2020-2021中考数学圆与相似综合题及详细答案

1、2020-2021中考数学圆与相似综合题及详细答案一、相似1 .如图，在正方形 ABCD中，点 E, F分别是边 AD, BC的中点，连接 DF,过点 E作 EH，DF,垂足为 H, EH的延长线交 DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；(2)过点H作MN/CD,分另I交 AD, BC于点M, N,若正方形 ABCD的边长为10,点P 是MN上一点，求4PDC周长的最小值.【答案】(1)解：结论：CF=2DG理由：:四边形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB / ADC=Z C=90 ; DE=AE，AD=CD=2DEEG± DF,/ DHG=90 ；c C

2、 CDF-+Z DGE=90 ； D DGE+/ DEG=90 ,° / CDF玄 DEG, .DEGACDF,D6 DE 1不=应二.CF=2DG(2)解：作点 C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,CD G此时APDC的周长最短.周长的最小值 =CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DKDE * DG由题意：CD=AD=10, ED=AE=5 DG= , EG=EH=2DH=2 /,曲 Eh .HM= 1=2 =2, .DM=CN=NK= ,'、"；:：旗=1,在 RtDCK中，DK=df - C= = +汽方 + 3»=2叵, P

3、CD的周长的最小值为 10+2 5.【解析】【分析】(1 )结论：CF=2DG.理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB /ADC=/ C=90°,根据中点的定义得出AD=CD=2DE根据同角的余角相等得出/CDF=/ DEG,从而判断出 DE8 4CDF,根据相似三角形对应边的比等于相似比即 可得出结论；(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点巳连接PC,此时4PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+D仲题意得 CD=AD=10, ED=AE=5 DG=,EG士，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出 4DEH相似于4 6口儿

4、根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=W,再根据面积法求出 HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1 ,在RtDCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。2 .如图，在一块长为 a(cm),宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板,得到一个新的矩形.* cm j-JMem)(1)试用含a, b, x的代数式表示新矩形的长和宽；(2)试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由.【答案】(1)解：由原矩形的长、宽分别为 a(cm), b(cm),木板宽为x(cm), 可得新矩形的长为(a+ 2x

5、)cm,宽为(b+2x)cm(2)解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 日 由比例的基本性质，得ab+ 2bx= ab+ 2ax,2(ab)x= 0.,.a>b, . a b w Q .= x= 0,又 x>0,原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段.【解析】【分析】(1)根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。(2)假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0,即可判断。3 .已知直线 m/n,点C是直线m上一点，点 D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂 直，点P为线段CD的中点.M”厘订用(1)操作发现：直线 l，m, l±n

6、,垂足分别为 A、B,当点A与点C重合时(如图 所 示)，连接PB,请直接写出线段 PA与PB的数量关系： .(2)猜想证明：在图 的情况下，把直线 l向上平移到如图 的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.(3)延伸探究：在图 的情况下，把直线 l绕点A旋转，使得/APB=90 (如图所示)，若两平行线 m、n之间的距离为 2k.求证：PA?PB=k?AB【答案】(1) PA=PB(2)解：把直线l向上平移到如图 的位置，PA=PM然成立，理由如下：如图，过C作CH n于点E,连接PE,三角形CED是直角三角形，点 P为线段CD的中点，PD

7、=PEPC=PE PD=PE/ CDE=/ PEB 直线 m / n, . . / CDE=Z PCA,，/PCA=/ PEB,又直线 l,m, l±n, CE! m, CE! n, ：.H CE, ，AC=BEPC = PEZPCA = PEB在 APAC 和 PBE 中，4r 5E.PAgPBE, . PA=PB(3)解：如图，延长AP交直线n于点F,彳AE± BD于点E,AP PC 直线 m/n, .PF , ，AP=PF, ./APB=90,° . BP, AF, 又AP=PF,AF AABF BP ,BF=AB;QEF = ZBPF = 909在 AAE

