六年级下册数学试题-小升初：第三讲行程之多次相遇(解析版)全国通用

1、第三讲行程之多次相遇行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考！ 大题，多次相遇在行程问题中占有巨大比例，可 I 说是重中之重。：a；教学目标1 .回顾火车过桥与流水行程；2 .精讲多次相遇：在直线型与环线型跑道上的不同规律（在相同时间内共行单程数并不相同）；在同一跑道上同一情况下出发后的不同类型相遇（即迎面相遇和追及相遇）；通过不同数量关系的分析，掌握相应的分析工具（画线段图、折线图等）。一、火车过桥【例1】（小学“希望杯”全国数学邀请赛）火车以标准速度通过 1000米的大桥用50秒，通过1500米的大桥用70秒。如果 火车速度降低 20%,那么火车通过长 1950米的隧道用 秒。（火车通过是指

2、 从车头进入到车尾离开）【解】标准速度是（15001000） + （70 50）=25（米/秒）。火车长25 X 50- 1000=250（米）。火车通过长1950米的隧道用（1950+250）+25 X（1 20%）=110（秒）。【点评】前者根据路程差与时间差的对应关系求出速度；后者运用了列车过桥的典型数量关系。【例2】（“华罗庚金杯“少年数学邀请赛决赛）李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来,当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。已知货车车长 520米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？【解1】设货车

3、车速为(x+60) xx千米/小时，由题意得,18520=,3600 1000解得x=44解2货车总长520米=0.52（千米）；客车行进的距离 60 X8 =0.3（千米）3600货车行进的距离 0.52-0.3=0.22（千米）货车的速度：0.22 +8_=44（千米/小时）3600【解3】货车总长520米=0.52（千米）；则两车的速度和为0.52 +18- =104（千米/小时）3600货车的速度为104-60=44（千米/小时）【点评】今年的“华杯赛”决赛试题只考了这一道行程题，其难度较低，但要注意“细节决定成败”，出题者在这儿挖了一些小“坑”，比如单位转换。对于总的数量关系，应把握

4、：速度和X时间=货车车长二、流水行程【例3】（小学生数学报）一条船顺水航行 48千米，再逆水航行16千米，共用了 5小时；这知船顺水航行 32千米，再逆水航行 24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。【解】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：顺水逆水时间48开16H5小时32开24 H比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了 48-32=16千米，那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行 程的16+8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16X2=32千米”，这样船5小时一共顺水航行18+32=80千米，船

5、顺水速为 80+5=16千米，船逆水速为 16+2=8 千米。船静水速为（16+8） +2=12千米。【点评】有些题的数量关系不明显，要通过整理、比较找出题中的隐含关系。, *-*专题精讲:线段跑道【引题】甲、乙二人分别从 A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。【分析】：先画图如下：【解1】：若设甲、乙二人相遇地点为 C,甲追及乙白地点为 D,则由题意可知甲从 A到C 用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6 ） 二20 （分）。同时，由上图可知，C D

6、间的路程等于 BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50X （ 26+6） =1600 （米）.所以，甲的速度为 1600+ 20=80（米/分），由此可求出 A B间的距离。50X （ 26+6） + （ 26-6 ） =50X 32+20= 80 （米/分）（80+50） X 6=130X6=780 （米）答：A、B间的距离为780米。【解2】：设甲的速度是 x米/分钟那么有（x-50） X 26=（x+50） X 6解得x=80所以两地距离为（80+50） X 6=780米2【例1】甲、乙二人分别从A B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的-o二3人相

7、遇后继续行进，甲到达 B地和乙到达A地后都立即沿原路返回。已知二人第 二次相遇的地点相距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地相距多少千米？ .一 ,、 ， 一 一 . . . . 一 3 .一 ,一 .一一.【解】根据题意，在相同时间内，甲、乙所行的路的比是-,就是说，如果把全程看作有52份路，那么甲行 3份，乙行了 2份，这样，可以画出线段图，并标出第一次相遇 的地点。甲乙4*A 第二次 J第一伏B相遇点 20千米相遇点根据题意，两人从第一次相遇到第二相遇，其间共需行进两个单程，也就是说甲行进了（3+3）6份路程，乙行进了（2+2）4份路程，这样，又可以画出线段图， 并标出第二次相遇的地点

