角形PCN的面积。于是可设点 P的横坐标为m,则纵坐标可用含 m的代数式表 一 拜 不出来，即 M (m,-J - m + 2),则三角形ACP的面积可用含 m的代数式表示，整理可得是一个二次函数，利用

4、二次函数的 性质即可求解；(3 )根据对应顶点的不同分三种情况 ( BQ AOC , EBg AOC , QEBAOQ讨论即可求解。2.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形 ABCD是矩形，点 A、C的坐标分别是A (0,2)和C (2 ；0),点D是对角线 AC上一动点(不与 A、C重合)，连结 BD,作， 交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形 BDEF.图m图(2)(1)填空：点B的坐标为;(2)是否存在这样的点 D,使得 DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；i二(3)求证：3 -设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用

5、 的结论)，并求 出y的最小值【答案】(1) |J九0,5(2)解：存在，理由如下： ,OA=2,OC="冏日tan / ACO毋=3 ,/ ACO=30 ；/ ACB=60 °如图(1)中，当 E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC/ DCE=Z EDC=30,°/ DBC=ZBCD=60,° .DBC是等边三角形， . DC=BC=Z在 RtA AOC 中， / ACO=30 ； OA=2,.AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2, 当AD=2时，ADEC是等腰三角形，如图(2)中，当 E在 OC的延长线上

6、时，4DCE是等腰三角形，只有CD=CE,/ DBC=Z DEC=Z CDE=15,°/ ABD=Z ADB=75 : .AB=AD=2x/综上所述，满足条件的 AD的值为2或2期0(3)如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。 . A（0.2）和 C（23 ,0）, 直线AC的解析式为y=-33x+2,设 D （a, -33a+2）,DN=-33a+2,BM=23-a / BDE=90 , ° / BDM+Z NDE=90 ,Z BDM+Z DBM=90 : d D DBM=Z EDN, / BMD=Z DNE=90 : .BMD-ADNE, . DEBD=DNBM

7、=-33a+223-a=33.如图（2）中，作DHL AB于Ho在 RtAADH 中， . AD=x, ZDAH=ZACO=30,° .DH=12AD=12x, AH=AD2-DH2=32x, .BH=23-32x,在 RtBDH 中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, . DE=33BD=3312x2+23-32x2, .矩形 BDEF的面积为 y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12, 即 y=33x2-23x+43,y=33x-32+3 . 33>0,，x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】（1） 四边形AOCB是矩形，BC=OA=2, O

8、C=AB=飞行,/ BCO=Z BAO=90 :.B （-储,2）【分析】（1）根据点A、C的坐标，分别求出 BC AB的长，即可求解。(2)根据点 A、C的坐标，求出/ACO, /ACB的度数，分两种情况讨论： 如图(1) 中，当E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC如图 (2)中，当 E在 OC的延长线上时， DCE是等腰三角形，只有 CD=CE, /DBC=/ DEC=Z CDE=15，分另1J求出 AD的长，即可求解。(3) 如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的解析式，设 D (a,-二7a+2),分别用含 a的代

9、数式表示出DN、BM的长，再证明 BMDADNE,然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；如图(2)中，作DHXAB于H。设AD=x,用含x的代数式分别表示出 DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出 y与x的函数关系式，求出顶点坐 标，即可求解。3.(1)【探索发现】如图 1, 4ABC中，点D, E, F分别在边BC, AC, AB上，且AD, BE,CF相交于同一点 O.用"羲示三角形的面积，有Saabd： Sacd= BD: CD,这一结论可通过以下推理得到：过点 B作BMXAD,交AD延长线于点 M,过点C作CN± A

10、D于点N,可得 ;i(-A0 -Saabd： Saacd= -二,又可证 BDM CDN, . BM : CN= BD: CD,Saabd: Saacd= BD: CD.由此可得 Sabao: Sabca; Sa cao: Sacbo=; 若D, E, F 分别是 BC, AC, AB 的中点，则 Sabfo: Saabc=.(2)【灵活运用】如图 2,正方形ABCD中，点E, F分别在边AD, CD上，连接AF, BE 和CE, AF分别交BE, CE于点G, M.A E 若AE= DF判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；(3)若点E, F分别是边AD, CD的中点，且 AB=4