8、F 和 ABPF 中，' ZAAf =/BFP：. AAEFABPF, .AF?BP=AE?BF . AF=2PA, AE=2k, BF=AR . . 2PA?PB=2k AB, . PA?PB=k?AB【解析】【解答】解：(1) -. IXn,BC± BD,三角形CBD是直角三角形，又二点P为线段CD的中点，PA=PB【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；(2)把直线l向上平移到如图 的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图 ，过C作 CE! n于点E,连接PE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得出PD=PE=PC根据等边对等角得出 / CD

9、E=Z PEB,根据二直线平行，内错角相等得出/ CDE=Z PCA,故/ PCA=Z PEB,根据夹在两平行线间的平行线相等得出AC=BE然后利用 SAS判断出 PAC PBE,根据全等三角形的对应边相等得出PA=PB(3)如图，延长AP交直线n于点F,彳AELBD于点E,根据平行线分线段成比例定 理得出AP=PF,根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AB;然后判断出AEFBPF,根据相似三角形的对应边成比例即可得出AF?BP=AE?BF根据等量代换得出 2PA?PB=2k AB,即 PA?PB=k?AB4.如图1,在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=8cm, E

10、 F分别是 AB> BD的中点，连接 EF, 点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为 1cm/s,同时，点Q从点D出发，沿DB方 向匀速运动，速度为 2cm/s,当点P停止运动时，点 Q也停止运动.连接 PQ,设运动时间为t (0vtv4) s,解答下列问题:(1)求证：BEFDCB;(2)当点Q在线段DF上运动时，若 4PQF的面积为0.6cm2 ,求t的值；(3)如图2过点Q作QGLAB,垂足为G,当t为何值时，四边形 EPQG为矩形，请说明 理由；(4)当t为何值时，4PQF为等腰三角形？试说明理由.【答案】(1)解：二四边形.收以是矩形,，AD = BC = 8, AD &q

11、uot; BC,上=ZC = 909 f在Rt / ,故中，班曲:'爪分别是也以册的中点，1.：EF 步 AD* EF 二二芦二 4, BF - DF - 5fJ ZBEF = /a = 90 = /& EF " BCfZ NBFE = /瓯J4 BEF DCB(2)解：如图1,过点4作阚上身于加，(3)解：四边形好优为矩形时，如图所示:| A QPF A BEFfQF PF2t - 540解得:：7?(4)解：当点C在，;上时，如图2,尸尸AEPB=如图3,士 ” _4 | 2t - 5 520同厅时,如图5,综上所述，I -，或或7或6秒时， A 9 是等腰三角形

12、【解析】 【分析】(1)要证ABED DCB,根据有两对角对应相等的两个三角形相似可 得证。根据三角形中位线定理可得EF/ AD/BC,可得一组内错角相等，由矩形的性质可得/C=/A=/BEF=*J ,所以 ABEFADCB;(2)过点 Q作QMLEF于M,结合已知易得 QM/ BE,根据相似三角形的判定可得 QMFsbef,则得比例式BE 即,QM可用含t的代数式表示 ，PF=4-t,所以三角形 /PQF的面积=-QM PF=0*6,解方程可得t的值；(3)因为QGXAB,结合题意可得PQ )AB,根据相似三角形的判定可得QPF BEF于是可得比例式求解；(4)因为Q在对角线BD上运动，情况

13、不唯一。当点Q在DF上运动时，PF=QF当点Q在BF上运动时，分三种情况：第一种情况；PF =QF第二种情况：PQ=PF;第三种情况：PQ=FQ，将一张矩形印刷用纸对折后可8开纸、16开纸5.书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小.如图以得到2开纸，再对折得到 4开纸，以此类推可以得到若这张矩形印刷用纸的短边长为a.(1)如图，若将这张矩形印刷用纸 ABCD(ABBC世行折叠，使得 BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE;展开后，再次折叠该纸，使点 A落在E处，此时折痕恰好经Ab过点B,得到折痕BG,求成的值.(2)如图，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是 HC HM .说明H