8、。结合图示，很容易看出：，2两次相遇点间的距离 20千米，正好相当于全程的 一，5所以A、B两地间路程可求：20+ 2 = 50 （千米）5【例2】（北京二中选拔考试最后一道大题）甲，乙二人分别从 A, B两地同时相向出发，往返于A, B之间，第一次相遇在距 A地30公里处，第二次相遇地点在距第一次相遇地右边10公里处。求（1） A, B两地距离。（2）甲，乙的速度比。【解】 画图易知，利用路程的倍数关系， 第二次相遇的地点距离 B点：（30X210） +2=25 公里；所以 （1） A, B两地距离30+ 10 + 25 =65公里；（2）甲，乙的速度比为30: 35 = 6: 7【例41

9、甲、乙两辆车分别在 A B之间和A、C之间往返运行。已知 A、B两地之 间的距离为10千米，A、C两地之间的距离为15千米。若甲车每小时行驶 40千米，乙车每 小时行驶50千米，现在两辆车同时从 A站出发，经过多少小时，两车第一次在 A站相遇？【解1】：设两车再次相遇于 A站时，甲车往返了 x次，乙车往返了 y次，列方程得：10工_ 15冢2 y40- = 50- 6当y=5时，x即可取得整数.所以：当乙车第五次返回 A站时，再次与甲车相遇，此时乙车行驶的路程为 15X2X5=150,所用的时间为 150+50=3 （小时）答：经过3小时，甲、乙两车又在 A站相遇.【解2】：甲每过20/40=

10、1/2小时回到A一次乙每过30/50=3/5小时回到 A一次因为1/2,3/5=3所以最早经过 3小时，两车又在 A站相遇【点评】：当两车再次相遇时，所走路程不同，但所用时间相同，故可以考虑以时间做为等 量关系.又当两车相遇时，两车所往返的次数必为整数。【例5】 某人从甲地走到乙地。甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且两地 发车的间隔都相等。他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔 12分钟开过去一辆去乙地的公共汽车。则公共汽车每隔多少分钟从各自的始发站发车？【解】某人与去甲地的公共汽车的相对速度是公共汽车的速度加上他的速度，而他与去乙 地的公共汽车的相对速度是公共汽车的速度减去他

11、的速度。所以公共汽车的单位速 度应该是（1/6+1/12） +2=1/81 +1/8=8 分钟所以公共汽车的发车时间的间隔是8分钟。【例6】（教研组原创题）AB两地相距4千米，在从A地到B地的公交路线上，只有两辆 BUS 一辆平均每小 时行驶30千米，另一辆因为服役时间太长，所以跑不动了，平均每小时行20千米（乘客上下车时间忽略不计）。早上都从A地发车，求第三次迎面相遇点与第四次 迎面相遇点相距多远？【解】根据题意，只关心迎面相遇点，所以我们不妨把线段AB两地看作一个封闭环形。因为两车速度比为 30 : 20=3 : 2,则第N次相遇，共行了 2N个单程，且甲车在每共行两个单程的时间里，行3了

12、 “环形路程”的 3,如图：5第4次相遇第3次相遇具体算法：3X3+5=143 X4+5=22所以 两车相距4+5X 2=1.6（千米）【例7】（浙江省小学数学五年级活动课测试）A, B两地相距36千米，甲、乙、丙的速度分别为4千米/时，7千米/时，5千米/时。如果甲、乙从 A地，丙从B地同时出发相向而行（如下图所示）,那么，或 小时后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍（此题有两个答案）。,12倍，如解：假设还有丁，也从 A地同时出发，而丁与乙的距离始终是丁与甲距离的 卜图所示。则丁的速度是4+（7 4） + 3=5（米/时）或4 一 （74）=1（千米/时）。如此，我们将这个问题转化成了一个

13、相遇问题。丁与丙相遇所需的时间为36+（5+5）=3 6（时）或36+（1+5）=6。）。【点评】运用转化的思想，寻找解题的突破口二、环形跑道【例8】（浙江省小学数学活动课夏令营）甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上训练。 甲、乙两人从同一地点同时背向出发，从出发到相遇乙跑的距离是甲跑距离的7o相遇后甲继续向前跑，而乙则反向跑，当9米。甲追上乙后训练结束。那么，在这次训练中，甲一共跑了9【解】：从出发到相遇，甲跑了 400X =225（米），乙跑了 400225=175（米）。甲每跑7 9225米都要比乙多跑 225175=50（米）。相遇后，甲要追上乙，即甲要比乙多跑400米，甲需要再跑4

