2020-2021备战中考数学综合题专练∶圆的综合附详细答案

1、2020-2021备战中考数学综合题专练：圆的综合附详细答案一、圆的综合1.如图1,已知扇形 MON的半径为42，2MON=90，点B在弧MN上移动，联结 BM , 作OD，BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为y.(1)如图2,当ABOM时，求证：AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.【答案】(1)证明见解析；(2) y x.(0 x 72)；(3) x 9 件 x ；22【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM

2、,即可得出结论;(2)OAOE(3)先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE=-1(亚 x),再判断出BD AE2OC 2DM“，即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1)OD) BM, AB OM,/ ODM=/BAM=90. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DMBDME,AE=EM.AE OM=V2, . .AE=1

3、(近 x).21. DE/AB,OAOC 2DMOEOD ODDMOAOD 2OEy xm(0 / COB, /COB=/AOC, . / ACO/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO / M , Z M=90 - a, . . a 90 a, a45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 ，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为 E 衣.2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2.如图，。

4、的半径为6cm,经过。上一点C作。的切线交半径 OA的延长于点B, 作/ACO的平分线交。于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.(1)求证：AC/ OD;（2）如果DE BC,求AC的长度.【答案】（1）证明见解析；（2） 2兀.【解析】试题分析：（1）由OC=OD, CD平分/ACQ 易证得/ACD=/ODC,即可证得 AC/ OD;（2） BC切。于点C, DELBC,易证得平彳T四边形 ADOC是菱形，继而可证得 4AOC是等 边三角形，则可得：/AOC=60,继而求得弧 AC的长度.试题解析：（1）证明：OC=OD, ./OCD=/ODC. .CD平分/ACQ . / OCD=/

5、ACD,Z ACD=Z ODC, . AC/ OD;（2）BC 切。于点C,BC OC.DE，BC,.OC/DE.AC/ OD, .四边形 ADOC是平行四边形. OC=OD,，平行四边形 ADOC是菱形，.OC=AC=OA,4AOC是等边三 角形，/AOC=60, .,.弧 AC 的长度=契6 =2 Tt.180点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公 式.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.3.如图，在 4ABC中，AB=AC,以AB为直径作 OO,。交BC于点D,交CA的延长线 于点E.过点D作DF, AC,垂足为F.（1）求证：DF为。的切线

6、；（2）若AB= 4, / C= 30 ,求劣弧？e的长.4【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】分析：（1）连接AD、OD,根据直径所对的圆周角为直角，可得 /ADB=90 ,然后根据等 腰三角形的性质求出 BD=CD,再根据中位线的性质求出ODLDF,进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE,根据三角形的外角求出 /BAE的度数，然后根据圆周角定理求出/BOE的度数，根据弧长公式求解即可 .详解：（1）连接 AD、OD.AB 是直径，ZADB=90.AB= AC, .1. BD= CD,又. OA= OB, . OD 是ABC的中位线，OD/ AC,.DFXAC, ODXDF即/ODF

7、= 90. ，DF为。的切线；C(2)连接 OE. AB= AC,，/B=/C= 30,/ BAE= 60,./BOE= 2/BAE, ，/BOE= 120；点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形 的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键.4.如图，AB为eO的直径，弦CD/AB, E是AB延长线上一点，CDB1 DE是e O的切线吗？请说明理由；2 求证：AC2 CD BE .【答案】(1)结论：DE是e O的切线，理由见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)连接OD ,只要证明OD DE即可；(2)只要证明：AC BD, VCDBsVDB

8、E即可解决问题.【详解】1解：结论：DE是e O的切线.ADC EDB,QCD/AB,CDA DAB ,QOA OD ,OAD ODA,ADO EDB,Q AB是直径，ADB 900,ADB ODE 900,DE OD , DE是e O的切线.2 QCD/AB,ADC DAB , CDB DBE, n n AC BD，AC BD ,Q DCB DAB , EDB DAB ,EDB DCB ,VCDBs VDBE ,CD DB ， BD BEBD2 CD BE , _ 2AC CD BE .【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，准

9、确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型5.如图，。是4ABC的外接圆，AC为直径，BD= BA, B已DC交DC的延长线于点 E 求证：BE是。O的切线(2)若 EC= 1, CD= 3,求 cos/ DBA【答案】（1）证明见解析；（2） /DBA分析：（1）连接OB, OD,根据线段垂直平分线的判定，证得 BF为线段AD的垂直平分 线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到 /ADC=90,证得四边形 BEDF是矩形，即 /EBF=90,可得出结论.（2）根据中点的性质求出 OF的长，进而得到 BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三 角函数求解即可.详解：证明：（1）连接BO并延长交

