中考数学专题题型讲练过关题型10类比、拓展探究题

1、类型1图形旋转引起的探究1.2018 焦作一模如图（1）,在等边三角形 ABC中，点D,E分别在边 AB,AC 上,AD=AE,连接 BE,CD,点 M,N,P 分别是 BE,CD,BC 的中点，连接 DE,PM,PN,MN.（1）观察猜想图中APMN是（填特殊三角形的名称 ）.探究证明如图（2）, AADE绕点A按逆时针方向旋转，则APMN的形状是否发生改变 ？并就图（2）说明理由 （3）拓展延伸若AADE绕点A在平面内自由旋转,AD=1,AB=3,请直接写出 PMN的周长的最大值.图(1)图(2)2.如图（1）,在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中,AB=2,A

2、B'="'*,连接CC：CC 问题发现：计算""'的值；(2)拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为。连接BB.试判断：当CC0°<8 <360°时,的值有无变化？请仅就图(2)中的情形给出你的证明?请在备用图中画出图形，并给出解题过程(3)问题解决：在旋转过程中，BB'的最大值为多少备用图3.如图(1),在AABC中，/ACB=90 ° ,AC=BCX点A作AE LAC,点M为射线 AE上任意一点(不与点A重合)，连接CM,将线段CM绕点C按顺

3、时针方向旋转 90。得到线段CN,直线NB分 别交直线CM,射线AE于点F,D.(1)问题发现：/NDE= ;(2)拓展探究：如图(2),当/EAC为钝角时，其他条件不变，/NDE的大小有无变化？请给出证明如图(3),若/EAC=15 ° ,BD=直线CM与AB交于点G,其他条件不变，请直接写出 AC的 长.图图图4.(1)问题背景如图(1), A ABD 和AFOG均为等腰直角三角形 ，/BAD= / FOG=90 ° ,AB=AD, 点。为BD 的中点，OF=OG,点O,A,F三点共线，连接BF,AG,猜想BF和AG的位置关系及数量关系分别 是.类比探索：如图(2),将

4、等腰直角三角形 FOG绕点O逆时针旋转a(0 0<a <90°后,(1)中的结论是否仍然成 立？若成立，请予以证明；否则，请说明理由.拓展延伸：在等腰直角三角形 FOG绕点O逆时针旋转 a (0 °< a <360 °的过程中，若BD=OG=2,点P为 边FG上的动点，请直接写出线段 AP长度的最大值和最小值.D G if图(1)图(2)类型2 动点引起的探究5.2018开封一模【问题提出】 如图（1）,已知AABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上,且ED=EC,将 BCE绕点C顺时针旋转 60°至AACF,连接E

5、F.求证:AB=BD+AF.【类比探究】（2）如图（2）,如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB,BD,AF 之间又有怎样的数 量关系？请说明理由.（3）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图（3）的基础上将图形补充完整，并写出AB,BD,AF之间的数量关系，不必说明理由.图(1)图(2)图(3)时，求AE的长.7.2018辽宁抚顺在AABC 中,AB=BC,BDXAC 于点 D, / FAC=上 / ABC,且 / FAC 在 AC6.2018 江苏连云港中考改编在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.4ABC是边长 为2的等边三角形，E是直线AC上一点，小亮以

6、BE为边向BE的右侧作等边三角形 BEF,连接CF.如图（1）,当点E在线段AC上时，EF,BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明.（2）如图（2）,当点E在AC的延长线上运动时,CF,BE相交于点D,请你探求 ECD的面积Si与 DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由.（3）如图（2）,当AECD的面积Si =图图下方.点P,Q分别是射线BD、射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连 接CQ,过点P作PE，CQ于点E,连接DE.（1）若/ABC=60 ° ,BP=AQ.如图（1）,当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段 DE和线段AQ的

7、数量关系和位置关系 如图（2）,当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断中的结论是否仍然成立，并说明理由. 若/ABC=2 百60。请直接写出当线段 BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中的 结论仍然成立（用含a的三角函数表示）.图8.2018 四川乐山已知Rt A ABC 中，/ ACB=90 。点D,E分别在 BC,AC 边上，连接BE,AD 交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k 为常数.如图(1),若k=1,则/APE的度数为 ; 如图(2),若k= ",试问 中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出/ APE的度数.(3)如图(3),若k= V5,且