11、.则四边形EMFD的面积是多少？(4)【拓展应用】如图 3,正方形ABCD中，AB=4,对角线 AC, BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P, BGAF于点G,连接OG,请直接写出 Sxogp的值.图3【答案】 (1) AE: EC; AF: BF; 1: 6(2)解：结论：AF= BE, AF± BE.理由：如图2中，B却1 四边形ABCD是正方形，AB= AD, / BAE= / ADF= 90 ；2 .AE= DF,3 .BAEAADF (SAS ,.BE=AF, /ABE=/DAF,4 / ABE+Z AEB= 90 °,5 / DAF+Z AE

12、B= 90 °,/ AGE= 90 ； AFXBE.(3)解：如图2 1中,连接DM.ECr根据对称性可知DME, DMF,关于直线 DM对称,Sadme= Sadmf , .AE= DE,Saaem= Sa dme= Sa dmf , . Saadf= 3 X 4W尔1S Saaem= Sa dme= Sa dmf= J ,/. S四边形EMFD=故答案为.Jim(4)拓展应用：如图 3中,BC图$四边形ABCD是正方形，,-.AB= BC= CD= AD=4, AC= BD= 4 避,OA= OB= OD= OC= 2 ",.DF= FC,.DF= FC= 2,1. D

13、F/ AB,DF DP 1= tAB 加 二 r ? .OP: OB= OP: OA= 1: 3, . BGXPA, AOXOB,/ AGB= / AOB= 90 °, / OAP+/ APO= 90 ； / PBG+Z BPG= 90 °,/ PAO= / PBG, / APO= / BPG, .AOPABGP,OP PA.GP PROP 倒 网 走， / GPO= / BPA.,.GPOABPA,s d 司 oM i16Sa abp=S>A ABD= 3 , 8Sagop=.【解析】【解答】(1)探索发现：由题意：Sa bao: Sabco= AE: EC; S

14、cao: Sacbo= AF:BF;若 D, E, F分别是 BC, AC, AB 的中点，则 Sbfo: Saabc= 1 : 6,故答案为：AE: EC, AF: BF, 1: 6.【分析】【探索发现】利用等高模型，解决问题即可.【灵活运用】(1)结论：AF= BE,AF± BE证明BAEADF (SAS即可解决问题 .(2)根据对称性可知 ADME, DMF , 关于直线DM对称，推出Sadme=Sadmf ,由AE= DE,推出Saem= S dme= S dmf ,求出 ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由 GPOsBPA,推出5解 川 ) 即可解决问题4.如图1,抛物

15、线A (8, ,0)和原点，顶点为B,对称轴与¥轴平移后过点相交于点C,与原抛物线相交于点D.图i图2窗用图(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积5懑；(2)如图2,直线AB与 1 轴相交于点P,点M为线段OA上一动点，帆为直角，边MN与AP相交于点N,设鼻那=，试探求: 为何值时升为等腰三角形；F为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少.【答案】(1)解：设平移后抛物线的解析式将点A (8, ,0)代入，得一（X - 4 / , 16所以顶点B (4,3),所以S阴影=OC?CB=12(2)解：设直线 AB解析式为y=mx+n,将A (8, 0)、B (4, 3)分

16、别代入得加+ n加+打=所以直线AB的解析式为,作NQ垂直于x轴于点Q,8十附二Jt 当MN=AN时，N点的横坐标为2 ,纵坐标为S ,"-凯 8 - tNQ 即 52 9 jt 二一8由三角形NQM和三角形MOP相似可知OY 0P，得 i6 ,解得 -（舍去）当 AM = AN时，AN =疔 I ,由三角形48 - rAQ =-(8 - I)-H,MQ=5 ,一一_ NQANQ和二角形 APO相似可知NQ MQ由三角形NQM和三角形 MOP相似可知0M 一。得: 解得:t=12 （舍去）；当MN=MA时，仁MNA上勺AM < Z51故AMN是钝角，显然不成立，一4,t -故