14、C± HM .(3)将图中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图所示的方式摆放，依次连接 点A、日M、I,则四边形 ABMI的面积是 .(用含a的代数式表示，直接写出结 果)【答案】(1)解：二四边形ABCD是矩形， / ABC / C = 90 第一次折叠使点 C落在AB上的F处，并使折痕经过点 B, / CBE/ FBE = 45 ； / CBE/ CEB = 45 ,° BC CE a, BE 、叫. 第二次折叠纸片，使点 A落在E处，得到折痕BG, .AB BE"11(2)解：根据题意和(1)中的结论，有 AH BH 二， 二 AM AH , . 四边形

15、ABCD是矩形， / A / B 90 ； .MAHAHBC, / AHM/ BCH.,一/ BCH 旬/BHC =1 90 ,° / AHM + | / BHC = 90 , / MHC - | 90 ; HCXHM .32厘【解析】【解答】解：（3）如图，根据题意知（1）中的结论，有 BC=AD= 2 a, AF=IG=_ a, NI=MP= 4 a, OP= ? a, 又 / C=/ ADE=90 , / BEC=/ AED, .?BCE ?ADE, S ?BCE=S?ADE,同理可得，S?AFH=S?IGH, S ?INQ=S ?MPQ,四边形ABMI的面积=S 矩形adof

16、+S矩形igon+S梯形BMPC工十巾Ii乖1- 一- X -+ 3 X 占 4 = （'a + & J fa # a? 2919249J=b .【分析】（1）利用矩形的性质及第一次折叠使点C落在 AB上的F处，可得出/CBE=/ FBE=/ CEB=45,°可得出 CE=BC利用勾股定理可用含a的代数式求出 BE的长，再根据第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG,可用含a的代数式表示出 AB的长，然后求出AB与BC的比值。（2）利用（1）的结论，可用含 a的代数式表示出AH、BH、AM的长，就可求出AM 油邮 队,利用矩形的性质可得出/ A = / B,再根据

17、相似三角形的性质，证明 MAHshbC,利用相似三角形的性质，去证明 ZAHM + /BHC = 90 °,然后利用垂直的 定义可解答。（3）利用已知条件证明？BCE?ADE,可证得 S?bce=S?ade , S ?afh=S ?igh, S ?inq=S ?mpq ,再 根据四边形 ABMI的面积=S矩形adof+S矩形igon+S梯形bmpc ,可求出答案。3C是线点D,6.如图1,直线l: 1? '与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,16段OA上一动点(0VACV 5 ),以点A为圆心，AC长为半径作OA交x轴于另 交线段AB于点E,连结OE并延长交OA于点

18、F.朝I圈z笛m田(1)求直线l的函数表达式和tan / BAO的值；(2)如图2,连结CE,当CE=EFM,求证：OCa4OEA;求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求 OEEF的最大值.【答案】(1)解：把A (4, 0)代入1'',得 4 X4+b=0解得b=3,3 ,直线l的函数表达式为1， B (0,3), . AOXBO, OA=4, BO=3,tan / BAO=4.(2)证明：如图，连结 AF,.CE=EFZ CAE=Z EAF, 又 AC=AE=AF/ ACE=Z AEF,/ OCE=Z OEA,又 / COE=Z EOA,.,.OCEAOEA.解：

19、如图，过点 E作EH，x轴于点H,tan Z BAO= 4 ,设 EH=3x, AH=4x,1. AE=AC=5x OH=4-4x,OC=4-5x,-.OCEAOEA,OB OCW=瓶，即 oe=oaoc,(4-4x) 2+ (3x) 2=4 (4-5x),解得Xi=，j, X2=0 (不合题意，舍去)囹 36E (亚元).(3)解：如图，过点 A作AM, OF于点M,过点。作ONLAB于点N,tan Z BAO= J, cosZ BAO=H, 16AN=OA cosZ BAO= $ , 设 AC=AE=r,吧EN= 5 -r,. ONLAB, AMXOF,IZ ONE=Z AME=90 ,