8、点D,E分别在CB,CA的延长线上,(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由.图图类型3图形形状变化引起的探究9.2018 山东淄博(1)操作发现如图，小明画了一个等腰三角形 ABC,其中AB=AC,在AABC的外侧分别以 AB,AC 为腰作 了两个等腰直角三角形 ABD,ACE,分别取BD,CE,BC 的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了 线段MG与NG的数量关系是 ,位置关系是 .(2)类比思考如图(2)，小明在此基础上进行了深入思考，把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB>AC,其他条彳不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由.(3)深入研究如图(3),小明在(

9、2)的基础上，又进一步探究 晌AABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变，试判断AGMN的形状，并证明.图图图10.2018 南阳一模【问题情境】在四边形 ABCD 中，BA=BC,DC ±AC,过点D作DE II AB,交BC的延长线于点 E,M 是边AD 的中点，连接MB,ME.【特例探究】 如图（1）,当/ABC=90 。时，线段MB与ME之间的数量关系是 ,位置关系是；如图（2）,当/ ABC=120。时,试探究线段 MB与ME之间的数量关系，并证明你的结论；【拓展延伸】（3）如图（3）,当/ABC= a时,请直接用含 a的式子表示线段 MB与ME之间的数

10、量关系.图图(2)图(3)11.2019 原创观察猜想 如图（1）,在Rt A ABC 中，/ BAC=90 ° ,AB=AC=3,点D与点A 重合，点E在边BC上，连接 DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90。得到线段DF,连接BF.BE与BF的位置关系 是,BE+BF= ;探究证明 在 中，如果将点D沿AB方向移动，使AD=1,其余条件不变，如图（2）,判断BE与BF的位 置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图（3）,在AABC 中,AB=AC, / BAC= a点D在边BA 的延长线上,BD=n,点E在边BC上, 连接DE,将线段DE绕点D顺时针

11、旋转，得到线段DF,旋转角/ EDF= a，连接BF,则BE+BF的 值是多少？请用含n, a的式子直接写出结论.图(3)12.在AABC中，点D为线段AB上一点，若/MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别 与边 BC,AC 交于点 M,N,且/MPN+ /ACB=180 ° .PM如图（1）,若AC=BC, /ACB=90 。且点D为AB的中点，求的值；PM如图(2),若BC=m,AC=n, / ABC=90 。且点D为AB的中点，则PN =的式子表示) 如图(3),若xG=k(k wi),BC=m,AC=n,请直接写出 所的值.(用含k,m,n图图(2)图(3)参考答案(1

12、) 1)等边三角形(2) APMN的形状不发生改变，仍为等边三角形.理由如下连接BD,CE.由旋转可得/ BAD= / CAE,.ABC是等边三角形，AB=AC, /ACB= /ABC=60 ,又 AD=AE, .ABD ACE,BD=CE, /ABD= /ACE.M 是BE的中点，P是BC的中点，PM是ABCE的中位线，1PM= CE 且 PM II CE.同理可证PN=BD 且 PN II BD,PM=PN, / MPB= / ECB, / NPC= / DBC, ./ MPB+ / NPC= /ECB+/DBC=( /ACB+ / ACE)+( /ABC- / ABD)= /ACB+ /

13、ABC=120 ./ MPN=60 , .PMN是等边三角形.(3) A PMN的周长的最大值为 6.CC2.(1)!- =- ''.CC当00 <360°时,廿行的值不变.证明：连接AC,AC'.四边形ABCD和四边形AB'C'D'是正方形， / BAC= / B'AC'=45 ° , / BAC- / B'AC= / B'AC'- / B'AC,即 / B'AB= / C'AC.AC AC又.%；=月|而="AC AC,=1. B'AB

14、 s匕 C'AC,CC=的值不变.以点A为圆心、AB'的长为半径画圆，当点B'在BA的延长线上时，线段BB'最长.此时 BB'=AB+AB'=2+3.(1)90(2) / NDE的大小不变证明：./ ACB= / MCN=90 ./ MCA= / BCN.在 AMAC NBC 中,(AC - fiC.上 ACM = J.BCN.I MC = ATt. . MAC 9& NBC, ./ BNC= /AMC,又MFD= / NFC, ./ MDF= / FCN=90 ,即/NDE=90 ° .(3)AC=2.4.(1)BF 

15、7;AG, BF=AGHOD(1)中的结论仍然成立.理由如下:如图，连接OA,延长GA分别交FO,FB于点H,E.ABD为等腰直角三角形，点O为BD的中点，OB=OA, / AOB=90 . / BOF+x= / AOG+ =90° , ./ BOF= / AOG.又 OF=OG, . BOF AOG,BF=AG, /BFO= / AGO.AGO+ / GHO=90 ,/ GHO= / EHF, ./ EHF+ / BFO=90 , ./ FEH=90 ,BF ±AG.(3)AP 长度的最大值为 3,最小值为旧.,BE=AF,CE=CF,5.(1)证明：由旋转可得，/BCA