17、一;t 产由MN所在直线方程为y= /白，与直线AB的解析式y=-x+6联立,得点N的横坐标为Xn= 9*3 ,即t2- xNt+36 - xn=0, LJ由判别式ux、-4 (36- -) >Q 彳#xN>6 或 xNW- 14,又因为0vxn<8,所以xn的最小值为6,此时t=3, .3当t=3时，N的坐标为（6, "3"）,此时PN取最小值为【解析】 【分析】（1）平移前后的两个二次函数的a的值相等，平移后的图像经过点原v * + bx点，因此设函数解析式为：,将点A的坐标代入就可求出 b的值，再求出顶点B的坐标，利用割补法可得出阴影部分的面积=以O

18、C, BC为边的矩形的面积。（2）利用待定系数法先求出直线 AB的函数解析式，作 NQ垂直于x轴于点Q,再分情况 讨论：当MN=AN时， 就可表示出点 N的坐标，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于 t的方程，求出t的值；当AM = AN时再由4ANQ和APO相似， NQM和AMOP相似，得出对应边成比例，分别求出 t的值，然后根据当 MN = MA时，/ MNA =/ MAN < 45故/ AMN是钝角，可得出符合题意的 t的值； 将直线MN和直线AB联 立方程组，可得出点 N的横坐标，结合根的判别式可求出 Xn>6或xnW- 14,然后由0V xn <8,就可

19、求得结果。5.(1)如图1所示,、D知 5在此.1-血|中，-犹T ,版、 冽，点在斜边延上，点E在直角边加上，若一侬 ,求证：口 J3况.(2)如图2所示,BD月 图3在矩形，以工中,虺 女出，8c1仇曲，点历在加上，连接AE ,过点|£作靖上 也交Q (或的延长线)于点方.若班:史二,求以的长;ZACB = 90v AC 贸? ?若点/恰好与点心重合，请在备用图上画出图形，并求 助的长.【答案】(1)证明：在加，耽中,+，叱=/对 ?加注一以, ?赦 ABDL.解：四边形口,是矩形，.d Nc - 即，.上肛F = 附1UCEF : ZBEA =初|,I”历任AB BE 二. C

20、E 仆，.BE:EC = J:0 ,.乏务，也狠419“ EF,7；如图所示，设班4，由得1上出门出,AB BE 4 x -，CE 4，即 10 X J ,整理，得：/ 期卢% = 4,解得：山=1,L -百，所以班的长为2cm或&亚.【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明5班- /也即可证得结论；（2）仿（1）题证明£化心源,再利用相似三角形的性质即可求得结果；由得JEM 3田，设郎=,四，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求得结果.6.已知：如图，在平面直角坐标系中, ABC是直角三角形， Z ACB= 90°,点A , C的坐标

21、分别为A ( - 3, 0) , C (1, 0),BC=AC.（1）在x轴上找一点D ,连接DB ,使得4ADB与4ABC相似（不包括全等），并求点设 AP= DQ=的值；如不存甘-图1. / A= / A , / ACB= / ABD= 90 °,.ABCAADB ,/ ABC= / ADB ,且 / ACB= / BCD= 90 °,.ABCABDC ,- A (-3, 0) , C (1, 0),.AC= 4,JBC= 'AC. .BC= 3,.AB=4 BC =' ,6 =53五,4.CD=,.AD=AC+CD= 4+ ：= '13.OD=

22、 AD- A0=,，点D的坐标为：（0)；D的坐标；（2）在（1）的条件下，如 P , Q分别是AB和AD上的动点，连接 PQ , m ,问是否存在这样的 m ,使得4APQ与4ADB相似？如存在，请求出 m 在，请说明理由.【答案】（1）解：如图1,过点B作BD±AB ,交x轴于点D ,(2)解：如图 2,当 /APC=/ABD=90°时, .APQsMBD ,PAQ ,AP 妁.AB 一而，25一 a而 75257 m = .APQsMDB ,BAD ,25725 lit - -25陷1. m ='中；p彳 125综上所述：当 m=7或而 时，4APQ与4ADB

23、相似.【解析】【分析】（1）如图1,过点 B作BD>±AB , 交x轴于点 D , 可证AC BC ABCA ADB , 可得/ABC=/ADB , 可证ABJBDC , 可得席 CL ,可求 CD的长，即可求点 D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解.7.如图，第一象限内半径为 2的。C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作。C的切线y= kx+3.l交x轴于点B, P为直线l上一动点，已知直线 PA的解析式为:（1）设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式（2）设。C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点 P处于直线l上（除点B以外） 的什么位置时