10、AD于F,连接OD. BD=BA, OA= OD，BF为线段AD的垂直平分线.AC为。O的直径/ ADC= 90 .BEXDC 四边形BEDF为矩形/ EBF= 90 .BE是。O的切线(2) ;。、F分别为AC、AD的中点13OF= - CD= 22. BF= DE= 1 + 3=423 5 . OB= OD= 4 2 23OF 2 3 . cos/ DBA= cos/ DOF= - OD 5 52点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化6.已知：如图，在矩形 ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的

11、。与AD, BD分别交于点 E、点F,且/ABE=/ DBC.(1)判断直线BE与。O的位置关系，并证明你的结论；2)若 sin/ABE=【答案】(1)直线BE与。O相切，证明见解析;2)oO的半径为CD=2,求。O的半径.分析：（1）连接OE,根据矩形的性质，可证 /BEO=90,即可得出直线 BE与。O相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出 BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知 BE的 长，设出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出 r的值. 详解：（1）直线BE与。O相切.理由如下：连接 OE,在矢巨形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC

12、. OD=OE, Z OED=Z ODE.又/ ABE=/DBC,Z ABE=Z OED,矩形 ABDC, / A=90 , Z ABE+ / AEB=90 , . / OED+/AEB=90 ；，/BEO=90； .直线 BE 与。O 相切；（2）连接EF,方法1：.四边形 ABCD是矩形，CD=2,Z A= ZC=90 , AB=CD=2. ZABE=ZDBC, . .sinZ CBD=sin ABEBD -DC 2百， sin CBD在 RtA AEB 中， CD=2, . BC 272DCAE 2AEtan Z CBD=tan Z ABE, TT， 尸BCAB2,22由勾股定理求得BE

13、 、6 .在 RtBEO中，/BEO=90, EO2+eB?=OB2.设OO的半径为r,则r2 （芯）2 （2石r）2, .=,2方法 2： .DF是。的直径，./DEF=90.四边形 ABCD是矩形，.1. Z A=Z C=90 , AB=CD=2 . ZABE=ZDBC, . .sinZ CBD=sin ABE3设 DC x, BD V3x ,则 BC 近x .CD=2, BC 272 DCAE 2AEtanZ CBD=tanZABE, . ， 广 BCAB2,22E为AD中点.J3 ,OO的半径为21-. DF 为直径，ZFED=90 , EF/ AB, . DF BD23点睛：本题综合

14、考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度.7.如图，4ABC 内接于。O,弦 ADLBC 垂足为 H, Z ABC= 2 Z CAD.（1）如图1,求证：AB= BC;（2）如图2,过点B作BMLCD垂足为 M, BM交。于E连接 AE、HM ,求证：AE/ HM;（3）如图3,在（2）的条件下，连接 BD交AE于N, AE与BC交于点F,若NH=2析,AD= 11,求线段 AB的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AB的长为10.【解析】分析：（1）根据题意，设/CAD=q然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出 /BAC=

15、/ ACB,再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N,连接ED.根据圆周角定理得出 /N=/DEN=/ BAN,进而根据 等角对等边，得到 DE=DN,BA=BN再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH / AE;（3）连接CE,根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HC,然后结合勾股定理求出AC?-AH2=CD2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设/CAD=a,贝U / ABC=2a/ C=90 -a, / BAD=90 -2a,/ BAC=90-2a+a=90 -a / BAC=Z ACBJ AB

16、=BC证明：延长 AD、BM交于点N,连接ED. / DEN=Z DAB,/ N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z DEN=Z BAN，DE=DN,BA=BN又 ; BHAN,DMENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)连接CE./ BDA=Z BCA,/ BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD EF. AFNBAENB,同理可证 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NEM _, . NH / EC,EC=2NH NH=2

17、而，EC=4a/5/ EAC=2Z AEC=2a=/ ABC可证弧 AC或 EC,.AC=EC=4.5设 HD=x, AH=11-x, / ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG可证 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=CD2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x227 八一 xi=3,x2=(舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2又AHBHCHDHtan2a,.-. BH=6 . ab=，bm2 AH2 J叫 82 10点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性

18、质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心。；(要求保留作图痕迹，不写作法 ) 2若AB的中点C到弦AB的距离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由 C为AB的中点得 _ 1. _到 OC AB , AD BD -AB 40 ,则 CD 20,设 e O 的半径为 r,在 RtVOAD2中利用勾股定理得到r2 (r 2

19、0)2 402,然后解方程即可.详解：1如图1,点O为所求；2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,图-qc为Ab的中点,OC AB ,1AD BD AB 40, 2设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,r2 (r 20)2 402,解得 r 50,即Ab所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于 把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.9.如图所示，以 RtABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点 D, E为BC边上的中 点

