2019高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第7讲正、余弦定理的应用举例分层演练文

1、第 7 讲正、余弦定理的应用举例 分层演练亠直击高考分层演练亠直击高考I 基础达标基础达标 一、选择题 1.两座灯塔A和B与海岸观察站 C的距离相等，灯塔 A在观察站南偏西 40 ,灯塔B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A在灯塔B的（ ） A. 30 C. 60 解析：选 B.依题意可得 AD= 20 10 m, AC= 30 5 m，又CD= 50 m，所以在厶ACD中, 由余弦定理得 / AC+ AD cD C0S / CAD= 2AC-AD （30 百）2+（ 20 低）2- 502_ 6 000 _2 2X 30A/5X 20 颂 6 000 2， 又 0 / CAD180,所以/ C

2、AD= 45,所以从顶端 A看建筑物CD的张角为 45 . B.北偏西 10 D.南偏西 80 解析：选 D.由条件及题图可知，/ A=Z B= 40，又/ BCD= 60，所以/ CBD= 30， 所以/ DBAF 10，因此灯塔 A在灯塔B南偏西 80 . 2.已知A B两地间的距离为 10 km, B C两地间的距离为 20 km,现测得/ ABC= 120， 则A C两地间的距离为（ ） A. 10 km C. 10 5 km 解析：选 D.如图所示， A.北偏东 10 C.南偏东 80 AC= 100+ 400 2X 10X20X cos 120 所以 AC= 10 7（km）. 3

3、.如图，两座相距 60 m 的建筑物AB 从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角/ 20 m 50 m BD为水平面，则 B. 45 75B. D. 10 3 km 10 7 km 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d= 0.6 km，一艘客船从码头 A出发匀速驶往3 河对岸的码头B.已知AB= 1 km,水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A驶到码头B所用的最 短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 （ ） A. 8 km/h B. 6 2 km/h C. 2 34 km/h D. 10 km/h 解析：选 B.设AB与河岸线所成的角为 0，客船在静水中的速度为 v km/h

4、，由题意知, 0.6 3 4 人、 （1 卡 G 2 1 sin 0 = - = 5，从而 cos 0 = 5，所以由余弦定理得 10V = 1X2 | + 1 2X五 X 2X 1X 5，解得 V = 6 2. 5 5. 一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度， 某人在喷水柱正西方向的点 A测得水柱顶端的仰角为 45,沿点A向北偏东 30前进 100 m 到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为 30 ,则水柱的高度是（ ） A. 50 m B. 100 m C. 120 m D. 150 m 解析：选 A.设水柱高度是h m,水柱底端为 C,则在 ABC中, A

5、= 60, AC= h, AB= 100, BC= 3h,根据余弦定理得，（3h）2 = h2 + 1002 2 h 100 cos 60。，即卩 h2 + 50h 5 000 = 0,即（h 50）（ h+ 100） = 0，即 h= 50,故水柱的高度是 50 m. 6. （2018 江西联考）某位居民站在离地 20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角 为 60,小高层底部的俯角为 45 ,那么这栋小高层的高度为 （ ） A. 20 1 + 亍 m C. 10( 2 + 6)m D. 解析：选 B.如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线.由题意知 AB= 20 m

6、,Z DAE= 45,/ CAE= 60,故 DE= 20 m, CE= 20 3m.所以 CD= 20(1 + 3)m. 故选 B. 二、填空题 7. 如图所示，一艘海轮从 A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海轮相距 B. 20(1 + 3)m 20( 2 + 6)m 4 20 海里的B处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的 北偏东75的方向，则海轮的速度为 _ 海里/分.5 AC AB 解析：由已知得/ ACB= 45,/ B= 60，由正弦定理得 = ，所以AC= sin B sin / ACB AB- sin B 20X sin 60

7、10 6 6 ./卜占 。一 =10 6，所以海轮航行的速度为=（海里/分）. sin / ACB sin 45 30 3 答案： 8. _ （2018 河南调研）如图，在山底测得山顶仰角/ CAB= 45，沿倾斜角为 30的斜坡 走 1 000 米至S点，又测得山顶仰角/ DSB= 75，则山高BC为 _ 米. 解析：由题图知/ BAS= 45 30= 15,/ ABS= 45- 15= 30,所以/ ASB= 1 000 AB 厂 135,在厶ABS中，由正弦定理可得 = ，所以AB= 1 000 2，所以BC sin 30 sin 135 y AB =1 000. 2 答案：1 000

8、9江岸边有一炮台高 30 m 江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶 部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距 _ m. 在AMO中，由余弦定理得， MN = /900 + 300 2X 30X 10 筋 X 申 解析：如图， ON= AOan OM= AOan 45 = 30(m), 子 X 30= 10 3(m), 6 =.300= 10 3（m） 答案：10 ,3 10. （2018 福州综合质量检测）在距离塔底分别为 80 m, 160 m, 240 m 的同一水平面7 上的A, B, C处，依次测得塔顶的仰角分别为 a , 3 ,

9、丫 .若a + B+ 丫 = 90,则塔咼为 _ m. h h h 解析：设塔高为 h m,依题意得，tan a =-, tan 3 =-, tan 丫 =;乔.因为 a + 80 160 240 sin (90 Y ) sin 丫 丫)tan 丫 = cos ( 90 Y ) cos 丫 h= 80,所以塔高为 80 m. 答案：80 三、解答题 11. 如图，渔船甲位于岛屿 A的南偏西 60方向的B处， 且与岛屿 A相距 12 海里，渔 船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B处出发沿北偏东 12. 已知在东西方向上有 M N两座小山，山顶各有一个发射塔

10、 A, B,塔顶A B的海拔 高度分别为AM= 100 米和BN= 200 米，一测量车在小山 M的正南方向的点 P处测得发射塔 顶A的仰角为30,该测量车向北偏西 60 方向行驶了 100 . 3 米后到达点 Q在点Q处测 得发射塔顶B处的仰角为0，且/ BQ= 0，经测量 tan 0 = 2,求两发射塔顶 A, B之间的 距离.3 + Y = 90,所以 tan( a + 3 )tan 丫 = tan(90 cos 丫 sin 丫 sin 丫 cos 丫 1,所以 tan a + tan 1 tan a tan -tan 所以 h h + 80 160 -h h _ 80 面 a的方向追赶

11、渔船乙，刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度； 求 sin a的值. 解：(1)依题意知，/ BA(= 120 , AB- 12, 由余弦定理，得 BC= AB+ AC 2AB- AC- cos/ 784.解得 BC= 28. 所以渔船甲的速度为BC= 14 海里/时. 2 AB- 12,/ BAC= 120 AC= 10X 2= 20,/ BCA= a .在厶 ABC中, 2 2 BAC= 12 + 20 2X 12X20X cos 120 = 在厶ABC中, 由正弦定理，得 sin a _ sin 120 121A=刃 3 28 = 14 . ,BC= 28,/ BCA= a , AB BC 即 sin a A跖 120 BC 南 8 解： 在 Rt AMPK/ APIM= 30, AM= 100,所以 PM= 100 西， 连接 QM 在厶 PQM中, / QPIW 60,又PQ= 100 3，所以 PQM为等边三角形， 所以 Q