24、，者B有 AMNsabp请你对于点 P处于图中位置时的两三角形相似给予证明;（3）是否存在使4AMN的面积等于-2的k值？若存在，请求出符合的 k值；若不存在, 请说明理由.【答案】 （1）解：轴和直线l都是。C的切线，.-.OA± AD, BD± AD;又; OALOB,/ AOB= / OAD= / ADB= 90 °,四边形 OADB 是矩形；; O C 的半径为 2, . AD= OB =4;点P在直线l上，点P的坐标为（4, p）;又二点P也在直线 AP上，p=4k+3（2）解：连接 DNAD是。C 的直径，./AND=90°, / ADN=

25、90 - / DAN, / ABD= 90 / DAN,/ ADN= / ABD,又/ ADN= / AMN ,/ ABD= / AMN , Z MAN = / BAP, AMN s ABP(3)解：存在.理由：把 x= 0 代入 y= kx+3 得：y=3,即 OA=BD=3, AB = 中产.瞄-喉卢-J ,1IAl) *1)54 X 312. Saabd=上 AB?DN=忆 AD?DB，DN= m =55 , . . AN2 = AD2 DN2 =.AMNAABP,AN ”4" S A叫S Z w/J 5 八 aef - -1，即附AP当点 P 在 B 点上方时，. AP2 =

26、 AD2+PD2= AD2+ (PB BD) 2=42+ ( 4k+3 3 ) 2= 16(k2+l),或 AP2= AD2+PD2=AD2+ (BDPB) 2= 42+ (3 4k 3) 2= 16 (k2+l),Saabp= jPB?AD=3(4k+3) X4 2 (4k+3),Ar ' S A ABP 256 X 2 (4k 牛 3)32 (4k + 3)32 - 二 MAP 25 X 拈/4 1)25( + 1)整理得：k2- 4k- 2=0,解得ki=2+k2=2-1石当点P在B点下方时,-，AP2= AD2+PD2= 42+ (3 - 4k- 3) 2= 16 (k2+l)

27、 , Saabp= - PB?AD=上(4k+3) X与 -2 (4k+3)AV - S A ASP - 256 乂 2 (4k + 3)理S 硼二二77 二-化简彳导:k2+1= - ( 4k+3),解得：k= - 2,32、综合以上所得，当 k= 2土遂或k=- 2时，4AMN的面积等于 国【解析】【分析】(1)由切线的性质知 / AOB= / OAD= / ADB= 90°,所以可以判定四边形OADB是矩形；根据 OO的半径是2求得直径AD= 4,从而求得点 P的坐标，将其代入直线方程y= kx+3即可知p变化的函数关系式；(2)连接DNJ直径所对的圆周角是直 角，ZAND=9

28、0°,根据图示易证 /AND=/ABD;然后根据同弧所对的圆周角相等推知/ADN=/AMN,再由等量代换可知 /ABD=/AMN;最后利用相似三角形的判定定理AA证明AMNsABP; (3)存在.把x= 0代入y=kx+ 3得y=3,即OA= BD= 3,然后由 勾股定理求得 AB=5;又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2-4k-2 =0,解关于k的一元二次方程；当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2 + 1 = - (4k + 3),解关于k的一元二次方程.8.如图1,在平面直角坐标系中，点O为

29、坐标原点，抛物线 y = ax2+bx+5与x轴交于A,点B,与y轴交于点 C,过点C作CD±y轴交抛物线于点 D,过点B作BEXx轴，交DC延长线于点E,连接BD,交y轴于点F,直线BD的解析式为y= - x+2.(1)写出点E的坐标；抛物线的解析式(2)如图2,点P在线段EB上从点E向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时，点 Q在线段BD上从点B向点D以十 个单位长度/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另 个点随之停止运动，当 t为何值时，4PQB为直角三角形?(3)如图3,过点B的直线BG交抛物线于点 G,且tan/ABG=，点M为直线BG上方 抛物线上一点，过点 M作MH