20、EM=- EF, 又 丁 Z OEN=Z AEM,.OEhMAAEM,Ob E即 OE- EF=AEEN,16 .OEEF=2AEEN=2r ( 5 -r).OEEF=-2i2+ o r-2 (r- 5 ) 2+ 25 (0<r< 5 ), 812A当r= 5时，OEEF有最大值，最大值为 二% .【解析】【分析】(1)将点A坐标代入直线l解析式即可求出 b值从而彳#直线l的函数表 达式，根据锐角三角函数正切定义即可求得答案 .(2)如图，连结 AF,根据等腰三角形 性质等边对等角可得两组对应角相等，根据相似三角形的判定即可得证如图，过点 E作EHI±x轴于点H,根据锐角

21、三角函数正切值即可设EH=3x, AH=4x,从而得出AE、OH、OC,由中相似三角形的性质可得OE2=OAOC,代入数值即可得一个关于x的方程，解之即可求出 E点坐标.16可求得 AN=OAcos/BAO=(3)如图，过点 A作AM, OF于点M,过点。作ONLAB于点N,根据锐角三角函数定义，设AC=AE=r则EN= 5 -r,根据相似三角形判定和性质可知AE =3216，即OEEF=-2i2+ 5 r= (0vrv 5 )，由二次函数的性质即可求此最大值7.如图，在矩形 ABCD中，AB=6, BJ 4,动点Q在边AB上，连接 CQ , 将4BQC沿 CQ所在的直线对折得到 4CQN ,

22、延长QN交直线CD于点M .(备用图)(备用图)(1)求证：MC=MQ(2)当BQ= 1时，求DM的长；Idf(3)过点D作DEL CQ ,垂足为点E ,直线QN与直线DE交于点F ,且DE 3,求BQ的长.【答案】(1)解：证明：二.四边形ABCD是矩形，2 .DC AB即 / MCQ=Z CQB,3 BQC沿CQ所在的直线对折得到 CQN/ CQN=Z CQB,即/ MCQ=Z MQC, .MC=MQ. CQN,(2)解：二四边形ABCD是矩形，ABQC沿CQ所在的直线对折得到/ CNM=Z B=90 ；设 DM=x,贝U MQ=MC=6+x, MN=5+x,在 RtCNM 中，MB2=B

23、N2+MN2 ,即(x+6) 2=42+ (x+5) 2 ,j解得：x= J ,b'j.DM=,DM 的长 2.5.由(1)得/ MCQ=/MQC,.DEXCQ,/ CDE=Z F, 又 /CDE之 FDM,/ FDM=Z F, .MD=MF .过 M 点作 MHXDFT H,则 DF=2DH,四.厢 6 ,1 . DEXCQ MH± DF, / MHD=Z DEC=90,°2 .MHDADEC MD Dif 1 DCDE63 . DM=1 , MC=MQ=7 ,.MN= W 7d T =、网,-.BQ=NQ= :%'3：i 当点M在CD边上时，如图所示，类

24、似可求得BQ=2.综上所述，BQ的长为7 -保或2.【解析】【分析】（1 ）由矩形的性质得出/ B=90° , AB=CD=6, CD/ AB ,得出 ZMCQ=ZCQB,由折叠的性质得出CBg ACNQ ,求出 BC=NC=4, NQ=BQ=1 , /CNQ=/ B=90 : /CQN=/ CQB,得出 / CNM=90 ； Z MCQ=Z CQN,证出 MC=MQ. （2） 设DM=x,则 MQ=MC=6+x, MN=5+x,在 RtACNM中，由勾股定理得出方程，解方程即 可.（3）分两种情况： 当点M在CD延长线上时，由（1）得：/MCQ=/CQM,证出 ZFDM=ZF,得出