14、00+50=8（个）225米。所以在这次训练中，甲一共跑了225X （8+1）=2025（米）。【例9 在长为 400米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长 100米甲从A点、乙 从B点同时出发相背而跑。两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时乙恰好跑到B。当甲追上乙时，甲从出发算起共跑了多少米?【解】设两人在C点相遇（见右图）。乙从B到C时，甲从A到C;乙从C到B时，甲从C到Ao说明A到C与C到A相等，都是200米， 甲的速度是乙的2倍。两人在C点相遇后, 乙跑1圈甲跑2圈，所以甲追上乙时共跑了200+400X 2=1000（米）。【点评】这里应用了比例关系，即时间一定，路程与速度成正

15、比。对于六年级同学来说,掌握数量关系中的定量（不变）和变量（变化）之间的比例关系，行程中使用频率 很高，而在其它诸如平面几何、价格、工程等等关系当中都有很重要的应用。【例10】如图正六边形ABCDE左一各环形路，每边长 60米。甲、乙两人分别从A、C两点同时按顺时针方向行走，甲每走45米，乙每分走25米。经过几分钟，甲、乙第一次同喉IJ达 A点？【解】甲第一次追上乙需要多走4条边的路程，即60X4=240米，需要时间240+ （45-25 ）=12分。接下来甲再追上乙要多走一圈，即 360米，需要时间 360+ （45-25 ） =18 分，而甲走完一圈需要时间360 + 45=8分，要使追及

16、地点在 A点，就要使12加上若干个18之和正好是8的整数倍，即12+18m=8n （m n为非零自然数。当m=1时， 12+18X 1=30,而30不是8的整数倍；当 m=2时，12+18X2=48, 48是8的6倍， 所以两人出发后 48分钟同时到达 A点。容易算出，这时甲走完45X48=2160米，即走完6圈到达A点，乙走完25X48=1200米，即3圈加2条边，与甲同时到达 A 点专题展望欲看行程精彩，敬请继续关注：下一讲“行程之多人行程与钟面问题”1 .（广东省育苗杯数学竞赛）400米的隧道，那么需要10秒，15秒，那么大桥长是（）200 x15一列火车长200米，如果整列火车完全通过

17、一条长 如果以同样的速度整列火车完全通过一座大桥需要 米。【解1】火车的速度是（200+400） + 10=60 （米）大桥长 60 X 15-200=700（米）【解2】设大桥长x米，得：200 400 10200 400 或者 200 x 1510解得 x=700【点评】在此处进一步渗透比例思想、方程思想，训练学生的解方程能力。解方程，建议用“方程的恒等原理”，即对小学生不用移项的说法，强调：方程就像天平一样，两边同时加上相同“重量”或同时减去相同“重量”或者同 时乘法N倍，两边恒等。形象直观，有利快速解题。这种方法的注意点是“乘法分配律”的运用，也就是如果两边都乘以一个数，是 总的一边跟

18、它相乘，要注意怎么“打散”的问题。2 .（江苏省吴江市小学数学联赛五年级）快车长250米，慢车长600米，这两车相向而行，坐在慢车上的王小玲看见快车开过窗口的时间是 5秒，快车的速度是慢车速度的1.5倍，快车速度为每秒（）米。A.30 B.36 C.48 D.以上都不是【解】慢车速度为 250 +5 + （1+1.5）=20（米/秒）快车速度为 20 X 1.5=30（米/秒）【点评】请注意是坐在慢车上的人所记时间对应路程为快车车长，那么坐在快车上的人记了一个时间呢？还可以拓展为过路人看到两车相遇时间，又怎么求两车的速度各是多少呢？另外，就本题来讲，其数量关系特点主要是确定行程求速度和，再根据

19、和倍关系求 各自速度。从这道题可以感受到，同学们学习一定要注意“再深入一步”去钻研问题，这种“深 入”，有时候就是换一种角度或者是换一下条件。这种学习方法很重要。3 .（“希望杯”数学邀请赛）周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是 480米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。【解】 两人每共走1圈相遇1次，用时480+（55+60）=4（分）到第10次相遇共用40分钟，王老师共走了55 X 40=2200 （米）, 要走到出发点还需走 480 X 5-2200=200 （米） 4.（华罗