30、± BG,垂足为H,若HF= MF,请直接写出满足条件的点 M 的坐标.【答案】(1)解：将点D (-3, 5)点B (2, 0)代入y=ax2+bx+50=抬于十*，抛物线解析式为:y=-T x+5* 5=9 &-3b + A(2)解：由已知 /QBE=45, PE=t, PB=5-t, QB川2 t 当/QPB=90时，4PaB为直角三角形. / QBE=45 °.QB= " PB、二 t= / (5-t)A解得t=当/PQB=90时，APQB为直角三角形. BPQsBDEBQ?BD=BP?BE5 (5-t) = Vt?5 V-解得：t=再.t=或时，

31、4PQB为直角三角形（3）点 M 坐标为（-4, 3）或（0, 5）.【解析】【解答】（3）由已知tan/ABG与，且直线GB过B点/则直线GB解析式为：y= Wx-1延长MF交直线BG于点Kx.HF=MF/ FMH=Z FHM. MHBG 时 / FMH+Z MKH=90 °/ FHK+Z FHM=90 °/ FKH=Z FHKHF=KF，F为MK中点I g设点M坐标为（x, - - X2-上x+5）,. F （0, 2），点 K 坐标为（-x, - x2+ - x-1）把K点坐标代入y= ? x-1解得 x1=0, x2=-4,把 x=0 代入 y=- - x二 x+5

32、,解得 y=5, w 士把 x=-4 代入 y=- J x2- - x+5解得y=3则点M坐标为（-4, 3）或（0, 5）【分析】（1）由待定系数法求点坐标及函数关系式；（2）根据题意，4DEB为等腰直角三角形，通过分类讨论 / PQB=90或/ QPB=90的情况求出满足条件 t值；（3）延长MF交M坐标，利用中点GB于K,由/MHK=90 , HF=MF可推得HF=FK即F为MK中点，设出 坐标性质，表示 K点坐标，代入 GB解析式，可求得点 M坐标.二、圆的综合9.如图，AB是半圆。的直径，C是施的中点，D是，得的中点，AC与BD相交于点E.* )。片(1)求证：BD平分/ABC;(2

33、)求证：BE=2AD；(3)求三的值.BE【答案】(1)答案见解析(2) BE=AF=2AD (3) 吏2【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；(2)延长BC与AD相交于点F,证明BCEACF根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD(3)连接OD交AC于H.简要思路如下：设 OH为1,则BC为2, OB=OD=J2 ,DH=J2 1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1);D是笳,的中点.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延长 BC与AD相交于点F,证明BCEACF,BE=AF=2A

34、D(3)连接OD交AC于H.简要思路如下:设 OH 为 1,贝U BC 为 2, OB=OD=J2 ,DH=j2 1,DE DHBEBCD1=V2 1BE -210.如图，在直角坐标系中，已知点A(8, 0), B(0, 6),点M在线段AB上。(1)如图1,如果点M是线段AB的中点，且OM的半径等于4,试判断直线 OB与。M 的位置关系，并说明理由；(2)如图2, OM与x轴，y轴都相切，切点分别为 E, F,试求出点 M的坐标；(3)如图3, OM与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为 E, F, G,试求出点M的 坐标(直接写出答案)2424【答案】(1) OB与。M 相切；(2) M

35、 ( 7，/)； ( 3) M ( 2, 2)【解析】分析：(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可；(2)求出过点A、B的一次函数关系式是 y=-x+6,设M (a, - a),把x=a, y=-a代4入y=x+6得出关于a的方程，求出即可.4(3)连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,设 ME=MF=MG=r,根据Saabu1 AO?ME+1BO?MF + 1AB?MG=1 AO?BO 求得 r=2 ,据此可得答案.2222详解：(1)直线OB与。M相切.理由如下：设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,点M是线段AB的中点，所以

36、 MD / AO, MD=4,，/AOB=/ MDB=90 ；，MD，OB,点 D 在。M 上.又丁点D在直线OB上，直线OB与。M相切；(2)如图2,连接ME, MF,8k b 0.A (8, 0) , B (0, 6) , 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,解b 6得：k=3, b=6,即直线AB的函数关系式是 y=-x+6.OM与x轴、y轴都相切，点M到x轴、y轴的距离都相等，即 ME=MF,设M(a, a) ( 一 8v av 0)小、3x=a, y=-a 代入 y=x+6,得:4a = - a+6 得：a=424,点M的坐标为（-724 24、)77（3）如图 3,连接 ME、