20、，连接DE.(1)求证：DE是。的切线；(2) 连接OE, AE,当/CAB为何值时，四边形 AOED是平行四边形？并在此条件下求 sin/CAE 的值.【答案】(1)见解析；(2)/.10【解析】分析：(1)要证DE是。的切线，必须证 ED OD,即/EDB+/ ODB=90(2)要证AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又BD AC,所以 ABC为等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.详解：(1)证明：连接O、D与B、D两点，BDC是RtA ,且E为BC中点，/ EDB=Z EBD. ( 2 分)又 OD=OB且/ EBD+Z DBO=90 ,

21、/ EDB+Z ODB=90 :.DE是OO的切线.(2)解： Z EDO=Z B=90,若要四边形AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又 ; BD AC, ABC为等腰直角三角形./ CAB=45 :过E作EHIAC于H,设 BC=2k,则 EH=k, AE=/5 k,.sinZ CAE=EH J0 . AE 10点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心 和这点(即为半径)，再证垂直即可.10.如图，Rt ABC内接于。O, AC BC, BAC的平分线AD与。交于点D, 与BC交于点E ,延长BD ,与AC的延长线交于点F ,连接C

22、D , G是CD的中点， 连接OG.(1)判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：ae BF ；若OG gDE 3(2 扬，求。O的面积.【答案】(1) OG，CD (2)证明见解析(3) 6兀【解析】试题分析：(1)根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；(2)先证明4ACE与4BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；(3)构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解.试题解析：(1)解：猜想 OG，CD.证明如下：如图1,连接OC、OD. OC=OD, G是CD的中点，由等腰三角形的性质，有OG CD.(2)证明：AB是。的直径，./ACB=90,而/CAE

23、=/CBF (同弧所对的圆周角相 等).在 RtACE 和 RtA BCF 中，/ Z ACE=Z BCF=90, AC=BC, /CA&/CBF,RtA ACE RtA BCF3 ( ASA), ，AE=BF.(3)解：如图2,过点。作BD的垂线，垂足为 H,则H为BD的中点，.OH=1AD,即 2AD=2OH,又 / CAD=/BAD?CD=BD, . . OH=OG.在 RtA BDE和 RtADB 中， Z DBE=Z DAC=Z BAD, /.RtABDE RtAADB, - -BD- DE，即 BD2=AD?DE, AD DBBD2 AD DE 2OG DE 6(2 加又 BD=F

24、D, BF=2BD,BF2 4BD2 242 柩，设AC=x,则BC=x, AB=J2x何是空肥的平分 线，Z FAD=Z BAD,在 RtABD和 RtAFD 中，/ Z ADB=Z ADF=90, AD=AD, /FAD=/BAD,RtAABD RtA AFD (ASA) , . AF=AB= 72x，BD=FD, .CF=AF-AC=J2X x (V2 1) x在RtBCF中，由勾股定理，得:BF2 BC2 CF2 x2 (y/2 1) x2 2(2 V2) x2,由、，得 2(2 J2) x2 242 J2)，x2=12,解得：x 2J3或 2M (舍去)，AB J2x J2 2/3

25、2捉,，OO 的半径长为 疵,.-.So。=兀？( J6) 2=6 兀.图1图2点睛：本题是圆的综合题.解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质.11 .如图1,已知 AB是。的直径，AC是。的弦，过。点作OFLAB交。于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点，连接 CG判断CG与。的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2=BC?BF；（3）如图 2,当/DCE= 2/F, CE= 3, DG= 2.5 时，求 DE 的长.图1图2【答案】（1） CG与。相切，理由见解析；（2）见解析；（3） DE= 2【解析】【分析】(1)连接CE由AB是直径知

26、4ECF是直角三角形，结合 G为EF中点知/ AE* / GEO /GCE 再由 OA= OC知/OCA=/OAC,根据 OF，AB 可得 / OCA+/GC髭90；即OCX GC,据此即可得证；一 BC(2)证ABJFBO得,BOAB 一 八，结合AB=2BO即可得;BF毁，根据CE= 3, DG= 2.5知3ECDE 2.5匹，解之可3EC(3)证 ECDEGC得一EG得.【详解】解：(1) CG与。O相切，理由如下:如图1,连接CE,图1.AB是。的直径，/ ACB= / ACF= 90 ,点G是EF的中点，.GF= GE= GC,/ AEO= ZGEC= / GCE .OA=OC,/