20、庚金杯少年数学邀请赛模拟试题）两个口岸A、B沿河道相距离360千米。甲船由A到B上行需要10小时，下行由B到A 需要5小时。若乙船由 A到B上行需要15小时，那么下行由 B到A需要（）小时。A. 4B.5C.6D.7【解】由已知，甲船上行需要 10小时，则甲船上行每小时行36千米，即：甲船速-水速=36; 一甲船下行需要5小时，则甲船下行每小时行72千米，即：甲船速+水速=72;根据和差关系求出水速：（72-36 ） + 2=18 （千米）又乙船上行需要15小时，则乙船上行每小时行24千米，即乙船速一水速=24;乙船速+水速=（乙船速水速）+2 X水速=24+2 X 18=60, 所以乙船下行

21、需要 360 + 6=6（小时）5 .（教研组原创题）AB两地相距4千米，在从 A地到B地的公交路线上，只有两辆BUS 一辆平均每小时行驶30千米，另一辆因为服役时间太长，所以跑不动了，平均每小时行20千米（乘客上下车时间忽略不计）。早上5: 00都从A地发车，到晚上6: 00共相遇了多少次？（两车在同一地视为一次相遇，包括出发时为第一次） 【解】根据题意，两车所行速度比为 30 : 20=3 : 2,所以两车各行完一个单程所需要时间比为2 : 3,可作两车运动的折线图如下：由图可知，每五次相遇时，共行了十个单程程，正好是一个周期,（这个周期应看作包 括五相遇点，第六次应算作下一个周期.）所以

22、每行两个单程相遇一次，所以根据甲乙速度和与时间，求出甲乙共行了多少个单程：从早上5:00到晚上6:00,共行了 13时，（30+20） X 13+ 4=162 （个）2 （千米）162 + 2=81 （次）6 .（小学数学 ABC精选题）如图，甲、乙分别从 A, B两地同时出发相向而行，在C处相遇甲没有休息，到 B地后立即往返；乙则休息了15分钟才继续走，到 A地后立即折返。两人折返后仍在C处相遇。如果甲每分钟走 60米，乙每分钟走80米，那么A, B两地相距 米。B 乙【解】如图:甲 酷设A, B两地相距x米。由AC : CB=60： 80=3 : 4知，AC=3x, CB=4Xo由甲从A到

23、B再到C所用时间比乙从 77多15分钟，可得方程B至ij A再到C所用时间4(x - x) 60(x 7x) 44430一 x x77x(x 7x)(x 7x)15 240180080 153 15 240“哥德巴赫猜想”也不过是一道奥数题好像在大的环境上有反奥数的声音，我竟然听不到多少为奥数正名的声音，很是不爽,所以要轻轻地告诉你一一“哥德巴赫猜想”也不过是一道奥数题。这不是对“哥德巴赫猜想”的小看，也不是对奥数的抬举，因为事实如此。有很多人看不出来这么简单的道理，这是因为他不知道：1、 奥数跟“哥德巴赫猜想” 一样，可以激发兴趣与引导志向。当你登山时，你永远不会对爬上一个小土丘而拥有非份的

24、自豪一一“我已降服这么高 的大山”，防止把人笑死。而当你“会当凌绝顶，一览众山小”时，别人都要仰视才见。 这个道理谁不知道？而我们的奥数题就是一道道高山，这种高是相对的，但是客观的。每一个学段，都能挖掘出与之适应的难题，成为在相应“地域”中的难得的“高山”对于爱学习爱挑战“巨勇敢”的人，是一种多么难得的诱惑！这种诱惑，并不亚于“哥德巴赫猜想”对数学家的诱惑。而“哥德巴赫猜想”也不过是 摆在数学家们面前的一道奥数题，让人唏嘘的是，能出这样的奥数题的人真正难找！解出 这道奥数题的人也很少，但一定有，而且就在我们当中！因为，我们的奥数“研究生”真 不知道有什么不可以去思考和研究的，这是一种地道的学术