37、MF、MG、MA、MB、MO,.OM 与 x 轴，y 轴，线段 AB 都相切，MEXAO. MF±BO> MG LAB,设ME=MF=MG=r,贝U Saabc= 1 AO?ME+1 BO?MF+1 AB?MG= 1 AO?BO.2222. A (8, 0) , B (0, 6) , .AO=8、BO=6, AB= JA。2Bq =10,1？8+1？6+工厂?10=1X6内8解彳导:r=2,即 ME=MF=2, 点 M 的坐标为(2, 22222)点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的 解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此

38、题的关键，注意：直线和圆有 三种位置关系：已知 。的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时，直线l和。O 相切.11.如图，AB是。的直径，PA是。的切线，点 C在。上，CB/ PO.（1）判断PC与。的位置关系，并说明理由；若AB=6, CB=4,求PC的长.3 【答案】（1） PC是。的切线，理由见解析；（2） -J52【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证/PCO=90即可.（2）可以连接 AC,根据已知先证明 ACBPCQ再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC1 . CB/ PO，/POA=

39、/ B, /POC=/ OCB2 .OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又,. OA=OC, OP=OP3 .APOACPO/ OAP=Z OCP.PA是。O的切线/ OAP=90 °/ OCP=90 °.PC是。的切线.p（2）连接AC.AB是。O的直径/ ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO.ACBAPCOm旦史一3厢尬2二）/低BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与 这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的

40、性质.12.如图1,在RtABC中，AC=8cm, BC=6cm, D、E分别为边 AB BC的中点，连结DE,点P从点A出发，沿折线 AD- DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点 P作PQLAC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN.设点P的运动时间为t (s)RB(1)当点P在线段DE上运动时，线段 DP的长为 cm.(用含t的代数式表示)(2)当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式，并写出 t的取值范围.(3)如图2,若点O在线段BC上，且CO=1,以点。为圆心，1cm长

41、为半径作圆，当点 P 开始运动时，。的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当 。与正方形PQMN的边所 在直线相切时，求此时的 t值.【答案】(1)t-1; ( 2) S=- 3t2+3t+3 (1 vtv4) ； (3)t=10s.83【解析】分析：(1)根据勾股定理求出 AB,根据D为AB中点，求出AD,根据点P在AD上的速 度，即可求出点 P在AD段的运动时间，再求出点 P在DP段的运动时间，最后根据 DE段 运动速度为1 cm/s ,即可求出DP；(2)由正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形，可知点 P在DE上，求出DP=t -1, PQ=3,根据MN/BC,求出FN的长，

42、从而得到 FM的长，再根据 S=S梯形fmhd+S矩形 DHQP,列出S与t的函数关系式即可；(3)当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5-t,然后由r以0.2cm/s的速度不断增大， r=1+0.2t,然后列方程求解即可；当圆与 MN相切时，r=CM=8- t=1+0.2t,从而可求得t的 值.详解：(1)由勾股定理可知：ab=JAC2 bc2=10. D、E分别为AB和BC的中点，DE=- AC=4, AD=AB=5,22点P在AD上的运动时间=5=1s,当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为(t-51) s.: DE段运动速度为 1cm/s ,DP= (t - 1) cm.故答案为

43、t-1.(2)当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示.D当正方形的边长大于 DP时，重叠部分为五边形, -3>t- 1, t<4, DP>0, .t- 1>0, 解得：t>1, - 1 <t<4.DN AC 8 4 ADFNAABC,=FN BC DN=PN- PD,DN=3- ( t T)±2 = 4, .-.FN= 3£J1,FN 33(4 t) 3t.FM=3-=,44S=S 梯形 FMHD+S 矩形 DHQP,3t.,=1X(更+3) X (4-t) +3 (t - 1) =- 3 t2+3

44、t+3 ( 1vtv4).248(3)当圆与边PQ相切时，如图:O当圆与PQ相切时，r=PE,由(1)可知，PD= (t- 1) cm, .PE=DE DP=4- (t 1) =(5 t) cm.r以0.2cm/s的速度不断增大， r=1+0.2t,1+0.2t=5 - t,解得：t= s.3 当圆与 MN相切时，r=CM.由(1)可知，DP= (t1) cm,贝U PE=CQ= (5t) cm, MQ=3cm, ，MC=MQ+CQ=5-t+3= (8-t) cm,-1+0.2t=8-t,解得：t = 35s.635 ,人P 至 UE 点停止，.t- 1<4 即 tw/.t=一s (舍)