16、= /ECF=60 .CEF和AABC 都是等边三角形，EF=CE, / CAF= / ABC=60 ,DE=EF, ./ EAF= / BAC+ /CAF=120 . / DBE=180 -/ ABC=120 , ./ EAF= / DBE.易知A,E,C,F 四点共圆， ./ AEF= / ACF.ED=EC,. D= / BCE.又/BCE= / ACF,. D= / AEF, . EDB 9A FEA,BD=AE, . AB=AE+BE=BD+AF.(2)AB=BD-AF.理由如下：由旋转可得，/ BCA= / ECF=60 ° ,BE=AF,CE=CF,.CEF和AABC

17、都是等边三角形，EF=CE, / EFC= / BAC=60 ,DE=EF. / ECF= / ECD+ / FCD=60 , / BCA= / ACF+ / FCD=60 , ./ ECD= /ACF.ED=EC,.D= / ECD,.D= / ACF.易得 / FEA= / ACF,/ D= / FEA.由旋转知 /CAF= /CBE=120 ° , / DBE= / FAE=60 , . DEB 9A EFA,BD=AE,BD=AF+AB,即 AB=BD-AF.(3)补图如图所示，AF=BD+AB( 或 AB=AF-BD).6.(1) A ABE CBF.证明：ABC, ABE

18、F都是等边三角形，BA=BC,BE=BF, / ABC= / EBF, ./ABE= /CBF, .ABE ACBF.(2)S 2-S i=园.理由：.ABC, ABEF都是等边三角形，BA=BC,BE=BF, / ABC= / EBF, ./ABE= /CBF, .ABE ACBF,Sa ABE =S CBF .Sacbf-S ACBE =S2-S 1, , S2 -S 1 =S aABE -S aCBE =S aABC =.(3)由(2)可知：SBDF -S Aecd =再.但又 SAECD =叵，网Sa BDF =. A ABE ACBF,AE=CF, / BCF= / BAE=60 ,

19、 ./ ABC= / DCB, CF II AB,则ABDF的DF边上的高为 谯,可彳导DF= 37设 CE=x,则 2+x=CD+DF=CD+ 3, 1. CD=x-.CD / AB,CD CE1.罚=正,CD AE=AB - CE, . (x- %)(x+2)=2x,2解得 Xi =1,x 2=- 3(舍去),CE=1,AE=3.17 .(1)DE=5AQ,DE II AQ.成立.理由：连接PQ,PC,同中方法可得 DE / AQ,DE= ：/AQ.(2)AQ=2BP sin a .8 .45°(1)中结论不成立.如图(1),过点A作CB的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点

20、F,连接EF交AD于点H,则/FBE= / APE, /FAC= / C=90。，四边形 ADBF 是平行四边形，BD=AF,BF=AD.AC= |,|bd,cd=卜危 Ae,AC CD"叫='=.BD=AF,=.又FAE= / C=90 ° , . FAE ACD,AC AD BP:.Ai=m=F= , / FEA= / ADC.ADC+ / CAD=90 , / FEA+ / CAD=90 =/ EHD. AD / BF, ./ EFB= / EHD=90 .竺幽在 Rt EFB 中,tan / FBE=m=3 , ./ FBE=30 , ./ APE=30 .

21、图中结论成立.理由：如图(2),过点E作CB的平行线，过点D作BE的平行线，两线交于点F,连接AF交BE于点H,图则/APE= /ADF, /FEC= / C=90。，四边形EBDF是平行四边形BE=DF,EF=BD.AC= kWBD,CD=1点 Ae,AC AC Cl) =.FEA= / C=90° , . ACD FEA,口，/ ADC= / FAE.CAD+ / ADC=90 ,FAE+ / CAD=90 ,FAD=90在 Rt DAF ./ ADF=30 ./ APE=309.(1)MG=NGMG ±NG成立.理由：连接CD,BE相交于点H,根据(1)中思路，可彳导MG=NG,MG±NG.(3) AGMN是等腰直角三角形证明：如图，连接EB,DC并延长，两延长线相交于点 H,同(1)中方法，得AABE 仁ADC,MG=NG,AEB= /ACD,/ ACD-CEH+ / ECH= /AEH- /AEC+180 / ACD- / ACE= / ACD-45 +180° 45=90DHE=90 ,同(1)中方法，得MG ±NG.MB ±ME(2)ME= MB.证明：如图，延长EM,交BA的延长线于点 F,DE / BA, ./ FAM= / EDM.又. AM=DM