27、OCA= / OAC, .OFXAB, / OAG/AEO 90 , / OCA+Z GCE= 90 ,即 OCX GC,CG与。O相切；(2) Z AOE= Z FCE= 90, ZAEO= Z FEC/ OAE= / F,又. / B= / B,.ABCAFBO,BC AB 一 ，即 BO?AB= BC?BF,BO BF,.AB=2BO, .2OB2 = BC?BF;（3）由（1）知 GC= GE= GF,Z F= Z GCF/ EGC= 2ZF,又 / DCE= 2/ F,/ EGC= / DOE, / DECf= / CEG .ECtDAEGC；EC ED一 一,EG EC,. CE=

28、 3, DG= 2.5,3 DE- ,DE 2.53整理，得：DE2+2.5DE- 9=0,解得：DE= 2 或 DE= - 4.5 （舍），故 DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与 性质及直角三角形的性质等知识点.12.定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一 半，那么称三角形为 智慧三角形” .理解：如图1,已知是。上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使工咏 为智慧三 角形”（画出点口的位置，保留作图痕迹）；一 1e如图2 ,在正方形aBCD中，E是3C的中点，F是CD上一点，且CF =

29、 -CD，试判断Q4EF是否为 智慧三角形”，并说明理由；运用：如图3 ,在平面直角坐标系中，OC的半径为1，点2是直线v = 3上的一点，若 在。上存在一点P ,使得30尸。为智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此 时点尸的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） P的坐标（ 2Z1, 1） , （ 2Z2,-）.3【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于 C1,连结BO并且延长交圆于 C2,即可求解； （2）设正方形的边长为 4a,表示出DF=CF以及EG BE的长，然后根据勾股定理列式表示 出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定 4AEF是直角三角形

30、，由直角三角形的性 质可得4AEF为 智慧三角形”；（3）根据 智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形, 根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点 P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解.试题解析：（1）如图1所示：图1(2) 4AEF是否为智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a,.E是DC的中点， . DE=CE=2a,. BC: FC=4: 1,FC=a, BF=4a- a=3a,在 RtADE中，AE2= (4a) 2+ (2a) 2

31、=20a2, 在 RtECF中，E户=（2a） 2+a2=5a2,在 RtMBF 中,AF2=（4a） 2+ （3a） 2=25a2, .AE2+E*=AF2, .AEF是直角三角形， 斜边AF上的中线等于 AF的一半， .AEF为 智慧三角形”；（3）如图3所示：由智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,由勾股定理可得 PQ=Jm一 二272，PM=1X2 + 3=- ,3由勾股定理可求得 OM=_ （纪/=；,故点P的坐标（-二也,-）,（工立,-）.3333考点：圆的综合题.1

32、3.如图，AC是。的直径，OB是。的半径，PA切。于点A, PB与AC的延长线交 于点 M , / COB= / APB.（1）求证：PB是。的切线；（2）当MB=4, MC=2时，求。的半径.【答案】（1）证明见解析；（2） 3.【解析】【分析】(1)根据题意 /M + /P= 90,而/COB=/APB,所以有 /M + /COB= 90,即可证明 PB 是。的切线.(2)设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明：(1) .AC是。的直径，PA切。O于点A, PAX OA在 RtA MAP 中，/ M + / P= 90 ；而 ZCO

33、B= / APB,/ M+/ COB= 90 ,/ OBM=90 :即 OB BP,.PB是。的切线；(2)设OO的半径为r,OM r 2 ,OB r ,BM 4Q OBM为直角三角形.OM2 OB2 BM2,即(r 2)2 r2+42解得：r=3,，OO的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半彳5垂直.14.如图，已知： AB是。O的直径，点 C在。O上，CD是。的切线，AD CD于点D, E是AB延长线上一点，CE交。O于点F,连接OC、AC.(1)求证：AC平分/DAO.(2)若 / DAO=105 , / E=30求/OC

34、E的度数;若。的半径为2行，求线段EF的长. EF = 2.3-2.【答案】(1)证明见解析；(2)/OCE=45;【解析】【试题分析】(1)根据直线与。相切的性质，得 OC,CD.又因为AD CD,根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得： AD/OC./DAC=/ OCA.又因为OC=OA,根据等边对等角，得 / OAC=/ OCA.等量代换得：/ DAC=Z OAC根据角平分线的定义得：AC平分/ DAO.(2) 因为AD/OC, ZDAO=105,根据两直线平行，同位角相等得，/EOC=/ DAO=105, 在 OCE 中，/E=30 利用内角和定理，得： ZOCE=45. 作OG，CE于点G,根据垂径定理可得 FG=CG 因为OC=2，2，/ OCE=45 .等腰直角三 角形的斜边是腰长的 & 倍，得 CG=OG=2. FG=2& RtA OGE中，ZE=30,彳导GE=2J3 , 贝U EF=GE-FG2 3-2.【试题解析】(1) .直线与。O 相切,OCX CD.又 ;