25、 MD=MF,过 M 作 MHLDF 于 H,则 DF=2DH,证明 MHDs CED 得 必加/1出1力 DE 6 ,求出MD=6CD=1, MC=MQ=7 ,由勾股定理得出 MN即可解决问题. 当点M在CD边上时，同 得出BQ=2即可.8.如图1,在4ABC中，在 BC边上取一点 P,在 AC边上取一点 D,连 AP、PD,如果 APD是等腰三角形且 4ABP与4CDP相似，我们称 4APD是AC边上的 等腰邻相似三角 形”.p(1)如图2,在ABC中AB=AC/B=50°, 4APD是AB边上的 等腰邻相似三角形 ”，且AD=DP, / PAC4 BPD,贝U / PAC的度数

26、是 ;(2)如图3,在 ABC中，/A=2/C,在 AC边上至少存在一个 等腰邻相似 4APD ,请画 出一个AC边上的 等腰邻相似4APD ,并说明理由；(3)如图4,在RtA ABC中AB=AC=2 4APD是AB边上的等腰邻相似三角形”，请写出 AD长度的所有可能值.【答案】(1) 30°(2)解：如图3中，4APD是AC边上的 等腰邻相似三角形”，理由：作 /BAC的平分线 AP交BC于P,作PD/ AB交AC于D,/ BAP=Z PAD=Z DPA, / CPD=Z B, DP=DA, Z CAB=2/ C,/ BAP =/ C,.APD是等腰三角形且 APB与CDP相似,

27、 APD是AC边上的 等腰邻相似三角形”(3)解：如图 3'中，当 DA=DP时，设 Z APD=Z DAP=x,若 / BPD=Z CAP=90 -x, / BDP=Z CPA=2x .90 -x+2x+x=180 ,°1. x=45 ,°.三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1;若 / PDB=Z CAP 时，设 / APD=Z DAP=x,得至ij / PDB=/CAP=2x,易知 x=30°,设 AD=a,则 AP= ?.：?.BPDACP/BD PD 忸-我 用 ,<3AC 用，即2,6 - 243解得''3,如图4中，当P

28、A=PD时，易知/PDB是钝角，/CAP是锐角,/ PDB=Z CPA 则 BPg CPA设 AD=a,则 BD=2-a,川0 ro - J , AC=2,Y - d)=解得a=仅，w|如图 5 中，当 AP=AD 时，设 /APD=/ ADP=x,贝U /DAP=180-2x,易知 / PDB 为钝角, / CAP为锐角，U/ PDB=Z CPA=180-x, / CAP=90-Z DAP=90 -° (180 -2x) =2x-90 , 在 APC 中，2x-90 °+180°-x+45=180°,解得x=45 ,不可能成立.6 -综上所述.AD的长

29、为1或 3 或/ -二%三【解析】【解答】(1)解：如图2中， . AB=AC, DA=DP,Z B= ZC, / DAP= / DPA, / PAG= / BPD,/ APC= / BDP= / DAP+ / DPA / APC= ZB+ Z BAP,/ B= ZPAB= 50 °, / BAC= 180 ° -50 =-80 ；/ PAG= 30 °故答案为300【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明/ B= / PAB即可解决问题.（2）如图3中，作/ BAC的平分线 AP交BC于P,彳PD/ AB交AC于D,根据平行线的性质和 角平分线定义可得

30、 / BAP=Z PAD=Z DPA / CPD=Z B,结合/ A=2/ C可证 APD是等腰三 角形且4APB与4CDP相似，即可解决问题.（3）分三种情形讨论：如图 3'中，当DA = DP时；如图4中，当PA= PD时；如图5中，当AP= AD时；分别求解即可解决问题.、圆的综合9.如图，在 RtAAB, /ABC=90°, AB=CB,以AB为直径的。交AC于点D,点E是AB边上一点（点 E不与点A、B重合），DE的延长线交。于点G, DF, DG,且交BC于 点F.（1）求证：AE=BF;（2）连接 EF,求证：/FEB=/ GDA；（3）连接GF若AE=2, E