25、勇气。2、 奥数跟“哥德巴赫猜想” 一样，可以整合已有知识体系。我们一位伟大的数学家邱成桐先生，成为华人中第一位菲尔兹奖一一数学界的诺贝尔奖获得者，（第二位是澳大利亚籍的华裔陶哲轩，今天 31岁，曾获得过国际数学奥林匹克大赛金奖），他的老师更伟大的数学家陈省身老先生对学奥数的学生们说“数学好玩”，确实好的奥数题，可以帮学生把学过的零散知识进行整合，从而达到高屋建领、触类旁通的境界。（尽管是相应知识层面上的境界，但这正是成为学习过程中所必需的一以贯之的境界，直至彻底拿下“哥德巴赫猜想”）3、 奥数的未来走向是永远而且光明的，它是为那些渴望攀登高峰的勇士而准备的。O附加习题：1 . （全国“华罗庚

26、金杯少年数学邀请赛初赛）A码头在B码头的上游，“ 2005号”遥控舰模从 A码头出发，在两个码头之间往返航 行。已知舰模在静水中的速度是每分钟200米，水流的速度是每分钟 40米。出发20分钟后，AM莫位于 A码头下游960米处，并向B码头行驶。求 纲头和B码头之间的距 离。【解】设两个码头相距 L米，舰模往返m,则ml ml 960 _20240 160 240Ml=1536因为L960, m为自然数，所以m=1, L=1536（米）。2 .如图5,在长为490米的环形跑道上， A、B两点之间的跑道长 50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑.两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲

27、把 速度提高了 25%,乙把速度提高了 20%.结果当甲跑到点 A时，乙恰好跑到了点 B.如 果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑 了多少米？【解1】 相遇后乙的速度提高 20%,跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5 : 6,所花时间的比为 6: 5。设甲在相遇时跑了 6单位时间，则相遇后到跑回A点用了 5单位时间。设甲原来每单位时间的速度 V甲，由题意得：6V 甲+ 5XV 甲 X （ 1 + 25%） = 490,得：V 甲= 40。100从A点到相遇点路程为 40X6 = 240,V乙=( 49050240) + 6 =3两人速度变化后，甲

28、的速度为40X （1 + 25%） =50,乙的速度为10 X （1 + 20%）3= 40,从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，甲一共跑了 490+ （ 5040） X 50 + 240 = 2690 （米）【点评】对于行程问题，“抓等量，看比例”是要诀。至于环形跑道问题，抓住相遇（或追及的）的路程和（或路程差）恰好都是一圈。（这是指同地出发的情况，不同地，则注意两地距离在其中的影响）另外，本题涉及量化思想，即将比中的每一份看作一个单位，进一步来说，一个时间单位 乘以一个速度单位，得到一个路程单位。【解2】设相遇处为C点：因为甲前后速度比为 1 ： 125%=4： 5,乙前后速度比为

29、1 ： 120%=5： 6,所以，乙先后在BC处的时间比为6： 5,也即甲先后两段路程 AC与CA所用的时间比 也是6 : 5,则甲所行 AC段路程与CA段路程之比为 4X6： 5X5=24： 25.所以，CA的路程为 490+（24+25） X 25=250（米），BC的路程为 250-50=200 （米）所以，在1个单位时间内的速度为：甲是 250 +5=50 （米）；乙是 200 +5=40 （米）。则甲追上乙的时间需要（490-50 ） + （ 50-40 ） =44 （单位时间）所以，甲一共行全程是50 X 44+490=2690 （米）【点评】结合比例，运用量化思想，本题的解法更美

30、了。3、A, B两地相距1100米，甲、乙两人同时从 A地出发，在A、B间往返锻炼。甲步行 每分钟行60米，乙跑步每分钟行 160米，40分钟后停止运动。甲、乙两人第几次相 遇时距B地最近？最近距离是多少米？【解】甲、乙的运行图如下，图中实线为甲，虚线为乙。图上每一格代表5分钟。由上图知，第2次相遇时距B地最近。第2次相遇时两人共行两个来回，用1100X4+ （60+160） =20 分。距 B 地 60X 20-1100=100 米。另：此题也可按相遇及追及两种情况分类讨论。4. （小学数学AB。精选题）有一艘船从甲港顺水而下行到乙港，马上又从乙港逆水而上返回甲港，共用6小时。已 知水流速度是每小时 5千米，这艘船前3小时比后3小时多行25千米，那么甲、乙两 港相距 千米。【解】 顺水航行比逆水航行每小时快5X 2=10 （千米），前3小时比后3小时多行25千米，说明顺水航行了25+10=2.5 （时）逆水航行了 6-2.5=3.5（时）顺水航行2.5小时