45、.6 ，10综上所述：当t二一s时，。与正方形PQMN的边所在直线相切.3点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性 质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键.13.如图所示，AB是半圆。的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A,速度为1cm/s,若AB 10cm,点。到AC的距离为4cm.(1)求弦AC的长;(2)问经过多长时间后， 4APC是等腰三角形.【答案】(1) AC=6; (2) t=4或5或14 s时，4APC是等腰三角形;5【分析】(1)过。作ODLAC于D,根据勾股定理求得 AD的长，再利用垂径定理

46、即可求得AC的长；(2)分AC=PC AP=AC AP=CP三种情况求t值即可.【详解】(1)如图1,过。作ODLAC于D,易知 AO=5, OD=4,从而但，口72-0产3,，AC=2AD=6;(2)设经过t秒4APC是等腰三角形，则 AP=10-t 如图2,若AC=PC过点C作CH，AB于H, / A=Z A, / AHC=Z ODA=90 :.AHCAADO,.AC: AH=OA: AD,即 AC:10-t L c=5: 3,解得t=s,14 一口A . .经过-jT-s后 APC是等腰三角形;又. AC=6,则 10 - t=6 ,解得 t=4s,，经过4s后4APC是等腰三角形;则

47、AP=BP=5,，经过5s后4APC是等腰三角形.综上可知当t=4或5或12s时，4APC是等腰三角形.【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当 BPC是等腰三角形时，点 P的位置有三种情况.14.如图，在 4ABC中，AB= AC,以AB为直径的。与边BC交于点D, D已 AC,垂足为E,交AB的延长线于点F.求证：EF是。的切线；(2)若/C= 60 °, AC= 12,求？d 的长.若tanC= 2, AE= 8,求BF的长.J E C【答案】 见解析；(2) 2/鼻.【解析】分析：(1)连接OD,根据等腰三角形的性质：等边对等角，得/

48、ABC=/ C,/ABC=/ ODB,从而得到ZC=Z ODB,根据同位角相等，两直线平行，得到 OD/AC,从 而得证OD，EF,即EF是。的切线；1(2)根据中点的性质，由 AB=AC=12,求得OB=OD=aAB=6,进而根据等边三角形的判定得到OBD是等边三角形，即 ZBOD=600,从而根据弧长公式七届即可；(3)连接AD,根据直角三角形的性质，由在R9DEC中，tanC 匹 2设CE=xCEAE -DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的长，然后根据相似二DE角形的判定与性质求解即可 .详解：(1)连接 OD AB=AC . /ABC=Z C. O

49、D=OB . . / ABC=/ ODB，/C=/ ODB . .OD)/ AC又DE，AC OD)± DE,即 OD± EF.EF是。的切线，、八 111(2) AB=AC=12 OB=OD=- AB =6由(1)得：Z C=Z ODB=600即BD的长2/ BOD=600(3)连接 AD-DE，AC /DECN DEA=9C0在 RtDEC中，tanc DE 2 设 CE=x,U DE=2x CE AB 是直径/ ADB=Z ADC=9C0 / ADE+/ CDE=9C° 在 RtA DEC中，/ C+Z CDE=9C0一 AE/ C=Z ADE 在 RtA

50、ADE 中，tan ADE 2 DE AE=8,DE=4 则 CE=2 .AC=AE+CE=1C直径 AB=AC=10 贝U OD=OB=51.OD/AEAODFAAEFOF OD 即：吐出 5AF AE BF 10 8解得：BF=即BF的长为10 .点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及 相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思 想的应用.15.已知AC= DC, AC± DC,直线 MN经过点A,作DBXMN,垂足为B,连结CB.感知如图，点A、B在CD同侧，且点 B在AC右侧，在射线 AM上截取AE= BD,连结CE,可证ABCg4ECA 从而得出 EC= BC, Z ECB= 90°,进而得出 Z ABC=度；探究如图，当