31、B=4,求 A GF而面积.B FJ【答案】（1） （2）见解析；（3） 9【解析】分析：（1）连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形，求出 / A与/C的度数，根据 AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到/ADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边1上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC,进而确定出/ A=/FBD,再利用同角的2余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF, BG,由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形

32、性质得到一对同位角相等，利 用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结 论；(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形 BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出 GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据 三角形的面积公式计算即可.详解：(1)连接 BD.在 Rt ABC 中，ZABC=90°, AB=BC, . . / A=/C=45°. AB为圆 O 的直径，Z ADB=90 ,即 BDXAC, . AD=DC

33、=BD=AC, Z CBD=Z C=45 ,2/ A=/ FBD.DF± DG, ./FDG=90 ： ZFDB+Z BDG=90 °.A FBD ZEDA+Z BDG=90 °, . . / EDA=/FDB.在 AED和 4BFD 中， AD BD , EDA FDB2 .AEDABFD (ASA) , . AE=BF；(2)连接 EF, BG.3 AAEDABFD, . DE=DF.4 ZEDF=90°,AEDF 是等腰直角三角形，/DEF=45°.5 ZG=Z A=45 °,ZG=Z DEF, ，GB/ EF, . . / F

34、EB=/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA;(3) AE=BF, AE=2,，BF=2.在 RtA EBF 中，Z EBF=90 °,根据勾股定理得： EF2=EB2+BF2.EB=4, BF=2,.上已"22 = 26、，DE 4DEF为等腰直角二角形，Z EDF=90 ,. cos/DEF=.EFEF=2瓦DE=275 x= Vw .2GE EB./G=/A, ZGEB=ZAED, GEB AED, .=，即 GE?ED=AE?EB,AE ED/10?GE=8,即 GE=40 ,则 GD=GE+ED=90 .5511 910 1S GD DF - GD D

35、E109.2252点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答 本题的关键.10.如图，在。0中，直径 AB，弦CD于点E,连接AC, BC,点F是BA延长线上的一 点，且 / FCA= / B.求证：CF是。的切线；(2)若 AE= 4, tan/ACD=,求 FC的长.3【答案】(1)见解析【解析】分析：(1)利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出/OCF=90,进而得出答案；(2)根据正切的性质求出 EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理

36、求出即可.详解：(1)证明：连接 OCAB是。的直径， ，/ACB= 90；ZOCB+ Z ACO= 90：-. OB=OC,，/B=/OCB.又 / FCA= / B,/ FCA= / OCB, / FCA+ / ACO= 90 ；即/ FCO= 90 ； FC± OC,二.FC是。O切线.AE(2)解：-. ABI CD, ，/AEC= 90 °, ，EC=tan ACE设 OA= OC= r,则 OE= OA- AE= r 4.在 RtOEC中，OC2=OE2+Cm, 即 r2=(r4)2+(4石)2,解得=8.-，OE=r-4 = 4= AE. . CE±

37、 OA,，CA= CO= 8, .AOC是等边三角形，/ FOG= 60 ；Z F= 30 .在 RtFOC 中，/ OCF= 90 ； OC= 8, / F= 30 °, .OF=2OC= 16, FC= . OF2 OC2 8 3-点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键.11.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【解析】分析：先过圆心 O作半径COX AB,交AB于点D设半彳全为r

38、,得出AD、OD的长，在RtA AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解：解：过点 O作OC AB于D,交。于C,连接OB,.OCX AB.BD=-AB=- X 16=8cm 22由题意可知，CD=4cm，设半径为xcm,则OD= (x-4) cm在 RtA BOD 中,由勾股定理得：OD2+BD2=OB2(x-4) 2+82=x2解得：x=10.答：这个圆形截面的半径为 10cm.点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解.12.如图，AB是。的直径，弦 CD，AB于点G,点F是CD上一点，且满足若ECFDF连接AF并延长交。于点E,连接AD

39、、DE,若CF=2, AF=3.(1)求证：ADFsAED;(2)求FG的长；(3)求tan/E的值.【答案】(1)证明见解析；(2)FG =2;(3)±f .【解析】分析：(1)由AB是。的直径，弦 CD，AB,根据垂径定理可得：弧 AD=M AC, DG=CGCF 1继而证得ADFsAED； (2)由 ，CF=2,可求得DF的长，继而求得 CG=DG=4FD 3则可求得FG=2; (3)由勾股定理可求得 AG的长，即可求得tan/ADF的值，继而求得tan / E=,5本题解析：.AB是。的直径，弦 CD)±AB,dg=cg, .1. Ad Ac，/ adf=z aed

40、, / FAD=Z DAE (公共角)，ADFsAED；CF 1，CF=2,FD=6, ，CD=DF+CF=8FD 3 .CG=DG=4, FG=CG-CF=2-. AF=3, FG=2, - AG=TAf1 _FG2 V5，点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角 函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想13.解决问题:1如图，半径为4的e O外有一点P,且PO 7,点A在e O上，则PA的最大值和 最小值分别是 和.2如图，扇形AOB的半径为4, AOB 45°, P为弧AB上一点，分别在 OA边找 点E,在O

41、B边上找一点F,使得VPEF周长的最小，请在图 中确定点E、F的位置并直 接写出VPEF周长的最小值； 拓展应用3如图，正方形ABCD的边长为4/2； E是CD上一点（不与D、C重合），CF BE于F, P在BE上，且PF CF , M、N分别是AB、AC上动点，求 VPMN周长 的最小值.图图图0【答案】（1） 11, 3； （2）图见解析，VPEF周长最小值为4J2； （3） 4屈 4H 【解析】【分析】1根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3;2作点P关于直线OA的对称点P1 ,作点P关于直线OB的对称

42、点P2 ,连接P1、P2 ,与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时 VPEF周长最小，然后根据等腰直角 三角形求解即可；3类似2题作对称点，VPMN周长最小 PP2,然后由三角形相似和勾股定理求解.【详解】解：1如图，Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离.PA 的最大值 PA2 PO OA2 7 4 11,PA 的最小值 PA1 PO OA1 7 4 3,故答案为11和3；2如图，以O为圆心，OA为半径，画弧 AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点P ,作点P关

43、于直线OB的对称点P2,连接R、P2,与OA、OB分别交于点E F,点E、F即为所求.连接 OPi、OP2、OP、PE、PF,由对称知识可知，AOP1AOP ,BOP2BOP , PE RE , PF P2FAOPiBOP2AOP BOP AOB 450,POP245o 45o 90°,VPOP2为等腰直角三角形，pp2 72On 4短,VPEF 周长 PE PF EF PiE F2F EF PPz4j2 ,此时 VPEF 周长最小.故答案为4 , 2 ；3作点P关于直线AB的对称P,连接AR、BP,作点P关于直线AC的对称F2,连接Pi、P2,与AB、AC分别交于点M、N.如图由对

44、称知识可知， PM PM , PN F2N , VPMN周长PM PN MN PM1 F2N MN PP2 ,此时，VPMN周长最小 PP2.由对称性可知，BARBAP,EAP2EAP, AR AP AF2,BAPEAP2BAP EAP BAC 45°PAP245° 45° 90°,VPiAB为等腰直角三角形，VPMN周长最小值Pp2 J2AP ,当AP最短时，周长最小.连接DF.QCF BE ,且 PFPCF45°,PCQ ACDPCFCF 45°, ACD ,PCA在VAPC与VDFC中,ACCDPCCF，PCAFCDVAPC s

45、 VDFC ,型AC”DF CDAP 2DFQ BFC 90°,取 AB 中点 O.DF最短.点F在以BC为直径的圆上运动，当 H F、O三点在同一直线上时,DF DO FO JOC2 CD2 OC J(2月2 (4扬2 2戊 2M 2r2 ,AP最小值为AP 而F此时，VPMN周长最小值PP22APP22因DF42222y/i02424斤4& .14.已知AC= DC, AC± DC,直线 MN经过点 A,作DBXMN,垂足为B,连结 CB.感知如图，点A、B在CD同侧，且点 B在AC右侧，在射线 AM上截取AE= BD,连结 CE,可证 BC必 ECA从而得出

46、EC- BC, Z ECB= 90°,进而得出/ABC-度； 探究如图，当点A、B在CD异侧时，感知得出的/ABC的大小是否改变？若不改 变，给出证明；若改变，请求出 /ABC的大小.应用在直线MN绕点A旋转的过程中，当 ZBCD= 30。，BD=/时，直接写出BC的长.【答案】【感知】：45;【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】： BC的长为、3+1 或、13- 1 . 【解析】 【分析】感知证明BC*ECA (SAS 即可解决问题；探究结论不变，证明 BCgECA (SAS 即可解决问题；应用分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解：【感知】，如图 中，在射线 AM上截取A

47、E= BD,连结CE . AC± DC, DBXMN,/ ACD= ZDBA= 90 °. / CDB+Z CAB= 180 ； / CAB / CAE= 180 °/ D= / CAECD= AC, AE= BD,.,.BCDAECA (SA§ ,BC= EC, / BCD= / ECA / ACEfZECD= 90 °, / ECDfZ DCB= 90 °,即 / ECB= 90°,/ ABC= 45 :故答案为45【探究】不改变.理由如下：如图，如图中，在射线 AN上截取AE= BD,连接CE,设MN与CD交于点O.X

48、国式-. AC± DC, DBXMN,/ ACD= ZDBA= 90 °, / AOC= / DOB,，/D=/EAC CD= AC,.,.BCDAECA (SAS ,BC= EC, / BCD= / ECA / ACE+/EC4 90 °, / ECD+Z DCB= 90 °, 即/ ECB= 90°,/ ABC= 45 :【拓展】如图-1中，连接AD. / ACD+/ABD=180 ； A, C, D, B四点共圆，/ DAB= / DCB= 30 ；.AB= VJBD=x,.EB=AE+AB= V% ? ECB是等腰直角三角形，EB, B

49、C = 二、3 + 1 平如图中，同法可得BC=炉-1.综上所述，BC的长为4三+1或$ - 1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性 质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属 于中考压轴题.15.如图，在 4ABC中，以AC为直径作。交BC于点D,交AB于点G,且D是BC中 点，DEL AB,垂足为E,交AC的延长线于点 F.(1)求证：直线 EF是。的切线；(2)若CF=3, cosA=2 ,求出。的半径和BE的5长；(3)连接CG,在(2)的条件下，求 CG的值.EF6【答案】(1)见解析；(2) 2

50、, g (3) CG:E已4: 7【解析】试题分析：(1)连结OD.先证明OD是 ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD/AB,再由DE，AB,得出ODLEF,根据切线的判定即可得出直线EF是。的切线;(2)先由OD/ AB,得出/COD=/ A,再解Rt DOF,根据余弦函数的定义得到, 0D 2 一cos/ FOD= =,设。O的半径为Ui* b解RtAEF,根据余弦函数的定义得到_ _ R 2, ,1。寸20R,解方程而二三，求出R干，那么AB=2OD=,AE 2 cosAL14,求出AE,然后由BE=AB- AE即可求解.试题解析：(1)证明：如图，连结 OD. . CD=DB, CO=OA .OD是 ABC的中位线， .OD/AB, AB=2OD, .DEXAB, DEXOD,即 OD± EF, 直线EF是。O的切线；(2)解：.OD/ AB,/ COD=Z A.在 RtA DOF 中， Z ODF=90 ,R ?设。的半径为R,则七4解得r#,kJ20 . AB-2OD-在 RtAEF 中， / AEF=90 ,cosA=AEAF=r【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点.要证某线 是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点(即为